四川省南江县第四中学2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份四川省南江县第四中学2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共13页。试卷主要包含了精心选一选，耐心填一填，细心解一解等内容，欢迎下载使用。

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
解析：
详解：解：①的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
②的被开方数不是整数，不是最简二次根式；
③符合最简二次根式的定义，是最简二次根式；
④符合最简二次根式的定义，是最简二次根式；
⑤符合最简二次根式的定义，是最简二次根式；
⑥的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
综上，③④⑤是最简二次根式，共3个，
故选：C．
2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：A、是分式方程，选项说法错误，不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、，即是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；
D、是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
3. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A. k>－B. k>－且C. k<－D. k－且
答案：B
解析：
详解：解：由题意知，k≠0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即．
解得：k＞，
∴k＞且k≠0．
故选B．
4. 对于任何实数a、b，下列结论正确的是（ ）
A. 的算术平方根是aB. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A.当时，的算术平方根是a，故该选项不正确；
B.，故该选项不正确；
C.当时，，故该选项不正确；
D.，故该选项正确；
故选：D．
5. 若一元二次方程的常数项是0，则a为（ ）
A. 2B. ±2C. －2D. －10
答案：C
解析：
详解：解：由题意得 ，
解得：a=﹣2．
故选C．
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：∵，，
∴
解得，，
故选：D．
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故选：A．
8. 今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的万吨提升到万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：依题意得：去年粮油产量为：45(1+x)
则今年的粮油产量为：45(1+x)(1+x)=；
故选:B.
9. 把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：，，
，
，
故选：B．
10. 若，则的取值范围为( ).
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：
．
∵，
．
．即．
二、耐心填一填（每小题4分，共20分）
11. 使式子有意义，则x的取值范围是：__________________________．
答案：x≥且x≠1
解析：
详解：式子有意义，
则：
解得：且
故答案为且
12. 现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是___．
答案：﹣1或4
解析：
详解：解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，
将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，
解得：x1=4，x2=﹣1．
∴实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
13. 一个等腰三角形的两边长是方程的两个根，那么这个等腰三角形的周长是__________．
答案：10
解析：
详解：解：方程，
分解因式得：（x-2）（x-4）=0，
可得x-2=0或x-4=0，
解得：，，
当等腰三角形的边长是2、2、4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是4、4、2时，这个三角形的周长是4+4+2=10．
故答案为：10．
14. 已知，则的值是_________．
答案：23
解析：
详解：解： ，


两边平方：

故答案为：23
15. 已知实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简______．
答案：
解析：
详解：解：由数轴可知：，，，，
∴
．
故答案为：．
三、细心解一解（共90分）
16. 计算
（1）
（2）
答案：（1）0 （2）
解析：
小问1详解：
解：
=0；
小问2详解：
解：
．
17. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
答案：（1），
（2），
（3），
（4），
解析：
小问1详解：
解：，
，
解得，，
所以，原方程的解为，；
小问2详解：
解：
，
或，
解得，，
所以，原方程的解为，；
小问3详解：
解：，
，
或，
解得，，
所以，原方程的解为，；
小问4详解：
解：，
，
或，
解得，，
所以，原方程的解为，．
18. 先化简，再求值：，其中x满足．
答案：，．
解析：
详解：解：
，
当时，原式．
19. 已知，化简
答案：
解析：
详解：解：，
，，，


．
20. 已知方程 的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
答案：另一个根为-4，m的值为3
解析：
详解：解：设方程的另一个根为a，
根据一元二次方程根与系数的关系，得

解得，
故它的另一个根为-4，m的值为3．
21. 某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？

答案：长为10米，宽为8米．
解析：
详解：解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，
依题意，得：x（28﹣2x）＝80，
解得：x1＝4，x2＝10．
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去；
当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意．
答：这个花圃的长为10米，宽为8米．
22. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
答案：（1） 2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
解析：
详解：（1） 2x，．
(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100
解之得x1＝15，x2＝20．
∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．
∴x＝20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
23. 已知关于的方程．
求证：无论何值，方程总有两个不相等实数根．
设方程的两实数根为，，且满足，求的值和相应的，．
答案：(1)见解析；（2），
解析：
详解：解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根；
∵，
∴，异号，设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴原方程可化为．
解得：，．
24. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋ ＝( ＋ )2；
（3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．
答案：（1），；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．
解析：
详解：（1）∵，
∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．
故答案为m2＋3n2，2mn．
（2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．
故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．
（3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．
∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．