2023新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程教师用书新人教A版选择性必修第一册

3.3　抛物线3.3.1　抛物线及其标准方程1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(难点)通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，提升数学抽象及数学运算素养． 如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线．图中是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？知识点1　抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．1．抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?[提示]　当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．1．(1)若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)A．椭圆　　　　　　　　 B．抛物线C．直线   D．双曲线(2)平面内到点A(2,3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是(　　)A．直线   B．抛物线C．椭圆   D．圆(1)B　(2)A　[(1)由抛物线定义知，动点P的轨迹是抛物线，故选B．(2)由题意知，直线l经过点A，则点的轨迹是过点A且垂直于直线l的一条直线，故选A．]知识点2　抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)Fx＝－y2＝－2px(p>0)Fx＝x2＝2py(p>0)Fy＝－x2＝－2py(p>0)Fy＝2．抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？[提示]　p(p>0)的几何意义是焦点到准线的距离．2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线y2＝－2px(p>0)中p是焦点到准线的距离． (　　)(2)方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线． (　　)(3)抛物线y2＝x的准线方程为x＝． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)× 类型1　求抛物线的标准方程【例1】　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．[解]　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y．(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝．∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y．(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15．∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x．1．抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．2．求抛物线标准方程时应注意的问题(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；(3)注意p与的几何意义．1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(2)经过点(－3，－1)；[解]　(1)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y．(2)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝．∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y． 类型2　抛物线定义的应用【例2】　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．(1)A　[由题意知抛物线的准线为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．](2)[解]　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝．[母题探究]若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值．[解]　将x＝3代入y2＝2x，得y＝±．所以点A在抛物线内部．设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d．由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是．即|PA|＋|PF|的最小值是．抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．2．(1)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是(　　)A．y2＝－16x　　　　　　B．y2＝－32xC．y2＝16x   D．y2＝32x(3)抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．(1)C　(2)C　(3)　[(1)由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3．(2)由题意知点P到点F(4,0)和直线x＝－4的距离相等．所以P点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，又p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x．故选C．(3)抛物线的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－．设M(x0，y0)，则有y0＋＝1，解得y0＝．] 类型3　抛物线的实际应用【例3】　(对接教材P132例题)河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？实际问题与抛物线有关，联系抛物线标准方程的坐标原点及坐标轴的位置，请思考如何建立平面直角坐标系？[解]　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y． 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－．又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．求解抛物线实际应用题的步骤3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解]　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p＞0)，则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2．若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－×82＝－1.28，即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7,150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．1．准线为y＝－的抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝3y   B．y＝－x2C．x＝3y2   D．x＝－y2A　[准线是y＝－的抛物线的标准方程是x2＝3y，故选A．]2．若直线l过抛物线y2＝8x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝16，则线段AB的中点P到y轴的距离为(　　)A．6     B．8    C．10    D．12A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可得，x1＋x2＋p＝16．∵y2＝8x，∴p＝4，∴＝6，∴线段AB的中点P到y轴的距离为6．故选A．]3．若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为(　　)A．y2＝8x   B．y2＝－8xC．x2＝8y   D．x2＝－8yC　[依题意得点P(x，y)到点F(0,2)的距离与它到直线y＋2＝0的距离相等，并且点F(0,2)不在直线y＋2＝0上，所以点P的轨迹是抛物线，并且F是焦点，y＋2＝0是准线，于是抛物线方程为x2＝8y．]4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．2　[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y．当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．]5．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．(－9,6)或(－9，－6)　[由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝．设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x．由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．抛物线是如何定义的？试写出其标准方程．[提示]　把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．焦点在x轴上的抛物线标准方程为y2＝±2px(p>0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程为x2＝±2py(p>0)．2．当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？[提示]　可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．3．求解与抛物线有关的实际问题的基本步骤是什么？[提示]　①建：建立适当的坐标系．②设：设出合适的抛物线标准方程．③算：通过计算求出抛物线标准方程．④求：求出所要求出的量．⑤还：还原到实际问题中，从而解决实际问题．