2023新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.2圆与圆的位置关系教师用书新人教A版选择性必修第一册

2.5.2　圆与圆的位置关系1．了解圆与圆的位置关系．(重点)2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(重点)3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(难点)通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升逻辑推理及数学运算素养．观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？前面我们已经借助直线和圆的方程研究了它们之间的位置关系，那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？知识点　两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r 2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含将两个相交圆的方程相减，可得一条直线方程，这条直线方程具有什么特殊性？[提示]　两圆的交点坐标满足这个方程，因此这个方程是两圆的公共弦所在的直线方程．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．                             (　　)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．                             (　　)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．                            (　　)[提示]　(1)×　只有一组实数解时可能外切也可能内切．(2)×　当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相交．(3)×　只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程．2．圆O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是________．外切　[圆O1的圆心O1(－2,2)，半径r1＝1，圆O2的圆心O2(2,5)，半径r2＝4，∴|O1O2|＝＝5＝r1＋r2∴圆O1与圆O2外切．] 类型1　两圆位置关系的判断【例1】　(对接教材P96例题)(1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　)A．1或3　　　　B．4　　　　C．0　　　　D．2(2)当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？(1)D　[由圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝，得C1(1，－2)，C2(2，－1)，r1＝1，r2＝，∴|C1C2|＝＝．则r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴圆C1与圆C2相交．故这两个圆的公切线共2条．](2)[解]　将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k＜50)，从而|C1C2|＝＝5．当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．当|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交．当＋1＜5，即34＜k＜50时，两圆外离．试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤．[提示]　(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径．(2)计算两圆圆心的距离d．(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．1．(1)圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有(　　)A．1条    B．2条    C．3条    D．4条(2)已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：①相切；②相交；③外离；④内含．(1)C　[圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径等于3，圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径等于2．两圆的圆心距等于＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，故选C．](2)[解]　圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1．∴|C1C2|＝＝a．①当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．②当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．③当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．④当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含． 类型2　两圆相切问题【例2】　(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________．(2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．(1)2或－5　[C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5．](2)[解]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圆与直线y＝0相切、半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3．由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．①当圆心为C1(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2，故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16．②当圆心为C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2．故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．2．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36　[设圆C的半径为r，又圆心距d＝＝5，∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36．] 类型3　两圆相交问题【例3】　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．(1)求两圆公共弦所在直线的方程；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．两圆的公共弦的端点同时在两个圆上，由此你想怎样求公共弦所在的直线方程？[解]　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解．①－②，得x－y＋4＝0．∵A，B两点坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．(2)法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4．则＝，解得a＝，故圆心为，半径为．故圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0．法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心为，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7．故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．[母题探究]1．在本例条件不变时，求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程．[解]　由例题解析知道x－y＋4＝0是公共弦所在的直线的方程．因圆C1的圆心(－3,0)，r＝．C1到直线AB的距离d＝＝．∴|AB|＝2＝2＝5．即两圆的公共弦长为5．弦AB的中垂线也就是C1C2所在的直线．∵C1(－3,0)，C2(0，－3)．∴AB的中垂线方程为＋＝1，即x＋y＋3＝0．2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．[解]　根据条件可知，所求的圆就是以AB为直径的圆．∵AB所在直线方程为x－y＋4＝0，C1C2所在直线方程为x＋y＋3＝0．∴由得圆心，由母题探究1解析知|AB|＝5，∴半径r＝，故所求圆的方程为＋＝．1．两圆的公共弦问题(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．2．过两圆的交点的圆的方程已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．3．两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为(　　)A．5    B．5    C．10    D．10D　[公共弦所在的直线方程为4x＋3y－10＝0，圆的方程x2＋y2－10x－10y＝0可化为(x－5)2＋(y－5)2＝50，圆心为(5,5)，半径r＝，圆心(5,5)到直线4x＋3y－10＝0的距离为d＝＝5，所以公共弦长为2＝10，故选D．]1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)A．相离　　　B．相交　　　C．外切　　　D．内切B　[化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝＝<r1＋r2，又r2－r1<，所以两圆相交．]2．(多选题)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　)A．2    B．－5    C．－2    D．5AB　[圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2．依题意有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5．]3．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是(　　)A．(0，－1)   B．(0,1]C．(0,2－]   D．(0,2]C　[由M∩N＝N得N⊆M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥，即0＜r≤2－．]4．圆心为C(2,0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则圆C的方程________．x2＋y2－4x＝0　[设x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的圆心为A，半径为r，圆C的半径为R，x2＋y2＋4x－6y＋4＝0⇒(x＋2)2＋(y－3)2＝9，所以圆心A坐标为(－2,3)，半径r为3，圆心距为|AC|＝＝5，因为两圆相外切，所以有|AC|＝r＋R⇒R＝2，故圆C的方程为：(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0．]5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________．1　[将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．判断两圆的位置关系有哪些方法？[提示]　①几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；②代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．2．两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？[提示]　圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2；两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|．3．两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？[提示]　求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．