2024年新高考数学一轮复习讲义 专题09 指数与指数函数

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 专题09 指数与指数函数
【命题方向目录】
命题方向一：指数幂的运算
命题方向二：指数方程、指数不等式
命题方向三：指数函数的概念、图像及性质
命题方向四：比较指数式的大小
命题方向五：指数函数中的恒成立问题
命题方向六：指数函数性质的综合问题
【2024年高考预测】
2024年高考仍将重点考查指数与指数函数，考查利用指数运算及利用指数函数的图像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题．
【知识点总结】
1、指数及指数运算
（1）根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
（2）根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．
（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．
（4）有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
（5）有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指数函数




图象


性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【方法技巧与总结】
1、指数函数图象的关键点，，
2、如图所示是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，即在第一象限内，指数函数（且）的图象越高，底数越大．

3、指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
【典例例题】
命题方向一：指数幂的运算
例1．（2023·全国·高三专题练习）_________.

例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求__________

例3．（2023·全国·高三专题练习）________.

变式1．（2023·全国·高三专题练习）__________．

变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________

变式3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______

变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．

【通性通解总结】
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
命题方向二：指数方程、指数不等式
例4．（2022秋·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知和是方程的两根，则_________.

例5．（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）若、为方程的两个实数解，则______．

例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则方程的解是________．

变式5．（2022·全国·高三专题练习）方程的解集为________

变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．

变式7．（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．

变式8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为_________．

变式9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.

变式10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）请写出满足方程的一组实数对：______．

【通性通解总结】
利用指数的运算性质解题．对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解．形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解．
命题方向三：指数函数的概念、图像及性质
例7．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（    ）
A．4 B．2 C．1 D．0

例8．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则=（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7

例9．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数是指数函数，则等于（    ）
A．或 B．
C． D．

变式11．（2023·河北·高三学业考试）已知函数（，且）的图象经过点，则（    ）
A． B．2 C． D．4a的值为

变式12．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

变式13．（2023·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．

变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

变式16．（2023秋·黑龙江七台河·高三校考期中）函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（    ）
A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)

变式17．（2023·全国·高三专题练习）若指数函数（且）的图象恒过定点，且点在线段上，则的最小值为（    ）
A． B． C．8 D．9

【通性通解总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响．
命题方向四：比较指数式的大小
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．

例11．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，则（    ）
A． B．
C． D．

例12．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，，且，，则（    ）
A． B． C． D．

变式18．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）已知，，，则的大小关系是（    ）
A． B． C． D．

变式19．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（    ）．
A． B．
C． D．

【通性通解总结】
指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
命题方向五：指数函数中的恒成立问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是___________.

例14．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为________.

例15．（2023·全国·高三专题练习）已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是______．

变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.

变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知
(1)求的解析式，并求函数的零点；
(2)若，求；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.




变式22．（2023·全国·高三专题练习）设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.




变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.




【通性通解总结】
已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
命题方向六：指数函数性质的综合问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.

例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是___________．

例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．

变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数、满足，则的最大值为______．

变式25．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间为______.

变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.

变式27．（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.

变式28．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．

变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．


变式30．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___．

变式31．（2023·全国·高三专题练习）设方程的解为，，方程的解为，，则______．

变式32．（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的一个根，方程的一个根，则___________.

【通性通解总结】
（1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·河北·校联考一模）已知集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（    ）（参考数据：，）
A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克
3．（2023·北京·高三专题练习）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·广西·统考模拟预测）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知实数a，m，n满足，，，则（    ）
A．2 B． C．3 D．
7．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（     ）
A．设则 B．若，则
C．若，则 D．
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数m，n，t满足，，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知函数，则（    ）
A．函数是增函数
B．曲线关于对称
C．函数的值域为
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
12．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数，则（    ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，方程有两个解
三、填空题
13．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________．
14．（2023·全国·高三专题练习）需求价格弹性系数（其中为的导数）表示在一定时期内当一种商品的价格P变化1%时所引起的该商品需求量Q变化的百分比．已知某种商品的需求量Q关于价格P的函数关系式为（b为常数），若该商品当前价格为4元，为－0.5，则需求量Q＝______.
15．（2023·全国·高三专题练习）有下列三个不等式：①；②；③，则正确不等式的序号为______
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）求




18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．




19．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的偶函数和奇函数满足（其中），且.
(1)求函数和的解析式；
(2)若的最小值为，求实数的值.




20．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知函数（，为常数，且）的图象经过点，.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于不等式对都成立，求实数的取值范围.




21．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，与的图象关于直线对称的图象过点.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.




22．（2023·全国·高三专题练习）函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.