2023新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质教师用书新人教A版选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质

第1课时　抛物线的简单几何性质

知识点1　抛物线的几何性质

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)抛物线关于顶点对称．  (　　)

(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心． (　　)

(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．                             (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

知识点2　直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．

设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0．

①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；

②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点．

Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点．

Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点．

直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？

[提示]　可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．

2．若直线y＝kx＋2与y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为________．

0或　[由消去x得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y＝2，符合题意；若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝．

综上，k＝0或．]

知识点3　直线与抛物线相交的弦长问题

(1)一般弦长

设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝·或|AB|＝(k≠0)．

(2)焦点弦长

已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p．

3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为(　　)

A．16　　　　B．14　　　　C．12　　　　D．10

C　[抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，

则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝12，故选C．]

类型1　抛物线性质的应用

【例1】　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．

(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．

(1)y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，

则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x．]

(2)[解]　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|＝a，则由已知得：

|BC|＝2a，

由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，

在Rt△ACE中，

∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，

∴2|AE|＝|AC|，

∴4＋3a＝8，从而得a＝，

∵BD∥FG，∴＝，p＝2．因此抛物线的方程是y2＝4x．

把握三个要点确定抛物线的几何性质

(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．

(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．

(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1．

1．(1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)

A．y2＝x   B．y2＝－x

C．y2＝±x   D．y2＝±x

(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．

(1)C　[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．

又A(取点A在x轴上方)，

则有＝±a，

解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x．故选C．]

(2)[解]　椭圆的方程可化为＋＝1，

其短轴在x轴上，

∴抛物线的对称轴为x轴，

∴设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)．

∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，

即＝3，∴p＝6，

∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3．

类型2　直线与抛物线的位置关系

【例2】　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．

[解]　联立消去y，

得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0．　(*)

当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，

∴y＝1，

∴直线l与C只有一个公共点，

此时直线l平行于x轴．

当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，

Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．

①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，

l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；

②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；

③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．

综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；

当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；

当k>1时，l与C没有公共点．

直线与抛物线交点问题的解题思路

(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．

(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．

2．过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？

[解]　(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝0符合题意．

(2)当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1．

由得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0．

当k＝0时，方程为－2x＋1＝0，解得x＝只有一解，

直线与抛物线只有一个公共点，此时，直线方程为y＝1．

当k≠0时，由Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，得k＝，此时直线与抛物线只有一个公共点，直线方程为y＝x＋1．

综上知，过定点P(0,1)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有三条．

类型3　抛物线的焦点弦问题

【例3】　(对接教材P135例题)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．

直线过抛物线的焦点，则弦长与交点的横坐标或纵坐标之和有关，由此思考解决问题的方法.

[解]　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

若AB⊥x轴，则|AB|＝2p<p，不满足题意．

所以直线AB的斜率存在，设为k，

则直线AB的方程为y＝k，k≠0．由，消去y，

整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0．

由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋．

所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝2p＋

＝p，解得k＝±2．

所以AB所在直线的方程为

y＝2或y＝－2，即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0．

1．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．

2．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．

3．设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为(　　)

A．±2    B．－1    C．±1    D．－2

A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，

消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，

所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，

抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，

因为|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，

所以|AF|·|BF|＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25⇒k＝±2．]

1．(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)

A．y2＝8x   B．y2＝－8x

C．x2＝8y   D．x2＝－8y

CD　[设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，

依题意令y＝，代入x2＝2py或令y＝－，代入x2＝－2py得|x|＝p，

∴2|x|＝2p＝8，p＝4．

∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y．]

2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)

A．－    B．－1    C．－    D．－

C　[因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，故直线AF的斜率k＝＝－．]

3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)

A．(2，±2)   B．(1，±2)

C．(1,2)   D．(2,2)

B　[由题意知F(1,0)，设A，则＝，

＝．

由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B．]

4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．

　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由抛物线2x2＝y，可得p＝．

∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，

∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝．]

5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．

0或1　[当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，

当k≠0时，联立方程消去y，得

k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，

由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，

∴k＝1．综上，k＝0或1．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．怎样确定抛物线上的点的横坐标与纵坐标的范围？

[提示]　方法一：利用方程确定．如x2＝2py(p>0)，由x2≥0知y≥0，x∈R．

方法二：先根据方程画出抛物线，再根据图形确定．

2．直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？

[提示]　当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个交点，但直线与抛物线相交，不相切．

3．直线y＝kx＋b与抛物线x2＝－2py相交，且经过抛物线的焦点F，若交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|与点A，B的坐标有什么关系？

[提示]　|AB|＝p－(y1＋y2)．