2023新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质教师用书新人教A版选择性必修第一册

3.1.2　椭圆的简单几何性质第1课时　椭圆的简单几何性质1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．(重点)2．能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题．(难点、易混点)通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养． 通过椭圆的定义及图形认识了椭圆的一些简单性质(如对称性)，得到椭圆的标准方程之后，类比圆的研究方法，就有了一个新的途径——通过方程来探索和验证椭圆的几何性质，由椭圆的标准方程＋＝1(a＞b＞0)，可以获得椭圆的哪些几何性质呢？知识点　椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈(0,1)(1)离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？[提示]　(1)e越大(接近于1)，椭圆越扁，e越小(接近于0)，椭圆越圆．(2)最大值a＋c，最小值a－c．(1)椭圆 ＋＝1的长轴长、焦距分别为(　　)A．2,1   B．4,2C．，1   D．2，2(2)已知椭圆＋＝1，则椭圆的离心率e＝________．(1)B　(2)　[(1)由题意知a2＝4，b2＝3，则c2＝1，从而2a＝4,2c＝2，故选B．(2)由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7，从而e＝＝．] 类型1　由椭圆方程研究几何性质【例1】　(对接教材P112例题)(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)A．相同的焦点　　　 B．相同的顶点C．相同的离心率   D．相同的长、短轴(2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．(1)C　[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．](2)[解]　椭圆方程可化为＋＝1．①当0<m<4时，a＝2，b＝，c＝，∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．②当m>4时，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤．[提示]　(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c．(4)写出椭圆的几何性质．1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．[解]　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝．(2)椭圆C2：＋＝1．几何性质如下：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12． 类型2　由椭圆的几何性质求标准方程【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．[解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3．∴椭圆的方程为＋＝1．若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝＝＝＝，解得a2＝27．∴椭圆的方程为＋＝1．∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为＋＝1．(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．将点M(1,2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3．故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为________．(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．(1)＋＝1　(2)＋＝1或＋＝1　[(1)由题意，得解得因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1．(2)因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1．] 类型3　求椭圆的离心率【例3】　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)A．    B．    C．    D．(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)A．   B．C．   D．离心率e＝＝，因此建立a，b，c中二个量之间的关系式就可以求离心率或其范围，由此思考根据条件如何建立关系式.(1)B　(2)C　[(1)法一：由题意知，|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，又|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，∴(2c)2＋＝，∴＝，即e＝＝．法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝．又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．(2)法一：依题意，B(0，b)，设P(acos θ，bsin θ)，θ∈[0,2π)，因为|PB|≤2b，所以对任意θ∈[0,2π)，(acos θ)2＋(bsin θ－b)2≤4b2恒成立，即(a2－b2)·sin2θ＋2b2sin θ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0,2π)恒成立．令sin θ＝t，t∈[－1,1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，则原问题转化为对任意t∈[－1,1]，恒有f(t)≥0成立．因为f(－1)＝0，所以只需－≤－1即可，所以2b2≥a2，则离心率e＝≤，所以选C．法二：依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得x＝a2－y，则|PB|2＝x＋(y0－b)2＝x＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2≤4b2．因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤，故选C．]求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．3．(1)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)A．1－    B．2－    C．    D．－1(2)设椭圆上存在一点P，它与椭圆中心O的连线和它与长轴一个端点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围为________．(1)D　(2)　[(1)在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，则|PF2|＝c，|PF1|＝c，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝＝－1，故选D．(2)由椭圆的对称性，不妨设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，A(a,0)为右顶点，P(x0，y0)(0＜x0＜a)，因为PO⊥PA，所以·＝－1，即y＝ax0－x．又＋＝1，所以(a2－b2)x－a3x0＋a2b2＝0，即(x0－a)[(a2－b2)x0－ab2]＝0．因为0＜x0＜a，所以x0＝，且0＜＜a．而b2＝a2－c2，所以0＜＜1，所以0＜－1＜1，所以＜e＜1．]1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率为，则C的方程是(　　)A．＋＝1　　　 B．＋＝1C．＋＝1   D．＋y2＝1C　[依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆的方程是＋＝1．]2．(2022·四川射洪中学高二期中)若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为(　　)A．    B．2    C．2    D．2D　[由于方程＋＝1为椭圆C的标准方程，且焦点(0,1)在y轴上，所以解得m＝2，所以a＝＝，长轴长为2a＝2．故选D．]3．已知椭圆C2过椭圆C1：＋＝1的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C2的离心率为(　　)A．　　　B．    C．　　　D．A　[椭圆C1：＋＝1的焦点为(±，0)，短轴的两个端点为(0，±3)，由题意可得椭圆C2：a＝3，b＝，可得c＝＝2，即离心率e＝＝．]4．与椭圆＋＝1有相同的离心率且长轴长与＋＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为________．＋＝1或＋＝1　[椭圆＋＝1的离心率为e＝，椭圆＋＝1的长轴长为4．所以解得a＝2，c＝，故b2＝a2－c2＝6．又因为所求椭圆焦点既可在x轴上，也可在y轴上，故方程为＋＝1或＋＝1．]5．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．　[由题意知0<m<2，且e2＝1－＝1－＝．所以m＝．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．[提示]　①化标准，把椭圆方程化成标准形式；②定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置；③求参数，写出a，b的值，并求出c的值；④写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质．2．试总结根据椭圆的几何性质，求其标准方程的思路．[提示]　已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：①确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；②确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；③写出标准方程．3．试总结求椭圆离心率的方法．[提示]　①若已知a，c的值或关系，则可直接利用e＝求解；②若已知a，b的值或关系，则可利用e＝＝求解；③若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式进行求解．