2023新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程教师用书新人教A版选择性必修第一册

3.1　椭圆3.1.1　椭圆及其标准方程1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养．2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养．我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影(如图所示)等．那么，具有怎样特点的曲线是椭圆呢？知识点1　椭圆的定义(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．1．(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2．(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．1．下列说法中，正确的是(　　)A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆C　[由椭圆的定义知，C正确．]知识点2　椭圆的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b22．能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？[提示]　能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．2．(1)若椭圆方程为＋＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为________．(2)若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________．(1)x　(2,0)和(－2,0)　(2)＋＝1或＋＝1　[(1)因为10>6，所以焦点在x轴上，且a2＝10，b2＝6，所以c2＝10－6＝4，c＝2，故焦点坐标为(2,0)和(－2，0)．(2)∵椭圆的焦距为6，∴c＝3，∴a2－b2＝c2＝9．又∵a－b＝1，∴a＝5，b＝4．∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．] 类型1　求椭圆的标准方程【例1】　(对接教材P107例题)求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(3)经过点P，Q．[解]　(1)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6．①又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，∴b2＝2，∴a2＝8．又∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＋＝1．(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．法一：由椭圆的定义知，2a＝＝2，即a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．法二：因为所求椭圆经过点，所以＋＝1，又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝10，b2＝6．所以椭圆的标准方程为＋＝1．(3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意，有解得由a>b>0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．则解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1．试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．[提示]　(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－)，；(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．[解]　(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．将两点(2，－)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．①又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1．②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1． 类型2　对椭圆标准方程的理解【例2】　(1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　)A．(－9,25)　　　　　 B．(－9,8)∪(8,25)C．(8,25)   D．(8，＋∞)(2)(2022·湖北八校联考)椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．(1)B　(2)－1或－　[(1)依题意有解得－9<m<8或8<m<25，即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)，故选B．(2)原方程可化为＋＝1．依题意可得则所以k的值为－1或－．]根据椭圆方程求参数的取值范围(1)给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m>n>0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n>m>0．(2)若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况．2．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．(－4,0)∪(0,3)　[方程化为＋＝1，依题意应有12－a>a2>0，解得－4<a<0或0<a<3．] 类型3　椭圆的定义及其应用【例3】　(1)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)A．2　　　B．6　　　C．4　　　D．12(2)已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．(1)C　(2)　[(1)设另一焦点为F，由点F在BC边上，所以△ABC的周长l＝|AB|＋|BC|＋|CA|＝|AB|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝2＋2＝4．(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2．在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|．　①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4．　②由①②联立可得|PF1|＝．所以S＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝．][母题探究]1．本例(2)中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．[解]　由椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°．∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2．从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝，因此S＝·|F1F2|·|PF1|＝．故所求△PF1F2的面积为．2．本例(2)中方程改为＋＝1(a＞b＞0)，且“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面积为，求b的值．[解]　由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝，∴|PF1||PF2|＝4．根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a．再利用余弦定理可得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4，∴b2＝1，即b＝1．椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．3．(1)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．(2)椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若S＝，则∠F1PF2＝________．(1)8　(2)60°　[(1)由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8．(2)由已知得a＝2，b＝，c＝1，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，则①2－②得mn(1＋cos α)＝6，④得＝，即＝2，∴tan ＝，∴＝30°，α＝60°，即∠F1PF2＝60°．] 类型4　与椭圆有关的轨迹问题【例4】　(1)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．(2)已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数．①求动点M的轨迹Γ的方程；②设点A，若P是(1)中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程．求动点的轨迹方程有哪些方法？根据动点满足的条件，思考该选用哪种方法求解.(1)＋＝1　[设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，所以其轨迹方程为＋＝1．](2)[解]　①设动点M(x，y)，由已知可得＝，即x2＋2x＋3＋y2＝，化简得＋y2＝1，即所求动点M的轨迹Γ的方程为＋y2＝1．②设点B(x，y)，点P(x0，y0)，由得由点P在轨迹Γ上，得＋＝1，整理得＋4＝1，∴线段PA的中点B的轨迹方程是＋4＝1．求轨迹方程的常用方法(1)直接法设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式．(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程．(3)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程．4．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．[解]　以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)．因为|AB|＝2，|AC|＝，所以|BC|＝＝，则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3．所以曲线E的方程为＋＝1．1．(多选题)下列命题是真命题的是(　　)A．已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆B．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段C．到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆D．若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆BD　[A．＜2，故点P的轨迹不存在；B．因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；C．到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；D．点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为4＞8，所以点P的轨迹为椭圆．]2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(　　)A．1    B．2    C．3    D．4B　[椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2．]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)A．＋＝1   B．＋＝1C．＋＝1   D．＋＝1C　[由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36，所以椭圆的标准方程为＋＝1．]4．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6,0)的椭圆的标准方程是________．＋＝1　[由已知得2c＝4，a＝6，所以c＝2，则b2＝a2－c2＝36－4＝32，所以椭圆的标准方程为＋＝1．]5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．48　[由题意知由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝196，∴2|PF1||PF2|＝96，∴|PF1||PF2|＝48．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．[提示]　把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．其标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．2．当方程＋＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？[提示]　表示椭圆时：，表示焦点在x轴的椭圆时，m>n>0，表示焦点在y轴的椭圆时，n>m>0．3．求动点的轨迹方程常用方法有哪些？[提示]　直接法、定义法、相关点法(代入法)．