2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.4　二项分布与超几何分布

7.4.1　二项分布

知识点1　伯努利试验

(1)概念：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．

(2)我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

(3)n重伯努利试验的共同特征

①同一个伯努利试验重复做n次；

②各次试验的结果相互独立．

1．n重伯努利试验必须具备哪些条件？

[提示]　(1)每次试验是在同样条件下进行的．

(2)各次试验中的事件互不影响．

(3)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的． (　　)

(2)n重伯努利试验只有发生与不发生两种结果． (　　)

(3)n重伯努利试验中每次试验中发生的机会是均等的． (　　)

(4)n重伯努利试验中每次试验发生的事件是互斥的． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

知识点2　二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．

一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

2．二项分布与两点分布有什么关系？

[提示]　(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．

(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．

2．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为(　　)

A． B．

C． D．

B　[抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为P＝C×＝．]

类型1　n重伯努利试验

【例1】　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．

(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．

[解]　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－＝．

(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×＝，P(B2)＝C××＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝．

n重伯努利试验概率求法的三个步骤

(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．

(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．

(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用乘法或加法公式计算．

[跟进训练]

1．操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立．

(1)求其中恰好有4名同学投中的概率；

(2)求其中至少有4名同学投中的概率．

[解]　(1)∵每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立，

∴其中恰好有4名同学投中的概率

P＝C＝．

(2)其中至少有4名同学投中的概率

P＝C＋C＝．

类型2　二项分布

【例2】　已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．

(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；

(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．

[解]　(1)由题意得，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，则X～B，

即P(X＝0)＝C＝，

P(X＝1)＝C＝，

P(X＝2)＝C＝，

P(X＝3)＝C＝．

所以X的分布列为

(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率P＝C××＝．

1当X服从二项分布时，应弄清X～Bn，p中的试验次数n与成功概率p．

2解决二项分布问题的两个关注点：

①对于公式PX＝k＝，必须在满足“伯努利试验”时才能应用，否则不能应用该公式．,②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．

[跟进训练]

2．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是互相独立的，并且概率都是．

(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；

(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．

[解]　(1)根据题意得，ξ服从二项分布ξ～B，则P(ξ＝k)＝C·，k＝0，1，…，5．

ξ的分布列为

(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝·，k＝0，1，2，3，4．

P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝．

故η的分布列为

类型3　二项分布的均值与方差

【例3】　某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，求X的数学期望E(X)及方差D(X)．

[解]　法一(定义法)：由题意知X的可能取值分别为0，1，2，3，4，X～B．

X＝0表示这4个数字都是0，则P(X＝0)＝＝；

X＝1表示这4个数字中有一个为1，则P(X＝1)＝C··＝；

同理P(X＝2)＝C··＝；

P(X＝3)＝C··＝；

P(X＝4)＝＝．

所以X的分布列如下：

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．

D(X)＝×＋×＋×＋×＋×＝．

法二(结论法)：随机变量X的值是出现1的个数，由题意，X～B，所以E(X)＝4×＝．

D(X)＝4××＝．

用二项分布求解实际应用题的步骤

(1)判断随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)．

(2)根据二项分布公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，…，n)求出分布列．

(3)求二项分布X～B(n，p)的均值可用公式E(X)＝np求解，求方差可用公式D(X)＝np(1－p)来求解．

[跟进训练]

3．某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．

(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列、均值及方差；

(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．

[解]　(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B．

∴P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C＝，

P(X＝2)＝C＝，P(X＝3)＝C＝，

P(X＝4)＝C＝，其分布列为

∵X～B，∴E(X)＝4×＝2．

D(X)＝4××＝1．

(2)由题意可得Y＝2 300－100X，

∴E(Y)＝E(2 300－100X)＝2 300－100E(X)＝2 300－100×2＝2 100．即所求变量Y的数学期望为2 100元．

1．(多选题)下列随机变量X服从二项分布的有(　　)

A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数

B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数

C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数

D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数

ACD　[A中试验出现的结果只有两种，点数为6和点数不为6，且每次试验中概率都为(出现6点)，符合二项分布．B中X的取值不确定，不是二项分布．C中，进行五局比赛相当于做了5次伯努利试验，X服从二项分布，D中被感染的次数X～B(n，0.3)．]

2．(多选题)若X～B，则P(X＝4)等于(　　)

A．C B．C

C． D．C

AB　[X服从二项分布，所以P(X＝4)＝C·或C．]

3．将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为(　　)

A． B．

C． D．

C　[根据题意，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况：

①正面出现3次，反面出现2次，其概率为C·＝C＝10，

②正面出现4次，反面出现1次，其概率为C·＝C＝5，

③正面出现5次，其概率为C＝，

共有三种情况，这三种情况是互斥的，

则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是10＋5＋＝．]

4．若随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于________．

0.4　[由X～B(40，p)，知E(X)＝40p＝16，故p＝0.4．]

5．设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4，5)，则D(3ξ)等于________．

10　[由题意知ξ～B，所以D(ξ)＝5×＝，D(3ξ)＝32D(ξ)＝9×＝10．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．n重伯努利试验中，X的分布列P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k中各量表示的含义是什么？

[提示]　k表示事件A发生的次数，n表示试验总次数，p表示事件A发生的概率，(1－p)表示事件发生的概率．

2．同一个伯努利试验重复做n次即为n重伯努利试验，重复意味着什么？

[提示]　重复意味着试验成功的概率相同．

3．判断二项分布的关键点是什么？

[提示]　(1)对立性．在一次试验中，事件A发生与否必居其一．

(2)重复性．试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率为同一常数．

(3)X的取值从0到n，中间不间断．