2022-2023学年河北省唐山市曹妃甸新城实验学校（北京景山学校曹妃甸分校）高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省唐山市曹妃甸新城实验学校（北京景山学校曹妃甸分校）高一（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省唐山市曹妃甸新城实验学校（北京景山学校曹妃甸分校）高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在复平面内，复数z=11+3i(i为虚数单位)对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知|b|=3，a在b上的投影向量为12b，则a⋅b的值为(    )
A. 3 B. 92 C. 2 D. 12
3. 某小区约有3000人，需对小区居民身体健康状况进行按比例分层抽样调查，样本中有幼龄12人，青壮龄34人，老龄14人，则该小区老龄人数的估计值为(    )
A. 750 B. 1700 C. 600 D. 700
4. 设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是(    )
A. 若m//n，m//α，n//β，则α//β
B. 若m⊥n，m//α，n//β，则α//β
C. 若m//n，m//α，n⊥β，则α⊥β
D. 若α⊥β，m//α，n//β，则m//n
5. 在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若∠A=120°，a=2，b=2 33，则B=(    )
A. π3 B. 5π6 C. π6或5π6 D. π6
6. 如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则AF=(    )

A. 38BA+58BC B. 54BA+34BC C. −78BA+18BC D. −34BA+14BC
7. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为(    )
A. 25 B. 310 C. 15 D. 110
8. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosB+bcosC=asinA，△ABC的面积S= 34(b2+a2−c2)，则B=(    )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知x∈C，则下列命题正确的是(    )
A. 若z=z−，则z为纯虚数
B. 若z=i(1−2i)，则z的虚部为1
C. 若z=a+i(a∈R)且|z|= 2，则a=1
D. 若|z|=1，则|z+1|的最大值为2
10. 下列说法正确的是(    )
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是265
C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D. 若样本数据x1，x2，⋯，x10的标准差为8，则数据2x1−1，2x2−1，⋯，2x10−1的标准差为32
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是(    )
A. sin(B+C)=sinA
B. 若sinA>sinB，则A>B
C. 若acosB−bcosA=c，则△ABC是直角三角形
D. 若b=3，A=60°，三角形面积S=3 3，则三角形的外接圆半径为 133
12. 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是(    )


A. E为PA的中点
B. PB与CD所成的角为π3
C. BD⊥平面PAC
D. 三棱锥C−BDE与四棱锥P−ABCD的体积之比等于1：4
三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 已知向量a=(−4,6),b=(2,x)满足a//b，其中x∈R，那么|b|=          
14. 已知圆柱的内切球(圆柱的上下底面及侧面都与球相切)的体积为4π3，该圆柱的体积为______．
15. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D.现测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=10 2m，并在点C测得塔顶A的仰角θ为30°，则塔高AB为______m.


16. 已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知平面向量a=(1,2)，b=(−3,−2)．
(1)当k为何值时，ka+b与a−3b垂直；
(2)若a与a+λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
18. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．
(1)求证：PD//面AEC；
(2)求证：平面AEC⊥平面PDB．

19. (本小题12.0分)
为了响应市教育局号召，同时也为提升全市高三学生暑期复习备考的有效性，教育部门组织名师、骨干团队开设暑期网络专题课程，为高三学子保驾护航，得到了学生和家长的一致认可．某校为检验高三学生暑期网络学习的效果，对全校高三学生进行期初数学测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和75%分位数；
(3)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求2人中至少有1人分数低于60分的概率．

20. (本小题12.0分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b−c)cosA=acosC．
(1)求角A；
(2)若D是边BC上一点，且BD=2DC，AD=2，求△ABC面积的最大值．
21. (本小题12.0分)
某社区举办环保知识有奖问答比赛，某场比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道问题，已知甲回答正确的概率是12，甲、丙都回答错误的概率是18，乙、丙都回答正确的概率是12.假设他们是否回答正确互不影响．
(Ⅰ)分别求乙、丙回答正确的概率；
(Ⅱ)求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率．
22. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AC=BC= 2，AA1=2AB，D是棱BB1的中点，E是棱CC1上靠近C1的四等分点．
(Ⅰ)证明：AD⊥平面A1DE；
(Ⅱ)求直线AE与平面ABB1所成角的正弦值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：z=11+3i=1−3i(1+3i)(1−3i)=110−310i，
则复数z(i为虚数单位)对应的点(110,−310)位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：设a与b的夹角为θ，
∵|a|cosθb|b|=12b，即|a|cosθ=32，
∴a⋅b=|a||b|cosθ=3×32=92．
故选：B．
根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解．
本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．

3.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查分层抽样，属于基础题．
利用分层抽样的比例关系列式求解，属于基础题．
【解答】
解：该小区老龄人数的估计值为1412+34+14×3000=700．
故选：D．
  
4.【答案】C 
【解析】解：对于A选项，若m//n，m//α，n//β，则α//β或相交，故A选项错误；
对于B选项，若m⊥n，m//α，n//β，则α//β或相交，故B选项错误；
对于C选项，若m//n，m//α，n⊥β，则α⊥β，故C选项正确；
对于D选项，若α⊥β，m//α，n//β，则m//n或相交，或异面，故D选项错误．
故选：C．
根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案．
本题考查空间线面的位置关系，考查学生的分析能力，属于中档题．

5.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理，考查学生的计算能力．
根据条件，利用正弦定理进行求解即可．注意角B的范围．
【解答】
解：∵∠A=120°，a=2，b=2 33，
∴由正弦定理asinA=bsinB可得：
sinB=basinA=2 332× 32=12．
∵∠A=120°，∴B∈0°,60°，∴B=30°，即B=π6．
故选：D．
  
6.【答案】C 
【解析】解：由题意得 AF=AB+BF=AB+14BE=AB+14×12(BA+BC)=78AB+18BC=−78BA+18BC．
故选：C．
由已知结合向量的线性表示及向量共线定理即可求解．
本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题．

7.【答案】C 
【解析】解：一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，
某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，
任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：
p=110+910×19=15．
故选：C．
利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

8.【答案】D 
【解析】解：由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA，
得sinCcosB+sinBcosC=sin2A，
所以sin(C+B)=sinA=sin2A，
因为0 因为S= 34(b2+a2−c2)=12absinC，且c2=b2+a2−2abcosC，
所以 34⋅2abcosC=12absinC，化简得tanC=sinCcosC= 3，
又0 所以B=30°．
故选：D．
利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式，推出sinA=1，从而知A=90°，然后结合三角形的面积和余弦定理，可得tanC=sinCcosC= 3，从而知C的大小，进而得解．
本题考查解三角形，涉及边化角的思想，熟练正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

9.【答案】BD 
【解析】
【分析】
对于A，结合纯虚数和共轭复数的定义，即可求解，
对于B，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解，
对于C，结合复数模公式，即可求解，
对于D，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
【解答】
解：对于A，z=z−，则z为实数，故A错误；
对于B，z=i(1−2i)=2+i，则z的虚部为1，故B正确；
对于C，z=a+i(a∈R)且|z|= 2，
则a2+1=2，解得a=±1，故C错误；
对于D，设z=x+yi，x，y∈R，
∵|z|=1，
∴x2+y2=1，表示以(0,0)为圆心，1为半径的点，
∴|z+1|=|x+1+yi|= (x+1)2+y2表示圆上的点到(−1,0)之间的距离，
∴|z+1|的最大值为 (0+1)2+02+1=2，故D正确．
故选：BD．
  
10.【答案】AB 
【解析】解：用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为550=0.1，A正确；
已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，
所以1+2+m+6+75=4，解得：m=4，
所以(1−4)2+(2−4)2+(4−4)2+(6−4)2+(7−4)25=265，
则这组数据的方差是265，B正确；
数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
由于10×0.7=7，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，
即23+242=23.5，所以第70百分位数是23.5，C错误；
若样本数据x1，x2，⋯，x10的标准差为8，所以x1，x2，⋯，x10的方差为64，
则数据2x1−1，2x2−1，⋯，2x10−1的方差为64×4=256，
所以数据2x1−1，2x2−1，⋯，2x10−1的标准差为 256=16，D错误．
故选：AB．
A选项，根据简单随机抽样的特征，计算出相应的概率；B选项，根据平均数求出m，再利用方差公式进行计算即可；C选项，先对数据从小到大进行排序，再根据百分位数的计算方法计算即可；D选项，求出x1，x2，⋯，x10的方差，从而根据方差的性质计算出2x1−1，2x2−1，⋯，2x10−1的方差，从而计算出标准差．
本题主要考查了简单随机抽样的定义，考查了平均数、百分位数和方差的计算，属于中档题．

11.【答案】ABC 
【解析】解：△ABC中，
对于A：sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，故A正确；
对于B，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故B正确；
对于C，由正弦定理得：acosB−bcosA=c⇔sinAcosB−sinBcosA=sinC，
即sin(A−B)=sinC=sin(A+B)⇒sinBcosA=0，而sinB≠0，故A=π2，
所以△ABC一定为直角三角形，故C正确；
对于D：在△ABC中，若b=3，A=60°，三角形面积S=3 3，所以S=12bcsinA=12×3×c× 32=3 3，解得c=4，
所以a2=b2+c2−2bccosA=13，所以a= 13，则2R=asinA= 13 32，R= 393，故D错误；
故选：ABC．
A，根据诱导公式及三角形的特点可判断A的正误；
B，根据三角形的边角关系可判断B；
C，根据正弦定理、两角和与差的正弦公式可判断C的正误；
D：直接利用正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用判断D的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

12.【答案】ACD 
【解析】
【分析】
在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC∩平面BDE=EF，推导出EF//PC，由四边形ABCD是正方形，从而AF=FC，进而AE=EP；
在B中，由CD//AB，得∠PBA(或其补角)为PB与CD所成角，推导出PA⊥AB，从而PB与CD所成角为π4；
在C中，推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC；
在D中，设AB=PA=x，则VP−ABCD=13×AB2×PA=13x2⋅x=13x3，VC−BDE=VE−BCD=13S△BCD⋅AE=13×12x2⋅12x=112x3.由此能求出三棱锥C−BDE与四棱锥P−ABCD的体积之比等于1：4．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．
【解答】
解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC∩平面BDE=EF，
∵PC//平面BDE，EF⊂平面BDE，PC⊂平面PAC，
∴EF//PC，
∵四边形ABCD是正方形，∴AF=FC，∴AE=EP，故A正确；
在B中，∵CD//AB，∴∠PBA(或其补角)为PB与CD所成角，
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，

在Rt△PAB中，PA=AB，∴∠PBA=π4，
∴PB与CD所成角为π4，故B错误；
在C中，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，故C正确；
在D中，设AB=PA=x，则VP−ABCD=13×AB2×PA=13x2⋅x=13x3，
VC−BDE=VE−BCD=13S△BCD⋅AE=13×12x2⋅12x=112x3．
∴VC−BDE：VP−ABCD=112x3：13x3=1：4.故D正确．
 故选：ACD．
  
13.【答案】 13 
【解析】
【分析】
本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题．
根据向量平行的坐标表示求出x，再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【解答】
解：因为a//b，所以−4x−2×6=0，解得x=−3，
所以b=2,−3，
因此|b|= 22+(−3)2= 13．
故答案为： 13．
  
14.【答案】2π 
【解析】解：∵球内切于圆柱，
∴球的半径等于圆柱的底面半径，且圆柱的高等于球的直径，
由球的体积为4π3，可得R=1，
故圆柱的体积V=πR2×2R=2π．
故答案为：2π．
由已知可得球的半径等于圆柱的底面半径，圆柱的高等于球的直径，再由球的体积求得球的半径R=1，代入圆柱体积公式，可得答案．
本题考查的知识点是球与圆柱的体积，根据已知得到球的半径，是解答的关键，是基础题．

15.【答案】10 
【解析】解：∵∠BCD=75°，∠BDC=60°，
∴∠DBC=180°−75°−60°=45°，
又CD=10 2m，∴由正弦定理得BCsin∠BDC=CDsin∠DBC，
则BC=CD⋅sin∠BDCsin∠DBC=10 2× 32 22=10 3m，
在Rt△ABC中，由∠ACB=30°，BC=10 3，
得AB=BC⋅tan30°=10 3× 33=10m．
故答案为：10．
利用正弦定理求出BC的值，然后根据直角三角形ABC中的边角关系求解出AB的长度．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．

16.【答案】1100 
【解析】解：设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，
停止射击时甲、乙共射击了四次，说明甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率P(A−B−A−B)=(1−34)×(1−15)×(1−34)×15=1100，
故停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是1100．
故答案为：1100．
设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，分析试验过程，并利用相互独立事件的概率公式直接求概率．
本题主要考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．

17.【答案】解：(1)ka+b=(k−3,2k−2)，a−3b=(10,8)，且ka+b与a−3b垂直，
∴(ka+b)⋅(a−3b)=10(k−3)+8(2k−2)=0，解得k=2313；
(2)a+λb=(1−3λ,2−2λ)，且a与a+λb的夹角为锐角，
∴a⋅(a+λb)>0，且a与a+λb不共线，
∴1−3λ+2(2−2λ)>02−2λ−2(1−3λ)≠0，解得λ<57且λ≠0，
∴λ的取值范围为(−∞,0)∪(0,57)． 
【解析】(1)可求出向量ka+b=(k−3,2k−2)，a−3b=(10,8)，然后根据ka+b与a−3b垂直即可得出(ka+b)⋅(a−3b)=0，然后进行向量数量积的坐标运算即可求出k的值；
(2)根据a与a+λb的夹角为锐角即可得出1−3λ+2(2−2λ)>02−2λ−2(1−3λ)≠0，然后求出λ的范围即可．
本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，共线向量的坐标关系，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．

18.【答案】解：(1)证明：设AC∩BD=O，连接EO，
因为O，E分别是BD，PB的中点
，所以PD//EO…(4分)
而PD⊄面AEC，EO⊂面AEC，
所以PD//面AEC…(7分)
(2)连接PO，因为PA=PC，
所以AC⊥PO，
又四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD…(10分)
而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，
所以AC⊥面PBD…(13分)
又AC⊂面AEC，
所以面AEC⊥面PBD…(14分) 
【解析】(1)设AC∩BD=O，连接EO，证明PD//EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD//面AEC．
(2)连接PO，证明AC⊥PO，AC⊥BD，通过PO∩BD=O，证明AC⊥面PBD，然后证明面AEC⊥面PBD
本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．

19.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：
(2a+0.02+0.025+0.035)×10=1，解得a=0.01；
(2)第一组到第五组的频率分布分别为：0.1，0.2，0.35，0.25，0.1，
∴数学成绩的平均数为：
0.1×55+0.2×65+0.35×75+0.25×85+0.1×95=75.5，
前三组频率之和为0.65，前四组频率之和为0.9，
设75%分位数为80+x，
则0.65+0.025x=0.75，解得x=4，
∴75%分位数是84．
(3)由(2)知前2组频率分别为0.1，0.2，比例为1：2，
则第一组抽取2人，第二组抽取4人，
再从6人中任取2人，则2人中至少有1人分数低于60分的概率为：
P=1−C42C62=35． 
【解析】(1)根据小矩形面积之和为1，能求出a．
(2)利用频率分布直方图的性质能求出该校高三学生期初数学成绩的平均数和75%分位数；
(3)先求出前2组分别抽取的人数，现结合对立事件求概率的方法能求出2人中至少有1人分数低于60分的概率．
本题考查频率、平均数、百分位数、概率、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

20.【答案】解：(1)因为(2b−c)cosA=acosC，
所以2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB，
因为A，B∈(0,π)，
所以sinB≠0,cosA=12，
所以A=π3；
(2)因为BD=2DC，
所以BD=23a,DC=13a，
在△ABD中，由余弦定理得c2=4+49a2−83⋅a⋅cos∠ADB，
在△ADC中，由余弦定理得b2=4+19a2−43⋅a⋅cos∠ADC，
因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADC+cos∠ADB=0，
两式相加得2b2+c2=12+23a2，
又在△ABC中，由利用余弦定理得：a2=b2+c2−2bc⋅cosA=b2+c2−bc，
所以12−23bc=43b2+13c2≥2 43b2⋅13c2=43bc，
当且仅当43b2=13c2，即c=2b时，等号成立，
所以bc≤6，
所以S△ABC=12bcsinA≤12⋅6⋅ 32=3 32，
△ABC面积的最大值3 32． 
【解析】(1)由(2b−c)cosA=acosC，利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到2sinBcosA=sinB求解；
(2)根据BD=2DC，得到BD=23a,DC=13a，再分别在△ABD和△ADC中，利用余弦定理根据∠ADB+∠ADC=π，得到2b2+c2=12+23a2，再在△ABC中利用余弦定理，两者结合得到12−23bc=43b2+13c2，利用基本不等式得到bc≤6，然后利用三角形面积公式求解．
本题考查解三角形问题，属中档题．

21.【答案】解：(Ⅰ)设事件A表示“甲回答正确这道题”，事件B表示“乙回答正确这道题”，事件C表示“丙回答正确这道题”，
由题意得：P(A)=12[1−P(A)][1−P(C)]=18P(B)P(C)=12，
解得乙回答正确的概率P(B)=23，
丙回答正确的概率P(C)=34．
(Ⅱ)甲、乙、丙三人中不少于2人回答正确这道题的概率为：
P=P(ABC)+P(A−BC)+P(AB−C)+P(ABC−)
=12×23×34+12×23×34+12×13×34+12×23×14
=14+14+18+112
=1724． 
【解析】(Ⅰ)设事件A表示“甲回答正确这道题”，事件B表示“乙回答正确这道题”，事件C表示“丙回答正确这道题”，利用相互独立事件概率乘法公式列出方程组，能求出结果．
(Ⅱ)利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式列等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

22.【答案】(I)证明：以C为坐标原点，CA，CB，CC1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AC⊥BC，且AC=BC= 2，∴AB= 2+2=2，故AA 1=4，
则D(0, 2,2)，A1( 2,0,4)，E(0,0,3)，A( 2,0,0)，
则DE=(0,− 2,1)，DA1=( 2,− 2,2)，
设平面A1DE的一个法向量为n=(x,y,z)，
则DE⋅n=− 2y+z=0DA1⋅n= 2x− 2y+2z=0，令y= 2，则z=2，x=− 2，
∴平面A1DE的一个法向量为n=(− 2, 2,2)，
又DA=( 2,− 2,−2)=−n，
∴AD⊥平面A1DE；
(II)由(I)知B(0, 2,0)，可得AB=(− 2, 2,0)，AA1=(0,0,4)，

设平面ABB1的一个法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅AB=− 2a+ 2b=0m⋅AA1=4c=0，令a=1.则b=1，c=0，
∴平面ABB1的一个法向量为m=(1,1,0)，
又AE=(− 2,0,3)，
设直线AE与平面ABB1所成角为θ，
∴sinθ=|cos|=|AE⋅m||AE|⋅|m|= 2 2⋅ 11= 1111．
∴直线AE与平面ABB1所成角的正弦值为 1111． 
【解析】(I)以C为坐标原点，CA，CB，CC1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明线面垂直；
(II)在(I)的坐标系下利用向量法求直线AE与平面ABB1所成角的正弦值．
本题考查线面垂直的证明，线面角的求法，属中档题．