2024年新高考数学一轮复习讲义 专题16 极值与最值

专题16极值与最值 【命题方向目录】命题方向一：求函数的极值与极值点命题方向二：根据极值、极值点求参数命题方向三：求函数的最值（不含参）命题方向四：求函数的最值（含参）命题方向五：根据最值求参数命题方向六：函数单调性、极值、最值得综合应用命题方向七：不等式恒成立与存在性问题【2024年高考预测】2024年高考仍然重点利用导数的极值与最值，恒能成立问题难度可为基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．特别注意同构式体系的知识，在近两年考查特别多．【知识点总结】一、函数极值的概念设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点．函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．二、求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．为可导函数的极值点；但为的极值点．三、函数的最大值、最小值若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．四、求函数的最大值、最小值的一般步骤设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【方法技巧与总结】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．【典例例题】命题方向一：求函数的极值与极值点例1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（    ）A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值【答案】D【解析】由，则时，时，所以在上递增，上递减，而，在上的最大值为k，所以，即，此时在上递减，且无极大值和最大值.故选：D例2．（2023·全国·高三专题练习）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（     ）A．的极大值为，极小值为B．的极大值为，极小值为C．的极大值为，极小值为D．的极大值为，极小值为【答案】D【解析】当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；故三次函数在上单调递增，在上单调递减，可得的极大值为，极小值为.故选：D.例3．（2023·辽宁鞍山·高三校联考期中）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值【答案】D【解析】观察图象知，当时，或且，当时，或，而当时，，当时，，因此当或时，，当时，，当且仅当时取等号，则在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，极大值，A，B，C不正确；D正确.故选：D变式1．（2023·全国·高三对口高考）函数的极值点是（    ）A． B． C．或或0 D．【答案】D【解析】，令有或或0，但当取或左右邻域的值时，同号，故函数的极值点是.故选：D变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的极小值为______．【答案】/-0.5【解析】函数的定义域为，，令，即，得，令，即，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故当时，函数取得极小值，极小值为．故答案为: .变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在x＝1处取得极值，则函数的一个极大值点为______．【答案】(答案不唯一）【解析】因为，所以，则，解得a＝1，则，所以，由，得到或，，由，得到，，由，得到，，所以的极大值点为，，当k＝0时，，故的一个极大值点为（答案不唯一，满足，即可）.故答案为：.【通性通解总结】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．命题方向二：根据极值、极值点求参数例4．（2023·全国·高三对口高考）如果函数在处有极值，则的值为__________．【答案】2【解析】因为函数在处有极值，所以，.由于，所以.，解得：或.当时，，，所以单调递减，无极值.所以.故答案为：2例5．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，则，令，且，整理得，原题意等价于与有两个不同的交点，构建，则，令，解得；令，解得或；则在上单调递增，在上单调递减，且，由图可得：若与有两个不同的交点，可得：，因为，则，由图可知：当增大时，则减小，增大，可得减小，取，令，则，因为，解得，所以，则，即实数a的取值范围是.故答案为：.例6．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．【答案】【解析】因为，所以，为二次函数，且对称轴为，所以函数在单调递增，则函数在单调递增，因为函数在上有极值，所以在有解，根据零点的存在性定理可知，即，解得，故答案为：.变式4．（2023·全国·高三专题练习）若在上存在极值，则数m的取值范围为_____．【答案】【解析】由题得，要使在上存在极值，则在上有解．因为当时，，令，则，设，则，在上单调递增，，又恒成立，故m的取值范围为．故答案为：变式5．（2023·全国·高三对口高考）已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意当时不成立，当时有两个零点与.①当时，开口向上，且，故当时，时，在处取到极大值；②当时，开口向下；当时，，无极大值；当时，在区间上，上，故在处取到极大值；当时，在区间上，上，故在处取到极小值.综上有或.故答案为：变式6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】函数的定义域为，导函数，由已知有两个不相等的正实数根，所以有两个不相等正实数根，令，则，由，得.当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减.又，，当时，，当时，，当时，，由以上信息可得，函数的图象大致如下：  所以a的取值范围是.故答案为：.变式7．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】，因为是的极小值点，所以，解得.所以.当时，，，，为减函数；，，为增函数，所以是的极小值点，符合条件.当时，令，解得或.当时，，，为增函数；，，为减函数；，，为增函数，所以是的极小值点，符合条件.当，即时，，则在R上为减函数，无极值点，舍去.当时，即，，，为减函数；，，为增函数；，，为减函数，所以是的极大值点，舍去.当时，即，，，为减函数；，，为增函数；，，为减函数，所以是的极小值点，符合条件.综上，a的取值范围为.故答案为：.变式8．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若是函数的极小值点，则的取值范围为__________.【答案】【解析】，因为是的极小值点，所以，即，从而.当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，符合题意；当时，令，得，若是的极小值点，则，解得.综上，的取值范围.故答案为：.命题方向三：求函数的最值（不含参）例7．（2023·云南·校联考模拟预测）若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点是函数图象上的点，点是直线上的点，则可以转化为，两点之间的距离，即，因为，设函数在点处的切线与直线平行，则直线的斜率为1，可得，整理得，令，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，当时，所以有且仅有一个零点，∴方程有且仅有一个解，则，故的最小值为点到直线的距离，即的最小值为.故选：A.例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（    ）A．10 B．5 C． D．【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，即在上单调递增，所以，，所以，所以，因为是奇函数，关于原点对称，所以关于中心对称，易知点在圆的内部，因为点到坐标原点的距离为，所以所求最短弦长为.故选：D.例9．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）函数在上的最小值是（    ）A． B． C．0 D．【答案】C【解析】因为，所以，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；所以当时，函数值为0，当时，函数值为，所以其最小值为0.故选：C.变式9．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知为函数的极值点，则在区间上的最大值为（    ）（注：）A．3 B．C．5 D．【答案】B【解析】，由于是的极值点，所以，此时，所以在区间递减；在区间递增.所以是极小值点，符合题意.，，由于，所以在区间上的最大值为.故选：B变式10．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）函数在区间 的最大值为（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】 ，当 时， ， 单调递增，当 时 单调递减，当 时， 单调递增； ， ；故选：D.命题方向四：求函数的最值（含参）例10．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，其中．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）依题意，，而，则，①当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，则，；②当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减，则，；③当时，函数在上单调递增，由，得，当时，递减，当时，递增，，由，得，，由，得，，所以当时，的最小值是，最大值是；当时，的最小值是，最大值是；当时，的最小值是，最大值是；当时，的最小值是，最大值是．例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)已知在上的最大值为，讨论关于x的方程在内的根个数，并加以证明.【解析】（1）因为，所以，而，所以的图象在处的切线方程为，即.（2）当时，有，则.当时，，不符合题意；当时，，则在上单调递减，即，不符合题意；当时，，则在上单调递增，即，解得.令，则在上单调递增.因为，所以在内存在唯一的零点.当时，，令，则，所以当时，有，则，即在上单调递减，因为，所以在内存在唯一零点，即，所以当时，，即在上单调递增，所以有，即在内无零点，当时，，所以在上单调递减.因为，所以在内有且仅有一个零点.综上，关于x的方程在内有两个不相等的实数根.例12．（2023·四川内江·高三校考阶段练习）已知函数.(1)若，曲线在处的切线过点，求的值；(2)若，求在区间上的最大值.【解析】（1）当时，，，，，所以，曲线在处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程可得，整理可得，解得或.（2）因为且，，则，①当时，对任意的，且不恒为零，此时函数在上单调递增，当时，；②当时，，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，故当时，.综上所述，当时，.变式11．（2023·北京·高考真题）已知函数(1)求的单调减区间；(2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【解析】（1）由，求导可得,由，可得或，所以函数的单调减区间为，；（2）因为，令，解得或可得下表：则，分别是在区间上的最大值和最小值，所以，解得，从而得函数在上的最小值为.变式12．（2023·北京石景山·高三统考期末）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若和有相同的最小值，求a的值．【解析】（1）因为，，所以，所以，，所以，曲线在点处的切线方程，即．（2）函数的定义域为，所以，，所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，当时，时，，单调递减；时，，单调递增，综上，当时，增区间为，无减区间；当时， 减区间为，增区间为.（3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增.所以，因为，得，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，因为和有相同的最小值，所以，即，令，，令，，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，在上单调递增，因为，所以，等价于变式13．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最小值；【解析】（1）当时，，∴，∴，，所以曲线在点处的切线方程为，即（2）由，可得，由，可得，当，即时，时，恒成立，单调递增，所以函数在区间上的最小值为；                    当，即时，时，恒成立，单调递减，所以函数在区间上的最小值为；                     当，即时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以函数在区间上的最小值为；                 综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；命题方向五：根据最值求参数例13．（2023·四川·高三统考对口高考）如果函数的值域为，那么______．【答案】1【解析】，当时，，为减函数，，显然不合题意；当时，时，，此时为减函数，时，，此时为增函数，所以；因为函数的值域为，所以，解得.故答案为：1.例14．（2023·山东东营·高三胜利一中校考期末）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是____________．【答案】【解析】由题意，得．由，得或，则在区间和上单调递增，由，得，则在区间上单调递减，所以，即解得．故答案为：.例15．（2023·福建·高三校联考阶段练习）若函数（其中）存在最小值，则实数a的取值范围为______.【答案】【解析】，①若，根，单调递减，无最小值，不符合题意；②若，令，解得在上递减，上递增，，所以符合题意；③若，则，单调递增，无最小值，不符合题意；综上所述：.故答案为：.变式14．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，若存在，，使得在区间的最小值为－1且最大值为1，则符合条件的一组，的值为_________．【答案】a=4，b=1（答案不唯一）【解析】，，不妨令，在区间[0，1]上恒成立，在区间[0，1]上单调递减，此时要满足题意则，解得．符合条件的一组a，b的值为：故答案为：a=4，b=1变式15．（2023·全国·高三专题练习）如果两个函数存在零点，分别为，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“2度零点函数”，则实数的最大值为___________.【答案】【解析】函数的零点为3，设函数的零点为，则.，令，，；，即函数在上单调递增，在上单调递减，，即实数的最大值为.故答案为：变式16．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】， 令 解得；令 ，解得或 由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处有极大值，在处有极小值， ，解得 故答案为：变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数在上的最小值为1，则__________．【答案】1【解析】由题意得，当，即时，，在上递增，故，解得；当，即时，当 时，，递减，当 时，，递增，故，解得，不符合，舍去，综上，.故答案为：1命题方向六：函数单调性、极值、最值得综合应用例16．（2023·山东潍坊·三模）已知函数有两个极值点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．【解析】（1）由函数有两个极值点，即函数有两个零点，不妨设，因为，令，可得，令，解得，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以，可得，又由，所以存在，使得，令，可得，令，可得，所以在上单调递增，且,即，所以在上单调递增，又由，所以在上恒成立，又由，所以存在，使得，所以实数的取值范围是．（2）由（1）得，不妨设，则，即，要证，即证，即，只需证，则，即，即，令，可得，因为，可得，所以在上为增函数，则，即，所以.例17．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.(1)求；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.【解析】（1），当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，由，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有.（2）由（1）知，两个函数图象如下图所示：由图可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设且，由，又，又当时，单调递增，所以，又，又，又当时，单调递减，所以，；于是有.例18．（2023·山西晋中·统考三模）．(1)讨论的单调性；(2)，若有两个极值点，且，试求的最大值．【解析】（1）由题意得，令，得两根为和．当时，令，得，令，得，于是在上单调递增，在上单调递减；当时，令，得，令，得，于是在上单调递减，在上单调递增．（2）由题意得，则．令，则有两个不等正根，于是，且，，即，又，于是，且．则，令，则．令，则，于是在单调递增，在单调递减，故，即的最大值为.变式18．（2023·天津河东·高三天津市第七中学校考期中）已知函数在上单调递减．(1)求的取值范围；(2)令，，求在上的最小值．【解析】（1），若 在 上单调递减, 则 在 上恒成立.；而 , 只需 在 上恒成立.；于是 ,解得 .（2）则，令，则，，当时，即时， 在上成立,此时在上单调递增,有最小值 ;当 即 时, 当 时有 ,此时在 上单调递减,当 时，有, 此时 在 上单调递增,有最小值;当 即时, 在上成立,此时在上单调递减,有最小值 .综上：当，最小值;，最小值，最小值变式19．（2023·江苏南京·模拟预测）已知函数，其中，.(1)若，求的最小值；(2)若，且有最小值，求的取值范围.【解析】（1）函数，其中，，函数定义域为，，，解得；，解得，在上单调递减，在上单调递增，∴，有，设，函数定义域为，有，，解得；，解得，在上单调递增，在上单调递减速，∴，有，∴，，即，当时的最小值为.（2）若， 即，设，，∴，是的最小值也是极小值，，，则，所以，有最小值，则有，即，得到的取值范围为变式20．（2023·上海黄浦·高三校考阶段练习）已知函数，其中.(1)求的单调区间；(2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，，当时，由可得，由可得或，所以，函数的单调递增区间为、，减区间为.（2）因为，则，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，因为，，则，所以，，令.①若，则，，故函数在上单调递减，此时；②若，则.综上所述，的取值范围是.命题方向七：不等式恒成立与存在性问题例19．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，为实数，不等式在上恒成立，则的最小值为（    ）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】C【解析】设，，当时，，函数在上单调递增，此时，在不恒成立，不合题意当时，时，，函数在上单调递增，时，，函数在上单调递减，所以在时取得最大值，由题意不等式在恒成立，只需即，所以，，设，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以在取得最小值为，所以最小值为，故选：C例20．（2023·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为（    ）A． B．0 C．1 D．3【答案】B【解析】因为对于任意恒成立，等价于对于任意恒成立，令，，则，令，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在有且仅有一个根，满足，即，当时，，即，函数单调递减，时，，即，函数单调递增，所以，由对勾函数可知，即，因为，即，，，所以，当时，不等式为，因为，不合题意；所以整数的最大值为0.故选：B例21．（2023·河北·统考模拟预测）若，不等式成立，则实数的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，不等式等价于，即，即构造函数，则，在上单调递增，所以，于是，则，即，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，解得.故选：A.变式21．（2023·四川南充·统考三模）已知函数使（为常数）成立，则常数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，在定义域上单调递增，又使（为常数）成立，显然，所以不妨设，则，即，令，，则，即函数在上存在单调递增区间，又，则在上有解，则在上有解，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以，即常数的取值范围为.故选：C变式22．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）已知函数，，若成立，则的最小值为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】不妨设，则，，则．令，则，记，则所以在上单调递增，由，可得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以．故选：A变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由得．令，，又∵，当时，，单调递增．当时，，单调递减．∴，∴，即．故选：D.变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】对任意，，都有不等式成立，，，，则在区间上单调递增，∴，，，，则在上单调递增，，，则在上单调递减，，，故，综上，.故选：C【通性通解总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高三对口高考）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（    ）A．，4 B．4， C．，2 D．2，【答案】C【解析】，令，得，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，当，，函数单调递减，当，函数单调递增，所以函数的极大值点是，函数的极小值点是.故选：C2．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数在处取得极值0，则（    ）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】，有，得，所以.故选：B3．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，则的极大值为（    ）A．-3 B．1 C．27 D．-5【答案】C【解析】因为，所以，则，解得，故，，当或时，，当时，，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，取得极大值27.故选：C4．（2023·四川·高三统考对口高考）函数的极值点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由题意得，，令得，令得，令得，故为函数的极小值点，即函数的极值点个数为1个.故选：B5．（2023·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ）A．，3 B．，3 C．，2 D．，2【答案】B【解析】因为,所以为偶函数，当时，，.易知当时,，，则，在[0，π]上单调递增，所以，，故选:B6．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（　　）A． B． C． D．1【答案】C【解析】因为函数定义域为，所以依题可知， ，而 ，所以，即 ，所以 ，因此当时，,故函数在递增；时，,故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；故选：C．7．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】1.因为，则，若在上单调递增，则在上恒成立，即恒成立，则，解得；2.因为，则，①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增，此时只有最大值，没有最小值不满足题意；②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减，此时只有最小值，没有最大值不满足题意；③当时，令，解得；令，解得；则在单调递增，在单调递减，所以为最小值，若在上既有最大值，又有最小值，则且，解得：；综上所述：．故选：B.8．（2023·西藏林芝·统考二模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题可知，，因为有两个不同的极值点，所以且，若，则，，当时，，即，即，即，设（），则，所以在上单调递减，则，则，所以.若，则，，当时，，即，若，则当时，，不满足题意，所以，此时，即.设（），则，解得，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则有解得，所以.综上，的取值范围是.故选：B.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）A．在处的切线为轴 B．是上的减函数C．为的极值点 D．最小值为0【答案】ACD【解析】由题意知，故，故在处的切线的斜率为，而，故在处的切线方程为，即，所以在处的切线为轴，A正确；当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，B错误；由此可得为的极小值点，C正确；由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，最小值为，D正确，故选：10．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，则（    ）A．是的极小值点 B．有两个极值点C．的极小值为 D．在上的最大值为【答案】ABD【解析】因为，所以，当时，；当时，，故的单调递增区间为和，单调递减区间为，则有两个极值点，B正确；且当时，取得极小值，A正确；且极小值为，C错误；又，，所以在上的最大值为，D正确.故选：ABD.11．（2023·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ）A．当时，B．函数有2个零点C．的解集为D．，都有【答案】ACD【解析】②当时，则，,因为是定义在R上的奇函数,所以，故A对.②时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对.③时，令,解得；时，令，解得，故的解集为，所以C对.④当时，，，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，且当时，，时，所以由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对.故选:ACD12．（2023·河北石家庄·统考三模）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（    ）A． B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极大值点【答案】BC【解析】是的极大值点．则存在区间，，对任意有，不一定是最大值，A错误；的图象与的图象关于轴对称，因此，对任意有，是的极大值点，B正确；的图象与的图象关于轴对称，因此对任意有，C正确；由BC的推理可知是的极小值点，D错误．故选：BC．三、填空题13．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则的极大值点为__________.【答案】【解析】，令，得，或；令，得，在上单调递增，在上单调递减，的极大值点为.故答案为：.14．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.【答案】【解析】由有两个不同实根，且，设，当时，，当时，，在单调递减，在单调递增，所以，显然当时，，当时，，图象如下：所以有，则有，当时，即.，时，，故答案为：15．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数有三个零点，则a的取值范围是______.【答案】【解析】由得，，所以若函数有三个零点，则方程有三个根，设，则，令得，或，当时，，递减，当时，，递增，当时，，递减，又，作出函数的大致图像，如图，由图可知，当时，函数有三个零点.  故答案为：.16．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知函数，若（），则的最大值为______.【答案】【解析】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增，不妨设，则，可得，则，令，则，令，则，令，则，故在上单调递增，在上单调递减，故，故答案为：四、解答题17．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知函数.(1)求出函数的单调区间；(2)若，求的最小值.【解析】（1）函数的定义域为，，令，则或时，令，则时， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，18．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知，不等式的解集为.(1)求集合；(2)，不等式恒成立，求正实数的最小值.【解析】（1）由得，且，解得，即原不等式的解集；（2）由（1）知，∴即为恒成立，则恒成立，设，∵在小于零，∴h(x)单调递减，所以，∴，即正实数的最小值为.19．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最大值．【解析】由，所以，当时，，所以，则在单调递减，所以.故答案为：.20．（2023·广西防城港·高三统考阶段练习）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.【解析】（1），令，解得：，令，解得：，故在上递增，在上递减，∴的极大值为，无极小值.（2）若对任意，都有成立，则对任意恒成立，令，则，令，，则，∴在上递增，即，∴在上恒成立，∴在上递增，故，故，即的取值范围是.21．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数，在处取得极小值．(1)求函数的解析式；(2)求函数的极值；(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．【解析】（1）∵，则，由题意可得 ，解得，则函数的解析式为，且，令，解得：，则当变化时，的变化情况如下表： 故符合题意，即.（2）由（1）可得：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值2.（3）∵函数在时，，在时，且，∴由（1）知：当时，函数有最小值，又∵对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于，对于开口向上，对称轴为，当时，则在上单调递增，故的最小值为，得；当时，则在上单调递减，故的最小值为，得；当时，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，得或，不合题意，舍去；综上所述：的取值范围是.22．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，（a为常数，e为自然对数的底）．(1)当时，求；(2)若在时取得极小值，试确定a的取值范围；(3)在（2）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将a换元为x，试判断曲线是否能与直线（m为确定的常数）相切，并说明理由．【解析】（1）当时，，求导得，所以.（2）函数的定义域为R，求导得，由，得或，若，即时，怛成立，此时在区间上单调递减，没有极小值；当，即时，由，得或，由，得，因此是函数的极小值点，当，即时，由，得或，由，得，因此是函数的极大值点，所以使函数在时取得极小值的的取值范围是.（3）由（2）知，当时，是的极大值点，极大值为，因此，求导得，令，求导得恒成立，即在上是增函数，于是，恒有成立，即在曲线上任意一点处的切线斜率都小于1，而直线的斜率为，所以曲线不能与直线相切.减极小值增极大值减