2024年新高考数学一轮复习讲义 专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性

这是一份2024年新高考数学一轮复习讲义 专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性，文件包含专题07函数的性质-单调性奇偶性周期性解析版docx、专题07函数的性质-单调性奇偶性周期性原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共88页， 欢迎下载使用。

专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
【命题方向目录】
命题方向一：函数的单调性及其应用
命题方向二：复合函数单调性的判断
命题方向三：利用函数单调性求函数最值
命题方向四：利用函数单调性求参数的范围
命题方向五：基本初等函数的单调性
命题方向六：函数的奇偶性的判断与证明
命题方向七：已知函数的奇偶性求参数
命题方向八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
命题方向九：已知奇函数+M或奇函数+函数
命题方向十：函数的对称性与周期性
命题方向十一：类周期函数
命题方向十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
命题方向十三：函数性质的综合
命题方向十四：利用奇偶性、单调性解不等式
【2024年高考预测】
2024年高考仍重点考查函数的基本性质，特别是结合考查图像问题，求解参数范围，周期问题以及抽象函数问题等的考察．
【知识点总结】
一、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为D，区间，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数的一个增（减）区间．
熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：
设且，则在上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零．
在上是减函数．
（2）性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减．
若为增函数，且或），则为减函数．
若为减函数，且或），则为增函数．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．
二、函数的最值
前提
设函数的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
（1），都有；
（2），使得
（1），都有；
（2），使得
结论
M为最大值
M为最小值

三、函数奇偶性
1、定义
设（为关于原点对称的区间），如果对于任意的，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数．
2、性质
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
四、函数的周期性
1、定义
设函数，如存在非零常数T，使得对任何，且，则函数为周期函数，T为函数的一个周期．若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期．
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个，都满足；若是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合．
2、性质
若的周期为T，则也是函数的周期，并且有．
3、有关函数周期性的重要结论（如表所示）

五、函数的对称性
（1）若函数为偶函数，则函数关于对称．
（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称．
（3）若，则函数关于对称．
（4）若，则函数关于点对称．
【方法技巧与总结】
函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
（4）若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．
（5）若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．
【典例例题】
命题方向一：函数的单调性及其应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（    ）
A． B． C． D．

例2．（2023·河南许昌·高三校考期末）已知函数.
(1)求的解析式;
(2)判断并证明函数在上的单调性.




例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．




变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明函数在上的单调性．




变式2．（2023·全国·高三阶段练习）已知奇函数的定义域为
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)当时，恒成立，求的取值范围．




【通性通解总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．

命题方向二：复合函数单调性的判断
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间为__________．

例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为_____________．

例6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是_______．

变式3．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调增区间为___________.

变式4．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是__________.

【通性通解总结】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：



增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
命题方向三：利用函数单调性求函数最值
例7．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知，设，则函数的值域为___________．

例8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________.

例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域为__________.

变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则其值域为__________.

变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．

【通性通解总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
命题方向四：利用函数单调性求参数的范围
例10．（2023·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

例11．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足，，则的值是_______

例12．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．

变式7．（2023·安徽宣城·高三统考期末）已知在区间内任取两个不相等的实数p，q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.

变式8．（2023·高三课时练习）已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.

变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________．

变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.

变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则a的取值范围是（    ）
A．（0，] B．[） C．[] D．（]

变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知，若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

【通性通解总结】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
命题方向五：基本初等函数的单调性
例13．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知函数同时满足性质：①；②当时，，则函数可能为（   ）
A． B． C． D．

例14．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是（    ）
A． B． C． D．

例15．（2023·云南玉溪·高三校考阶段练习）已知函数，则（    ）
A．是单调递增函数 B．是偶函数
C．函数的最小值为 D．

变式14．（2023·陕西西安·高三统考期末）下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（    ）
A． B． C． D．

变式15．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（    ）．
A． B． C． D．

【通性通解总结】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决．
2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间（同增异减）．
3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系．
命题方向六：函数的奇偶性的判断与证明
例16．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）双曲函数起初用来描述一些物理运动过程，后来又大量应用于计算机科学､经济和金融领域．若双曲正切函数为，则（    ）
A．是偶函数，且在上单调递减 B．是偶函数，且在上单调递增
C．是奇函数，且在上单调递减 D．是奇函数，且在上单调递增

例17．（2023·全国·高三专题练习）若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（    ）
A． B．
C． D．

例18．（2023·江西·高三校联考阶段练习）若是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（    ）
A． B．
C． D．

变式16．（2023·高三课时练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)
(4)．




【通性通解总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性．
命题方向七：已知函数的奇偶性求参数
例19．（2023·河北·校联考一模）若函数的图象关于原点对称，则实数m的值为__________.

例20．（2023·湖南·校联考二模）已知函数为偶函数，则______________．

例21．（2023·山东威海·统考二模）若函数是奇函数，则实数a＝______．

变式17．（2023·上海·高三专题练习）已知是奇函数，则实数__________．

变式18．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______．

变式19．（2023·上海长宁·统考二模）若函数为奇函数，则实数a的值为___________．

【通性通解总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．
命题方向八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例22．（2023·广东·高三统考学业考试）函数是偶函数，当时，，则________.
例23．（2023·陕西西安·统考一模）若定义域为的奇函数在区间上单调递减，且不等式的解集为，则符合题意的一个函数解析式为______.
例24．（2023·高三课时练习）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为___________.
【通性通解总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．
命题方向九：已知奇函数+M或奇函数+函数
例25．（2023·山西大同·高三统考阶段练习）函数的最大值为M，最小值为N，则（    ）
A．3 B．4 C．6 D．与m值有关
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
变式22．（2023·山西忻州·高三统考阶段练习）已知函数的最大值与最小值之和为6，则实数a的值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式23．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知，若，则等于（    ）
A． B． C．0 D．1
变式24．（2023·广西桂林·高一校考期中）已知函数 ，则（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式25．（2023·全国·高三专题练习）若对，．有，则函数在，上的最大值和最小值的和为（    ）
A．4 B．8 C．6 D．12
变式26．（2023·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）已知函数，若，则______．
【通性通解总结】
已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
命题方向十：函数的对称性与周期性
例28．（多选题）（2023·广东广州·统考模拟预测）设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（    ）．
A．， B．
C． D．
例29．（多选题）（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（    ）
A．是周期为2的函数 B．为偶函数
C． D．的值域为
例30．（多选题）（2023·广东汕头·统考三模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．在上是减函数
C．为奇函数
D．方程仅有6个实数解
变式27．（多选题）（2023·江苏盐城·统考三模）设函数为上的奇函数，为的导函数，，，则下列说法中一定正确的有（    ）
A． B． C． D．
变式28．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ）
A．函数的周期为2
B．函数的图象关于直线对称
C．函数为偶函数
D．函数的图象关于点对称
变式29．（多选题）（2023·山西大同·统考模拟预测）定义在R上的函数，满足，，，，则（    ）
A．是函数图象的一条对称轴
B．2是的一个周期
C．函数图象的一个对称中心为
D．若，且，，则n的最小值为2
变式30．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（    ）
A．4为函数的一个周期 B．函数的图象关于点对称
C． D．
变式31．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则下列说法正确的是（    ）
A．在单调递减 B．
C． D．
变式32．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，函数是定义在R上的偶函数，且满足，，则（    ）
A．的图象关于点对称 B．是周期为3的周期函数
C． D．
变式33．（多选题）（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）设定义在R上的函数与的导数分别为与，已知，，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（    ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的一个周期为8
D．函数为奇函数
变式34．（多选题）（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（    ）
A． B． C． D．
【通性通解总结】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
命题方向十一：类周期函数
例31．（2023·江西·校联考一模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（    ）.
A． B． C． D．
例32．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是
A． B．
C． D．
例33．（2023·天津静海·高三静海一中校联考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A．， B． C．， D．
变式35．（2023·湖北黄石·高一统考阶段练习）已知函数，函数的定义域为且满足．当时，．若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【通性通解总结】
1、类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．

类周期函数图象倍增函数图象
2、倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
注意当时，构成一系列平行的分段函数，．
命题方向十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，，求证：f（x）在R上是减函数；
例36．（2023·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）已知函数对任意的都有，且当时，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明：函数是定义域上的减函数；
(3)当时，函数是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由.
变式36．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立，已知，且时.
(1)求与的值；
(2)求证：对任意的正数、，；
(3)解不等式.
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足对任意，都有．
（1）求证：是偶函数；
（2）设时，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集．
变式38．（2023·河北·高三学业考试）已知函数的定义域为，且对任意的有. 当时，，.
（1）求并证明的奇偶性；
（2）判断的单调性并证明；
（3）求；若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【通性通解总结】
抽象函数的模特函数通常如下：
（1）若，则（正比例函数）
（2）若，则（指数函数）
（3）若，则（对数函数）
（4）若，则（幂函数）
（5）若，则（一次函数）
（6）对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形．
命题方向十三：函数性质的综合
例37．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）若，则（    ）
A． B．
C． D．
例38．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知，分别为定义在R上的，的导函数，且，，若是偶函数，则下列结论一定正确的是（    ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．3是的一个周期
D．
例39．（2023·四川攀枝花·统考三模）定义在上的连续可导函数的导函数为，满足，且为奇函数．当时，，则（    ）
A． B． C． D．
变式39．（2023·山西临汾·统考二模）已知函数是定义在上的连续函数，且满足，.则的值为（    ）
A． B． C． D．
变式40．（2023·贵州黔西·校考一模）已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（    ）
A．3 B．2 C．0 D．50
变式41．（2023·陕西渭南·统考一模）已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
变式42．（2023·四川绵阳·统考一模）若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）
①的一个周期为2                ②
③的一条对称轴为            ④
A．1 B．2 C．3 D．4
变式43．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（    ）
A．28 B．32 C．36 D．40
【通性通解总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小．
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍．
命题方向十四：利用奇偶性、单调性解不等式
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（   ）
A． B．
C． D．
例41．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
例42．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
变式44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则关于x的不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
变式45．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ）．
A． B．
C． D．
变式46．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则关于的不等式的解集为（   ）
A． B． C． D．
变式47．（2023·全国·高一专题练习）函数是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意，均有则实数的最大值是（    ）
A． B． C． D．
变式48．（2023·浙江·高三专题练习）函数，则使得成立的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，则以下说法正确的是（    ）.
A．为奇函数 B．为周期函数
C．有无数零点 D．
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）在函数，，，中，既是奇函数又是周期函数的有（    ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）下列函数中，与函数的奇偶性相同的是（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（    ）
A． B．和
C． D．和
5．（2023·河南·模拟预测）已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，则以下说法错误的是（    ）
A． B．的周期为2
C． D．
7．（2023·北京通州·统考三模）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·山东德州·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（    ）
A．2025 B．2024 C．1013 D．1012
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（    ）
A．函数 是偶函数 B．是曲线的切线
C．存在正数在不单调 D．对任意实数，
10．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
11．（2023·浙江·校联考二模）已知函数为奇函数，则参数的可能值为（    ）
A． B． C． D．
12．（2023·河北·校联考一模）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，当时，，若方程在上恰有个实数解，则（    ）
A．的周期为4 B．在上单调递减
C．的值域为 D．
三、填空题
13．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为_____．
14．（2023·上海徐汇·统考三模）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则__________.
15．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数满足：①为偶函数；②的图象过点；③对任意的非零实数，，.请写出一个满足上述条件的函数______.
16．（2023·河南·统考一模）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.