2023新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程教师用书新人教A版选择性必修第一册

2.4.2　圆的一般方程

知识点　圆的一般方程

(1)圆的一般方程

当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆．

(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形

点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？

[提示]　点M在圆外⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0；点M在圆上⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；点M在圆内⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0．

(1)圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是________．

(2)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________．

(1)(3,0)　(2)4　[(1)方程x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，

则圆心坐标为(3,0)．

(2)由题意知

解得]

类型1　圆的一般方程满足的条件

【例1】　(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

(2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．

①求实数m的取值范围；

②写出圆心坐标和半径．

(1)(－2，－4)　5　[方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2．当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5．]

(2)[解]　①法一：根据D2＋E2－4F>0求解．

由表示圆的条件，

得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，

解得m<，即实数m的取值范围为．

法二：化为圆的标准方程求解．

方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为

(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m．

由题意知1－5m>0，即m<．

所以实数m的取值范围是．

②将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝．

判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．

1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．

[解]　法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，

∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2．因此，当m＝2时，它表示一个点；

当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，

半径为r＝＝|m－2|．

法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，

因此，当m＝2时，它表示一个点；

当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，

半径为r＝|m－2|．

类型2　求圆的一般方程

【例2】　已知△ABC顶点的坐标为A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)．

(1)求△ABC的外接圆的一般方程；

(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．

[解]　(1)法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)，则

解得

因此其外接圆的一般方程为

x2＋y2－6x－2y＋5＝0．

法二：(几何法)

AB的垂直平分线方程为y－＝x－，

即y＝x－2；AC的垂直平分线方程为y－＝－，即y＝－x＋4．

由得圆心(3,1)，半径r＝＝．

所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，

即x2＋y2－6x－2y＋5＝0．

法三：(几何法)

因为AB，AC的斜率，满足kAB·kAC＝×＝－1，所以AB⊥AC，△ABC为直角三角形．

所以BC为外接圆的直径．外接圆圆心(3,1)，半径为BC＝＝，

所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，

即x2＋y2－6x－2y＋5＝0．

(2)由(1)知，点M(a,2)在x2＋y2－6x－2y＋5＝0上，

∴a2＋4－6a－2×2＋5＝0，即a2－6a＋5＝0，

解得a＝1或5．

试总结求圆的方程的策略．

[提示]　(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．

2．(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是________．

(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．

(1)x2＋y2－4x－4y－2＝0　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则圆心是，

由题意知，

解得D＝E＝－4，F＝－2，

即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0．]

(2)[解]　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意得

解得

即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0．

类型3　求动点的轨迹方程

【例3】　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

线段的中点，直角三角形斜边的中点，圆中弦的中点都有怎样的性质？由此你能得到什么结论？

[解]　(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，

∵

∴

又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，

∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1．

(2)设PQ的中点为N(x，y)，

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ(图略)，

∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．

求与圆有关的轨迹问题的方法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．

(3)代入法：若动点P(x，y)依赖圆上的某一个动点Q(x0，y0)而运动，找到两点的关系，把x0，y0用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．

3．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

[解]　(1)法一：(定义法)设P(x，y)．|MP|＝|ON|＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．

又因为四边形MONP为平行四边形，

所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－，y＝或x＝－，y＝．

因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，

除去点和点．

法二：(代入法)如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，

则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为．

由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，从而

又点N(x＋3，y－4)在圆上，

故(x＋3)2＋(y－4)2＝4．

当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝．

因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点和点．

1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　)

A．(4，－6)，16　　 B．(2，－3)，4

C．(－2,3)，4   D．(2，－3)，16

C　[圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，因此圆心坐标为(－2,3)，半径r＝4，故选C．]

2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)

A．以(a，b)为圆心的圆

B．以(－a，－b)为圆心的圆

C．点(a，b)

D．点(－a，－b)

D　[原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，

∴即

∴方程表示点(－a，－b)．]

3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)

A．a＜－2或a＞   B．－＜a＜2

C．－2＜a＜0   D．－2＜a＜

D　[方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，

所以a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，

所以3a2＋4a－4＜0，

所以(a＋2)(3a－2)＜0，

所以－2＜a＜．]

4．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．

x2＋y2－2x＝0　[设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，

所以

解得D＝－2，E＝0，F＝0，

所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0．]

5．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．

x2＋y2＝9　[设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以|OM|＝|AB|＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．试写出圆的一般方程．

[提示]　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？

[提示]　A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．

3．求动点的轨迹方程有哪些常用方法？

[提示]　直接法、定义法、代入法．