2022-2023学年山东省烟台市招远一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市招远一中高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  设是平行四边形的对角线的交点，为任一点，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，则在上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数，则(    )

A. 的最小正周期是
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点对称
D. 在上的值域是

7.  已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在锐角中，角，，所对的边分别为，，已知，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知函数的值域为，若，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的有(    )

A.  B.
C.  D.

10.  设，，，若对一切恒成立，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C. 既不是奇函数也不是偶函数
D. 的单调递增区间是

11.  已知向量，，满足，，，则下列命题正确的有(    )

A. 若，则的最小值为
B. 若，则存在一的，使得
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为

12.  “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则有设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有(    )

A. 若，则为的重心
B. 若，则：：：：
C. 若，，，则
D. 若为的垂心，则
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，，则 ______ ．

14.  已知，，则 ______ ．

15.  已知向量，，若，则 ______ ．

16.  在中，内角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，则周长的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简求值：
；
．

18.  本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，求的最大值．

19.  本小题分
如图所示，在中，，，与相交于点，设，．
试用向量表示；
过点作直线分别交线段，于点，，记，，求证：不论点，在线段，上如何移动，为定值．

20.  本小题分
如图，扇形的圆心角为，半径为点是上任一点，设．
记，求的表达式；
若，求的取值范围．

21.  本小题分
在中，内角，，对应的边分别为，，，若是的中点，且满足．
求的最小值；
若的面积为，且满足，求的值．

22.  本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：



．
故选：．
利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数以及诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
 

2.【答案】 

【解析】解：设是平行四边形的对角线的交点，
，
，
故选：．
由已知中是平行四边形的对角线的交点，可得，进而可得答案．
本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量的线性运算，难度中档．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以在上的投影向量为
故选：．
根据投影向量的定义计算即可．
本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由已知可得．
又因为，所以，所以．
所以，
所以．
故选：．
由已知可推得，进而根据两角和的正切公式即可得出然后根据两角差的正切公式即可得出答案．
本题主要考查了同角基本关系，诱导公式，和差角公式的应用，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，整理可得，
解得或舍去，
又因为，
所以，
．
故选：．
利用二倍角的余弦公式化简已知等式可得，进而解得的值，结合，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据二倍角的正弦公式即可求解的值．
本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：
，
对于，的最小正周期，A错误；
对于，当时，，此时单调递减，
在上单调递增，B正确；
对于，令，解得，此时，
的图象关于点对称，C错误；
对于，当时，，则，
在上的值域为，D错误．
故选：．
利用两角和与差的余弦公式、二倍角和辅助角公式化简，再根据正弦型函数的图象与性质判断各选项即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数的图象和性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，则，，

，
，或舍去，
为的重心，，为的中点，
，
故选：．
设，由求出，得到为的重心，为的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，即，，
，
由正弦定理得：，即，
，
或，解得或舍去，
又为锐角三角形，则，
，解得，
，
又，
，
，
，即的取值范围．
故选：．
由正弦定理边化角可得，由为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：：，则符合题意；
：，不符合题意；
：令，则且，
所以在，上单调递增，的值域为，符合题意；
：当时，，
当时，，显然不符合题意．
故选：．
由已知分别求出各选项函数的值域，即可作出判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数值域的求解，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：

为整数


对于：，故A对；
对于：，故B错；
对于：不是奇函数也不是偶函数，C正确；
对于：由于的解析式中有，故单调性分情况讨论，故D不对．
故选：．
先化简的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于求出辅助角，再通过整体处理的思想研究函数的性质．
本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．
 

11.【答案】 

【解析】解；对于，当时，，，
，当时取得最小值，所以的最小值为，不正确；
对于，若，，，解得，
则存在唯一的，使得，故B正确；
对于，，若，，
，
，令，，
解得：，，
，，，所以C正确；
对于，，
若，时，由知：，所以，
则的最小值为，D正确．
故选：．
将向量平方转化为求二次函数的最值问题可判断；将已知代入，由数量积为零计算出结果，只有一个值可判断；由已知得出配方、三角换元求出值域可判断；先将已知条件化简，利用选项结论求出范围可判断．
本题考查平面向量的数量积和线性运算，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，如图，

设的中点为，则，
，，三点共线，且，
设，分别为，中点，同理可得，，
为的重心，选项A正确；
对于，由奔驰定理可知，若，则：：：：，选项B正确；
对于，在中，由可知，，
又，
：：：：，则，
，选项C错误；
对于，，，，
由四边形内角和为知，，，，
又，，
又，
，即，
同理可得，，
，
结合奔驰定理可知，选项D正确．
故选：．
对于，设的中点为，易知，，三点共线，且，由此容易判断；对于，直接由题意得出结论；对于，求出的面积，再根据奔驰定理求得及的面积，即可得到的面积；对于，由为的垂心可得，，再结合三角形的面积公式以及平面向量的数量积运算化简，对照奔驰定理即可得出结论．
本题以新定义在载体，旨在考查平面向量的综合运用，涉及了平面向量的线性运算，三角形的面积公式，同角三角函数的基本关系等知识点，考查化简变形能力，运算求解能力，逻辑推理能力等，属于较难题目．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，，
则，
所以，
所以．
故答案为：．
由已知结合同角基本关系及二倍角公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，平方可得，
由，平方可得，
得：，故．
故答案为：．
本题将条件式平方相加，即可得到求值所需的因式以及常数，直接解出即可．
本题考查了余弦函数的差角公式，属简单题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为向量，，，
所以，
所以，整理可得，
解得或舍去，
则．
故答案为：．
由题意利用平面向量共线平行的坐标表示，同角三角函数基本关系式可求，解方程可得的值，进而利用二倍角公式即可求解的值．
本题考查了二倍角的三角函数，同角三角函数基本关系式，平面向量共线平行的坐标表示等知识的应用，考查了方程思想，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：的平分线交于点，，
所以：，
即，
因为，所以由二倍角公式可得，
即，
，
由余弦定理，得，
所以，
整理可得，
所以，
即，
所以，当且仅当时，“”成立，
故周长的最小值为．
故答案为：．
先利用面积相等以及余弦定理得到；再结合余弦定理得到，再利用基本不等式求得答案．
本题考查解三角形和基本不等式的运用，考查最值的求解，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由，
可得：，
整理得；
原式
．
．
．

． 

【解析】利用两角和的正切公式化简求解即可．
利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．
本题考查三角函数的恒等变换和化简求值，属简单题．
 

18.【答案】解：



，
令，，
则，，
故函数的单调递增区间为，；
若，
由为三角形内角得，
因为，
由余弦定理得，当且仅当时取等号，
则，即的最大值为． 

【解析】结合诱导公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；
由已知先求出，然后结合余弦定理及基本不等式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，和差角公式及辅助角公式，还考查了正弦函数的性质及余弦定理的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：设，由，，三点共线可得存在实数使得
，
同理由，，三点共线可得存在实数使得
，
，解得，
，
证明：设，
则，即，即，
故不论点，在线段，上如何移动，为定值． 

【解析】由向量共线定理即可求出；
设，由可得，问题得以证明．
本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意，以为坐标原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，

则，，，
，
，
，
由，，即，
，解得，其中，

，
，，
，
，，
的取值范围为． 

【解析】建立平面直角坐标系，根据三角函数的定义可得，再根据题意求得，进而根据辅助角公式得到的表达式即可；
根据题意可得，进而化简得到，再代入可得，，进而结合三角函数的范围求解即可．
本题考查向量数量积公式、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：法：因为，所以，
所以，即，
由余弦定理知，，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为．
法：由，得，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
又，
所以．
由得，，
由余弦定理知，，
所以，即，
因为，所以，
将代入式，得，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
解得或． 

【解析】法：将已知条件化为，利用平面向量的数量积与余弦定理化简，再代入的表达式中，并结合基本不等式，得解；
法：将已知条件化为，展开，并结合平面向量的数量积与基本不等式，即可得解；
由得，，结合余弦定理与三角形面积公式，化简可得，再由同角三角函数的关系式，得解．
本题考查平面向量与解三角形的综合，熟练掌握平面向量的数量积，线性运算，余弦定理与基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
则，
，
在中，由正弦定理得，
为直角三角形，且；
，解得，
又，
设，
，
令，
又，则，
，
令，
在上单调递增，
在上单调递减，即，
的取值范围为． 

【解析】利用同角的三角函数关系和正弦定理，即可得出答案；
由可得，由得，设，则，令，则，利用函数的性质，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．