2023新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系教师用书新人教A版选择性必修第一册

2.5.1　直线与圆的位置关系第1课时　直线与圆的位置关系1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(难点)通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． 在日常生活中，可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象，如图所示．我们已经知道，在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可．那么，能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝d＜rd＝rd＞r代数法：由消元得到一元二次方程，计算方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？[提示]　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　)A．相交　　B．相切　　C．相离　　D．相切或相交A　[圆心到直线的距离d＝＝1<4，所以直线与圆相交，故选A．] 类型1　直线与圆的位置关系【例1】　(对接教材P91例题)已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0．∵Δ＝4m(3m＋4)，∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2．圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝．(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．判断直线和圆的位置关系有哪些方法？[提示]　(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．(2)代数法：Δ＝b2－4ac1．(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)A．l与C相交　　　　 B．l与C相切C．l与C相离   D．以上三个选项均有可能(2)设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　)A．相切   B．相交C．相切或相离   D．相交或相切(1)A　(2)C　[(1)将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．(2)圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．] 类型2　直线与圆的相切问题【例2】　(1)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________．(2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，求直线l的方程．(1)15x＋8y－36＝0或x＝4　[因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0．设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，即|k＋4|＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－．所以切线方程为－x－y＋－3＝0，即15x＋8y－36＝0．②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4．综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．](2)[解]　根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2,0)，直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则P在直线l上且MP与直线l垂直．kMP＝＝2，则有－＝－，则有b＝2a，又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，则直线l的方程为x＋2y－3＝0．[母题探究]若本例(1)中的条件不变，如何求其切线长？[解]　设圆心C(3,1)，则|AC|＝＝，则切线长d＝＝4．圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．③过圆外一点的切线有两条．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．2．(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　)A．2x－y＋9＝0　　　　　 B．2x＋y－9＝0C．2x＋y＋9＝0   D．2x－y－9＝0(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)A．1　　　B．2    C．　　　D．3(1)B　(2)C　[(1)x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0．(2)圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝＝2．所以切线长的最小值为l＝＝．] 类型3　直线与圆相交问题【例3】　(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|．(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．直线和圆相交有两个交点，在求弦长时，可先求出两个交点坐标再求弦长，若不求交点坐标，可用什么方法求弦长？[解]　(1)法一：(求交点坐标)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1,3)，B(2,0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝．法二：(构造直角三角形)圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，则圆心C(0,1)，半径r＝，圆心C(0,1)到直线l：3x＋y－6＝0的距离d＝＝，则弦长|AB|＝2＝．(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3．①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0．由点到直线的距离公式，得3＝，解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0．综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0．求圆的弦长的两个方法(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法；(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．3．(1)(多选题)(2022·山东德州高三二模)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为(　　)A．6　　　B．8　　　C．12　　　D．16(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________．(1)BC　(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4　[(1)因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为＝5．又圆C的半径为6，故AB的长度的最小值为2＝2．又当直线y＝kx－1过圆心时AB的长度取最大值为直径12，故|AB|∈[2，12]．故选BC．(2)设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线y＝x－1的距离d＝＝．又由题意知，半弦长为，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2．∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．]1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)A．相切　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心   D．相离B　[∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心．]2．(多选题)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)A．－2   B．－12C．2   D．12CD　[圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，得b＝2或12．]3．过点P(0,1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为(　　)A．±1   B．±C．±   D．±2A　[由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r＝1，又弦长|AB|＝，所以圆心到直线的距离为d＝＝＝，所以有＝，解得k＝±1．]4．过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为________．x＝2或y＝3　[∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条．当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴＝1，∴k＝0，∴切线方程为y＝3，当斜率不存在时，切线方程为x＝2．]5．(2022·广东广州质检)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．4π　[圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，圆C的面积为4π．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．判断直线和圆的位置关系有哪些方法？[提示]　①几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．②代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．2．如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？[提示]　①点在圆上时，可先求点与圆心连线的斜率，根据切线垂直于过切点的半径，确定切线的斜率，从而求出切线方程．②点在圆外时，可设出切线的点斜式方程，利用几何法或代数法求解，当只有一解时，应注意斜率不存在的情况．3．直线和圆相交时，如何求弦长？[提示]　①利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．②利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．