2023新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程教师用书新人教A版选择性必修第一册

3.2　双曲线3.2.1　双曲线及其标准方程1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)1．通过双曲线概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象素养． 做下面一个试验．(1)取一条拉链，拉开一部分．(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？知识点1　双曲线的定义文字语言平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹符号语言||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)焦点定点F1F2焦距两焦点间的距离1．(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)双曲线的右支．1．(1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　)A．充分条件　　　　　 B．必要条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件(2)平面内到点F1(6,0)的距离减去到点F2(－6,0)的距离之差等于12的点的集合是(　　)A．双曲线   B．双曲线的一支C．两条射线   D．一条射线(1)B　(2)D　[(1)根据双曲线的定义知甲乙，乙⇒甲，因此甲是乙的必要条件，故选B．(2)设动点为P，则|PF1|－|PF2|＝12＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点的一条射线，故选D．]知识点2　双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b22．如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？[提示]　双曲线的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”．这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法．2．(1)若双曲线方程为－＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．(2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为________．(1)x　(6,0)和(－6,0)　(2)－＝1　[(1)因为方程中x2的系数>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6,0)和(－6,0)．(2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是双曲线方程为－＝1．] 类型1　双曲线定义的应用【例1】　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离．(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．[解]　(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25，∴a＝3，b＝4，c＝5．设|MF1|＝7，则根据双曲线的定义知||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝±6．解得|MF2|＝13，或|MF2|＝1，又|MF2|＝1<c－a，则|MF1|＝1不合题意，因此，点M到另一个焦点的距离为13．(2)由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，∴S＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16．[母题探究](1)若将本例(2)中的∠F1PF2＝60°改为|PF1|·|PF2|＝32，求△F1PF2的面积．(2)若将本例(2)中的∠F1PF2＝60°改为|PF1|∶|PF2|＝2∶5，求△F1PF2的面积．[解]　(1)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16．(2)由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，∴S＝×4×4＝8．双曲线的定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．1．(1)已知双曲线C的方程是－＝1，其上下焦点分别是F2，F1，点M在双曲线C上，且|MF1|＝9，则|MF2|等于(　　)A．17　　　B．1　　　C．17或1　　　D．16或1(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)A．4    B．8    C．24    D．48(1)A　(2)C　[(1)由双曲线方程知a2＝16，b2＝20，则c2＝36，∴a＝4，b＝2，c＝6．根据双曲线的定义得||MF2|－9|＝8，即|MF2|－9＝±8，解得|MF 2|＝17或|MF2|＝1，又|MF2|＝1<c－a，不合题意，舍去，故选A．(2)解得|PF1|＝8，|PF2|＝6．在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，∴S＝|PF1|·|PF2|＝24．] 类型2　求双曲线的标准方程【例2】　根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点A；(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为－＝1．(2)双曲线－＝1的焦点在x轴，因此设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1．②由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1．(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0．∵点P，Q在双曲线上，∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1．试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤．[提示]　(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．2．(1)已知动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)A．－＝1   B．－＝1C．－＝1(x≤3)   D．－＝1(x≥3)(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．(1)D　(2)－＝1　[(1)由题意知|PA|－|PB|＝6，则点P的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支，且2a＝6，c＝5，所以b2＝c2－a2＝52－32＝42＝16，所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥3)，故选D．(2)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2)和(2，2)代入方程得解得a2＝8，b2＝4，所以双曲线的标准方程为－＝1．] 类型3　方程表示双曲线的条件【例3】　给出曲线方程＋＝1．(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．[解]　(1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，即(k＋4)(k－1)>0，解得k>1或k<－4，因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．(2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k<－4，因此实数k的取值范围是(－∞，－4)．方程表示双曲线的条件(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．3．(1)已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(　　)A．双曲线或一条直线B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线D．双曲线一支或一条射线(2)已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．(1)D　(2)(－1,1)　[(1)当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．(2)由题意得(1＋k)(1－k)>0，即(k＋1)(k－1)<0，解得－1<k<1．] 类型4　双曲线在生活中的应用【例4】　神舟九号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．[解]　如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5，2)．∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，∴双曲线方程为－＝1(x≥3)，②联立①②，得P点坐标为(8,5)，∴kPA＝＝，因此在A处发现P的方位角为北偏东30°．双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．4．某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．[解]　如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500，故|MA|－|MB|＜|AB|．这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25．而c2＝＝4 375，b2＝3 750，故所求分界线的方程为－＝1(x≥25)．即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工．1．(多选题)已知曲线C：mx2－ny2＝1，下列说法正确的是(　　)A．若mn＞0，则C为双曲线B．若m＞0且m＋n＜0，则C为焦点在x轴上的椭圆C．若m＞0，n＜0，则C不可能表示圆D．若m＞0，n＞0，则C为两条直线AB　[若mn＞0，则C为双曲线，所以A正确；若m＞0且m＋n＜0，则n＜0，|n|＞m＞0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；若m＞0，n＜0，当m＝1，n＝－1时，C是单位圆，所以C不正确；若m＞0，n＞0，则C为双曲线，所以D不正确．]2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)A．　　　　　　 B．C．   D．(，0)C　[将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，于是c＝＝，故右焦点坐标为．]3．k>9是方程＋＝1表示双曲线的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件B　[当k>9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．所以k>9是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．]4．已知双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为F1(5,0)，设另一个为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．(用数值表示)17或1　[由题意知，双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为F1(5,0)，∴c＝5，又由a 2＝c2－b2＝25－9＝16，所以a＝4，因为点P为双曲线上一点，且|PF1|＝9，根据双曲线的定义可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8，所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1．]5．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为________．－＝1　[由椭圆方程得焦点坐标为(0，±3)，椭圆与双曲线的一个公共点为(，4)．设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得故所求双曲线的标准方程为－＝1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程．[提示]　定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．标准方程：－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)2．方程－＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？[提示]　①若表示双曲线，则满足mn>0．②若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足③若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|、|PF2|的最小值分别是多少？[提示]　|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c．4．定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？[提示]　根据条件看是|PF1|－|PF2|＝2a还是||PF1|－|PF2||＝2a，若|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a，点的轨迹是双曲线一支，若||PF1|－|PF2||＝2a，则点的轨迹是双曲线．