2022-2023学年河北省石家庄市元氏县音体美学校高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市元氏县音体美学校高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  复数在复平面内对应的点所在的象限为(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  下列各式中结果为零向量的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知向量，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  复数是纯虚数，其中是虚数单位，则实数的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或或

5.  若，，则直线，的位置关系是(    )

A. 平行或异面 B. 平行或相交 C. 相交或异面 D. 平行、相交或异面

6.  已知等边三角形的边长为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某学校有高中学生人，其中高一有人，高二人，高三人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

8.  幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位小区居民，他们的幸福指数分别是，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数，则下列各项正确的为(    )

A. 复数的虚部为 B. 复数为纯虚数
C. 复数的共轭复数对应点在第四象限 D. 复数的模为

10.  以下结论不正确的是(    )

A. 对立事件一定互斥
B. 事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率
C. 事件与事件互斥，则有
D. 事件，满足，则，是对立事件

11.  已知直线，与平面，，则下列说法不正确的是(    )

A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，为异面直线，，，，，则

12.  在棱长为的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内含边界一个动点，则下列结论正确的是(    )

A.
B. 点存在无数个位置满足平面
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 三棱锥体积的最大值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设向量，满足，，，则______．

14.  乙甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为，，获得二等奖的概率分别为，，甲、两同学是否获奖相互独立，则甲乙两人至少有人获奖的概率为          ．

15.  如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高 ______

16.  已知球的半径为，点，，均在球的表面上，且外接圆的面积为，则点到平面的距离为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在平行四边形中，，，分别是边，的中点，，．
用，表示，；
若向量与的夹角为，求．

18.  本小题分
抛掷两枚质地均匀的骰子标记为Ⅰ号和Ⅱ号，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，求下列事件的概率．
“两个骰子的点数之和是”；
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．

19.  本小题分
从，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答．
已知：的内角，，的对边分别为，，，且______．
求角；
求的取值范围．

20.  本小题分
某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成段，并得到如图所示频率分布直方图．
估计这名员工打分的众数和中位数保留一位小数；
现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取个人，求这组抽取的人数．

21.  本小题分
如图，在正方体中，棱长为．

证明：；
求二面角的平面角的余弦值．

22.  本小题分
如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则复数在复平面内对应的点所在的象限为第三象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：对，，A错误；
对，，B错误；
对，，C错误；
对，，D正确．
故选：．
根据向量的加法与减法的几何意义即可求解．
本题考查向量的线性运算，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：向量，，
由，得，解得，
所以，
．
故选：．
根据平面向量的共线定理求出，再计算的值．
本题考查了平面向量的共线定理与模长计算问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：复数是纯虚数，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在正方体中，，分别为棱和的中点，
假设为平面，
当为，为时，满足，，此时；
当为，为时，满足，，此时与相交；
当为，为时，满足，，此时与异面，
综上，直线，的位置关系是平行，相交或异面．

故选：．
列举正方体，借助正方体中线与线，线与面的位置关系进行分析，即可．
本题考查空间中线与面的位置关系，理解线与线，线与面的位置关系是解题的关键，考查空间立体感，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用向量的数量积公式求解即可．
本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分层随机抽样，属于基础题．
先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即可求出该层应抽取的个体数．

【解答】

解：因为每个个体被抽到的概率等于，
所以高一、高二、高三各年级抽取的学生人数分别为
，，．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：因为，把数据从小到大排列为：，，，，，，，，则第位数为：，
故选：．
利用百分位数定义可解．
本题考查百分位数定义，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的四则运算，虚部和纯虚数的定义，复数的几何意义，复数模公式，属于基础题．
根据已知条件化简得到，即可依次求解．

【解答】

解：，
复数的虚部为，故A错误；
复数为纯虚数，故B正确；
复数的共轭复数为，在复数平面内对应的点为在第四象限，故C正确；
，故D错误．
故选BC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件，是基础题．
利用对立事件、互斥事件的定义、性质逐一判断即可．

【解答】

解：对于，对立事件一定是互斥事件，故A正确；
对于，事件与事件的和事件的概率有可能等于事件的概率，故B错误；
对于，事件与事件对立，则有，事件与事件互斥，则有故C错误；
对于，事件，满足，则，不一定是对立事件，有可能，，故D错误．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系分析两平面的位置关系判定与；由直线与平面垂直的性质判断；由平面与平面平行的判定判断．

【解答】

解：对于，若，，，则错误，也可能是相交不垂直；
对于，若，，，则或与相交，故B错误；
对于，若，，，由直线与平面平行的性质可得，故C正确；
对于，设，，因为，是异面直线，所以与相交，又，所以，故D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：对于选项A，根据题意作图如下：

在正方体中，易知，，
因为，所以平面，即，故A正确；
对于选项B，根据题意作图如下：

在正方体中，易知，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，因为，所以平面平面，
易知平面，当时，平面，故B正确；
对于选项C，根据题意作图如下：

在正方体中，易知，，
因为，所以平面，即，同理可得：，
因为，所以平面，连接，易知，
则为直线与平面所成角，
在中，，
因为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故C错误；
对于选项D，根据题意作图如下：

在正方体中，
易知当点与点重合时，三棱锥体积取最大值，
设点到平面的距离为，则，
由选项B可知，则，可得，
则三棱锥体积取最大值：
，故D正确．
故选：．
根据题意，分别作图，利用图象，根据线面垂直、面面平行、线面角定义、三棱锥的体积公式，可得答案．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，，
，，，
答案为：．
运用向量模的计算公式直接求解．
本题考查了向量模及数量积的计算，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
先利用相互独立事件的概率乘法公式求出甲和乙都未获奖的概率，然后由对立事件的概率公式求解即可．

【解答】

解：甲和乙都未获奖的概率为，
所以甲乙两人至少有人获奖的概率为．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：在中，，，
则，
由正弦定理得，
所以，
所以，
得，
在中，，，
所以，
所以塔高．
故答案为：．
先在中，利用正弦定理求出，然后利用锐角三角函数可求出．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设外接圆的半径为，则，所以，
所以点到平面的距离为．
故答案为：．
求解外接圆的半径，然后转化求解点到平面的距离．
本题考查取得内接体问题，点线面距离的求法，是中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，，
同理：．
根据题意，由的结论，，，
则．
，
同理，
故． 

【解析】根据题意，由向量的三角形法则分析可得答案；
根据题意，由的结论，由向量数量积的计算公式可得，、的值，进而计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的线性运算，属于基础题．
 

18.【答案】解：投掷两枚质地均匀的骰子，基事件共有个不同结果，
“两个骰子的点数之和是”包含的基本事件有：
，，，，共个，
“两个骰子的点数之和是”的概率．
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”，
事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，
，，，，，共个，
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数“的概率为． 

【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式能求出结果；
利用列举法，结合古典概型概率计算公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：选：方法一：利用正弦定理，可得，
，
得，
，，
，；
选：由正弦定理可得，
，
，
，，
，，
选：由正弦定理，可得，
，
，
，，
，；
由知，
，
，
，
，
，
的取值范围为． 

【解析】不管选哪个条件，都是利用边角互化，最终得到，求出；
结合，找到，间的关系，最终将化成只含一个角的三角函数求值域．
本题考查三角恒等变换和正弦定理，以及三角函数的值域问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可得，众数为，
的频率为，
的频率为，
设中位数为，
，
分．
的人数，的人数，的人数，抽样比，
故从抽取的人数． 

【解析】根据已知条件，结合中位数公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的性质，即可求解．
本题主要考查了中位数的公式，以及分层抽样的性质，属于基础题．
 

21.【答案】证明：是正方体，
平面，
平面，，
为正方形，所以，
又，，平面，
平面，
平面，，
解：：连接，交于点，连接，

则，，
是二面角的平面角，
设正方体棱长为，
在中，，，
，
二面角的平面角的余弦值为． 

【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，考查利用二面角的余弦值的求法，考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力，属于中档题．
证明平面，即可证明；
连结，交于点，连结，则是二面角的平面角，在三角形中求出二面角的平面角的余弦值．
 

22.【答案】证明：因为平面，，所以平面，
证明：因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，所以平面，又因为平面，，
所以平面平面． 

【解析】利用线线平行证线面平行；
利用线面平行证面面平行．
本题考查线面平行的证明与面面平行的证明，属基础题．