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备战2024高考数学艺体生一轮复习40天突破90分讲义word版专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性（原卷版）
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这是一份备战2024高考数学艺体生一轮复习40天突破90分讲义word版专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性（原卷版），共18页。
题型一：函数的单调性及其应用
题型二：复合函数单调性的判断
题型三：利用函数单调性求函数最值
题型四：利用函数单调性求参数的范围
题型五：基本初等函数的单调性
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
题型七：已知函数的奇偶性求参数
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
题型九：已知奇函数+M
题型十：已知由函数奇偶性解不等式
题型十一：函数的对称性与周期性
题型十二：函数性质的综合
【考点预测】
1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
3、函数的对称性
（1）若函数为偶函数，则函数关于对称．
（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称．
（3）若，则函数关于对称．
（4）若，则函数关于点对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期．
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
例3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数在上是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并证明．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知．
（1）证明：在（2，+∞）单调递增；
（2）解不等式：．
变式3．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知，且
（1）求实数的值；
（2）判断此函数的奇偶性并证明；
（3）判断此函数在的单调性（无需证明）．
【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
题型二：复合函数单调性的判断
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
题型三：利用函数单调性求函数最值
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______．
例8．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）函数在上的值域为________．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知设，则函数的最大值是（ ）
A．B．1C．2D．3
变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2B．
C．D．－
【方法技巧与总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是________．
例11．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递减，则实数的取值范围是________．
例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例13．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
例14．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是
A．B．C．D．
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决．
2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间（同增异减）．
3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系．
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
例16．（2023·全国·高三专题练习）函数．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）解不等式．
例17．（2023春·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）．
A．B．
C．D．
例18．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B．C．y=|x|D．
【方法技巧与总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性．
题型七：已知函数的奇偶性求参数
例19．（2023·全国·高三专题练习）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．
例20．（2023·全国·高三专题练习）若函数是偶函数，则________．
例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象关于轴对称，则常数 _______．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则常数的值为__．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则函数的值域为__________．
【方法技巧与总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例22．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则__________．
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为___________．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为___________．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．
题型九：已知奇函数+M
例25．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若，则（ ）
A．2B．1C．－2D．－5
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知，设函数，，，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（ ）
A．4与3B．3与1C．5和2D．7与4
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=2+的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于（ ）
A．2B．4C．2+D．4+
【方法技巧与总结】
已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
题型十：已知由函数奇偶性解不等式
例28．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为______．
例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
画图，数形结合．
题型十一：函数的对称性与周期性
例31．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ）
A．1B．-1C．2D．-3
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（ ）
A．0B．1
C．6D．216
例33．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足．若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式19．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且．则下列选项中说法正确的有（ ）
A．为奇函数B．周期为2
C．D．是奇函数
【方法技巧与总结】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
题型十二：函数性质的综合
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________．
例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______．
例36．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式20．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
【方法技巧与总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小．
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数在上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线对称B．直线对称
C．直线对称D．直线对称
4．（2023·全国·高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知是奇函数，则（ ）
A．1B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）关于函数的单调性的说法正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
9．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的偶函数，当时，，则时，（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上的周期为3的函数，当时，，则（ ）
A．﹣1B．1C．D．
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
13．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B． C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上有4个零点
15．（2023·全国·高三专题练习）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．点是图象的对称中心
三、填空题
16．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______________．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为___________．
18．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝lg5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．
19．（2023·上海·高三专题练习）已知是奇函数，且当时，若，则_______.
20．（2023·河南信阳·高三统考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则_________．
21．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为___________.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则_________.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则___________.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时，，则__．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是____.(填序号)
①的图像关于直线对称；
②的图像关于点对称；
③的最小正周期为4；
④为偶函数．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.
四、解答题
28．（2023·全国·高三专题练习）判断函数的奇偶性.
29．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立
(1)求的值；
(2)求证：为奇函数；
(3)若对恒成立，求的取值范围．
30．（2023·全国·高三专题练习）若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，．求时，函数的解析式；
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
题型一：函数的单调性及其应用
题型二：复合函数单调性的判断
题型三：利用函数单调性求函数最值
题型四：利用函数单调性求参数的范围
题型五：基本初等函数的单调性
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
题型七：已知函数的奇偶性求参数
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
题型九：已知奇函数+M
题型十：已知由函数奇偶性解不等式
题型十一：函数的对称性与周期性
题型十二：函数性质的综合
【考点预测】
1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
3、函数的对称性
（1）若函数为偶函数，则函数关于对称．
（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称．
（3）若，则函数关于对称．
（4）若，则函数关于点对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期．
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
例3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数在上是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并证明．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知．
（1）证明：在（2，+∞）单调递增；
（2）解不等式：．
变式3．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知，且
（1）求实数的值；
（2）判断此函数的奇偶性并证明；
（3）判断此函数在的单调性（无需证明）．
【方法技巧与总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
题型二：复合函数单调性的判断
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
题型三：利用函数单调性求函数最值
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______．
例8．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）函数在上的值域为________．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知设，则函数的最大值是（ ）
A．B．1C．2D．3
变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2B．
C．D．－
【方法技巧与总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是________．
例11．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递减，则实数的取值范围是________．
例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例13．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
例14．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是
A．B．C．D．
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决．
2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间（同增异减）．
3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系．
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
例16．（2023·全国·高三专题练习）函数．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）解不等式．
例17．（2023春·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）．
A．B．
C．D．
例18．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B．C．y=|x|D．
【方法技巧与总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性．
题型七：已知函数的奇偶性求参数
例19．（2023·全国·高三专题练习）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．
例20．（2023·全国·高三专题练习）若函数是偶函数，则________．
例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象关于轴对称，则常数 _______．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则常数的值为__．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则函数的值域为__________．
【方法技巧与总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例22．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则__________．
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为___________．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为___________．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．
题型九：已知奇函数+M
例25．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若，则（ ）
A．2B．1C．－2D．－5
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知，设函数，，，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（ ）
A．4与3B．3与1C．5和2D．7与4
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=2+的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于（ ）
A．2B．4C．2+D．4+
【方法技巧与总结】
已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
题型十：已知由函数奇偶性解不等式
例28．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为______．
例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
画图，数形结合．
题型十一：函数的对称性与周期性
例31．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ）
A．1B．-1C．2D．-3
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（ ）
A．0B．1
C．6D．216
例33．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足．若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式19．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且．则下列选项中说法正确的有（ ）
A．为奇函数B．周期为2
C．D．是奇函数
【方法技巧与总结】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
题型十二：函数性质的综合
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________．
例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______．
例36．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式20．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
【方法技巧与总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小．
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数在上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线对称B．直线对称
C．直线对称D．直线对称
4．（2023·全国·高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知是奇函数，则（ ）
A．1B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）关于函数的单调性的说法正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
9．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的偶函数，当时，，则时，（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上的周期为3的函数，当时，，则（ ）
A．﹣1B．1C．D．
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是偶函数
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
13．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B． C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上有4个零点
15．（2023·全国·高三专题练习）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．点是图象的对称中心
三、填空题
16．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______________．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为___________．
18．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝lg5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．
19．（2023·上海·高三专题练习）已知是奇函数，且当时，若，则_______.
20．（2023·河南信阳·高三统考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则_________．
21．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为___________.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则_________.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则___________.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时，，则__．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是____.(填序号)
①的图像关于直线对称；
②的图像关于点对称；
③的最小正周期为4；
④为偶函数．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.
四、解答题
28．（2023·全国·高三专题练习）判断函数的奇偶性.
29．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立
(1)求的值；
(2)求证：为奇函数；
(3)若对恒成立，求的取值范围．
30．（2023·全国·高三专题练习）若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，．求时，函数的解析式；
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
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