2023-2024学年四川省成都市锦江区教科院附中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市锦江区教科院附中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一个物体的主视图是三角形，这个物体可能是（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（ ）
A．（x+4）2＝11B．（x﹣4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11
3．已知反比例函数y＝的图象经过点（1，6），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（6，﹣1）
4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．40个B．35个C．20个D．15个
5．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线互相垂直
C．四个角都为直角D．对角线互相平分
6．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达36亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．4+4x+4x2＝36
B．4（1+x）2＝36
C．（1+x）2＝36
D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝36
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，得到△A'OB'，若点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
8．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长15厘米，高AH为10厘米，则正方形DEFG的边长是（ ）
A．4厘米B．5厘米C．6厘米D．8厘米
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．若＝，则＝ ．
10．已知C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝2，则AC的长为 ．（结果保留根号）
11．反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 ．
12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝ ．
13．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E，若AB＝8，BM＝6，则DE的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上）
14．（1）求解下列方程：
①x2+2x﹣2＝0；
②（2x+3）2＝4（2x+3）．
（2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，求k的取值范围．
15．成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度（AB），测量方法如下：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度ED约为1.75m，测得BC＝40m，CD＝1m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB．
16．为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
（1）分别求m，n的值；
（2）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
18．【阅读】如图1，若△ABD∽△ACE，且点B，D，C在同一直线上，则我们把△ABD与△ACE称为旋转相似三角形．
【理解】（1）如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：△ABD与△ACE是旋转相似三角形．
【应用】（2）如图3，△ABD与△ACE是旋转相似三角形，AD∥CE，求证：AC＝DE．
【拓展】（3）如图4，AC是四边形ABCD的对角线，∠D＝90°，∠B＝∠ACD，BC＝25，AC＝20，AD＝16，试在边BC上确定一点E，使得四边形AECD是矩形，并说明理由．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知代数式a2﹣2a﹣1＝﹣2，那么2a2﹣4a﹣3的值为 ．
20．已知a，b是方程3x2﹣6x+2＝0的两个根，则a2+b2＝ ．
21．如图，AD是△ABC的中线，点E、F、G分别是AD、AC、AB的中点，连接EF、DG．现随机向△ABC内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 ．
22．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为： ．
23．如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间奇游客人次的年平均增长率；
（2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求直线CD的函数解析式；
（2）在直线AB上是否存在一点P，使得△PBO与△ADC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）现定义：平面内一点到三角形三边所在的直线距离之和等于该三角形周长的一半时，这个点称为此三角形的和谐点．在直线AD上是否存在△COD的和谐点？若存在，请求出和谐点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．在矩形ABCD中，点E为AB边上一动点（不与点A，B重合），连接CE，过点E作EF⊥CE．连接AC、AF、CF，CF与EF分别交AD于点G，H．
（1）如图1，当矩形ABCD为正方形时，且EF＝CE．求证：△BCE∽△ACF；
（2）在（1）的条件下，且点E为AB的中点，求的值；
（3）如图2，已知：AB＝8，BC＝6，，连接CF交AD于G，EF与AD交于H，若FG＝FH，求BE的长度．
参考答案
一、选择题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有4个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．一个物体的主视图是三角形，这个物体可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别对每一项进行判断即可．
【解答】A、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
B、圆柱体的主视图是长方形，故此选项错误；
C、立方体的主视图是长方形，故此选项错误；
D、三棱柱的主视图是长方形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，主视图是从物体正面看所得到的图形，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
2．用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（ ）
A．（x+4）2＝11B．（x﹣4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11
【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得．
解：∵x2﹣8x＝﹣5，
∴x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，
故选：D．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键．
3．已知反比例函数y＝的图象经过点（1，6），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（6，﹣1）
【分析】根据反比例函数y＝的图象经过点（1，6），可以得到k的值，从而可以判断各个选项是否符合题意，本题得以解决．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，6），
∴k＝xy＝1×6＝6，
∵﹣2×3＝﹣6≠6，故选项A不符合题意，
∵﹣3×2＝﹣6≠6，故选项B不符合题意，
∵﹣3×（﹣2）＝6，故选项C符合题意，
∵6×（﹣1）＝﹣6≠6，故选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．40个B．35个C．20个D．15个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.3，
解得x＝15，则白球可能有50﹣15＝35（个）．
故选：B．
【点评】本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
5．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线互相垂直
C．四个角都为直角D．对角线互相平分
【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．
解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．
6．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达36亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．4+4x+4x2＝36
B．4（1+x）2＝36
C．（1+x）2＝36
D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝36
【分析】根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约4（1+x）亿元、第三天票房约4（1+x）2亿元，根据三天后累计票房收入达36亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约4（1+x）亿元，第三天票房约4（1+x）2亿元．
依题意得：4+4（1+x）+4（1+x）2＝36．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，得到△A'OB'，若点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
解：∵以点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，得到△A'OB'，点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），
∴点B的坐标为（4×（﹣），﹣2×（﹣）），即点B的坐标为（﹣2，1），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
8．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长15厘米，高AH为10厘米，则正方形DEFG的边长是（ ）
A．4厘米B．5厘米C．6厘米D．8厘米
【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．
解：设正方形的边长为x厘米．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
由DG∥BC得△ADG∽△ABC
∴＝．
∵PH⊥BC，DE⊥BC
∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，
即＝，
由BC＝15厘米，AH＝10厘米，DE＝DG＝xlm，
得＝，
解得x＝6．
故正方形DEFG的边长是6厘米．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．若＝，则＝ ．
【分析】由＝，可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）代入计算即可解决问题．
解：∵＝，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）
∴＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
10．已知C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝2，则AC的长为 ．（结果保留根号）
【分析】根据黄金分割点的定义，即可进行解答．
解：∵C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB＝2，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．其比值是一个无理数，用分数表示为．
11．反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 m＞﹣1 ．
【分析】根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解：根据题意得m+1＞0，
解得m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝ 10 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例性质求DF的长．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
∴DF＝2BD＝2×5＝10．
故答案为10．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
13．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E，若AB＝8，BM＝6，则DE的长为 ．
【分析】先利用正方形的性质得到正方形，AD＝AB＝8，AD∥BC，∠ABM＝90°，则利用勾股定理可计算出AM＝10，再证明△AMB∽△EAM，然后利用相似比计算出EA，最后计算EA﹣AD即可．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝8，AD∥BC，∠ABM＝90°，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝10，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AME＝∠B，
而∠AMB＝∠EAM，
∴△AMB∽△EAM，
∴AM：EA＝BM：AM，
即10：EA＝6：10，
解得EA＝，
∴DE＝EA﹣AD＝﹣8＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上）
14．（1）求解下列方程：
①x2+2x﹣2＝0；
②（2x+3）2＝4（2x+3）．
（2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）①把常数项﹣2移到等号右边，然后方程两边同时加1，利用完全平方公式把等号左边的式子分解因式，然后直接开平方，把二次方程化成一元一次方程，进行解答即可；
②把方程右边的式子移到左边，提取公因式2x+3，进行分解因式，把二次方程化成一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）根据已知条件，判断根的判别式为非负数，列出关于k的不等式，进行解答即可．
解：（1）①x2+2x﹣2＝0，
x2+2x＝2，
x2+2x+1＝3，
（x+1）2＝3，
x+1＝±，
；
②（2x+3）2＝4（2x+3），
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
（2x+3）（2x﹣1）＝0，
2x+3＝0，2x﹣1＝0，
；
（2）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
9﹣4k+8≥0，
﹣4k≥﹣17
．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程和根的判别式，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法和利用根的判别式判断方程根的情况．
15．成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度（AB），测量方法如下：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度ED约为1.75m，测得BC＝40m，CD＝1m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB．
【分析】根据题意可得：∠ECD＝∠ACB，AB⊥BD，ED⊥BD，从而可得∠ABC＝∠CDE＝90°，然后证明△ABC∽△EDC，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
解：由题意得：∠ECD＝∠ACB，AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∴，
∴AB＝70，
∴该瞭望塔的高度AB为70m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
（1）分别求m，n的值；
（2）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
【分析】（1）由抽取的人数乘以D所占的百分比求出n＝4，即可求出m的值；
（2）求出样本平均数，即可得出答案；
（3）画树状图，共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，再由概率公式求解即可．
解：（1）由题意得：n＝20×20%＝4，
则m＝20﹣2﹣9﹣4＝5，
（2）×（65×2+75×5+85×9+95×4）＝82.5（分），
即估计全校学生的平均成绩为82.5分；
（3）A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：
共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法、频数分布表和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB＝AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB＝90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE＝AC，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴＝4．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
18．【阅读】如图1，若△ABD∽△ACE，且点B，D，C在同一直线上，则我们把△ABD与△ACE称为旋转相似三角形．
【理解】（1）如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：△ABD与△ACE是旋转相似三角形．
【应用】（2）如图3，△ABD与△ACE是旋转相似三角形，AD∥CE，求证：AC＝DE．
【拓展】（3）如图4，AC是四边形ABCD的对角线，∠D＝90°，∠B＝∠ACD，BC＝25，AC＝20，AD＝16，试在边BC上确定一点E，使得四边形AECD是矩形，并说明理由．
【分析】（1）根据△ABC和△ADE是等边三角形，可得，∠BAD＝∠CAE，即有△ABD∽△ACE，利用点B、D、C在同一直线，可判断△ABD和△ACE是旋转相似三角形；
（2 ）根据△ABD与△ACE是旋转相似三角形，得△ABD∽△ACE，即有，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACE，易证△ABC∽△ADE，得∠B＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，可得∠ADE＝∠ACE，根据AD∥CE可得∠ADE＝∠DEC，∠ACE＝∠DEC．利用ASA，可证△AEC≌△DCE（ASA），可得AC＝DE；
（3）过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，易得△ABE∽△ACD，可得，∠BAE＝∠CAD，可证△ABC∽△AED，可求得DE＝20，，设AE＝4k，则BE＝3k，CE＝25﹣3k，可得方程（4k）2+（25﹣3K）2＝202，解得k＝3，则有AE＝12，根据AD＝16，DE＝20，利用勾股定理可得△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，可证四边形AECD是矩形．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE，
∵点D在边BC上，
∴点B、D、C在同一直线，
∴△ABD和△ACE是旋转相似三角形；
（2）证明：△ABD与△ACE是旋转相似三角形，
∴△ABD∽△ACE，
∴，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠ACE，
∵AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠ACE＝∠DEC．
∵∠AED＝∠ACB，
∴∠ACE+∠ACB＝∠AED+∠DEC，
∴∠AEC＝∠DCE，
∵CE＝EC，
∴△AEC≌△DCE（ASA），
∴AC＝DE；
（3）解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，则四边形AECD是矩形，
理由：连接DE，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED，
∴，即，
∴DE＝20，
∵△ABE∽△ACD，
∴，
∴，
∵CD＝＝12，
∴，
设AE＝4k，则BE＝3k，CE＝25﹣3k，
在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，
∴（4k）2+（25﹣3K）2＝202，解得k＝3，
∴AE＝12，
∵AD＝16，DE＝20，
∴AE2+AD2＝DE2，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠DAE＝90°，
∵∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴四边形AECD是矩形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等的判定与性质，矩形的判定，勾股定理的应用，解方程等知识点，解题的关键是利用相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知代数式a2﹣2a﹣1＝﹣2，那么2a2﹣4a﹣3的值为 ﹣5 ．
【分析】由已知条件可得a2﹣2a＝﹣1，将原式变形后代入数值计算即可．
解：∵a2﹣2a﹣1＝﹣2，
∴a2﹣2a＝﹣1，
∴2a2﹣4a﹣3
＝2（a2﹣2a）﹣3
＝2×（﹣1）﹣3
＝﹣2﹣3
＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
20．已知a，b是方程3x2﹣6x+2＝0的两个根，则a2+b2＝ ．
【分析】利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
解：∵a，b是方程3x2﹣6x+2＝0的两个根，
∴a+b＝2，ab＝，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝4﹣
＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
21．如图，AD是△ABC的中线，点E、F、G分别是AD、AC、AB的中点，连接EF、DG．现随机向△ABC内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 ．
【分析】根据中线的性质将边之间的关系转化为三角形面积之间的关系：S△BDG＝S△ABD＝S△ABC，S四边形EDCF＝S△ADC﹣S△AEF＝S△ADC＝S△ABC，从而推出＝，即可得到针尖落在阴影区域的概率为．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD＝AC，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC，
∵G是AB的中点，
∴AG＝BG＝AB，
∴S△BDG＝S△ABD＝S△ABC，
∵E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，
∴△AEF∽△ADC，
∴，即S△AEF＝S△ADC，
∴S四边形EDCF＝S△ADC﹣S△AEF＝S△ADC＝S△ABC，
∴S阴影部分＝S△BDG+S四边形EDCF＝S△ABC+S△ABC，＝S△ABC，即＝，
∴针尖落在阴影区域的概率是：，
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率及三角形中位线定理，此类几何形概率的计算方法是长度比，面积比，体积比等，要结合图形的相关性质求解．
22．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为： ．
【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案．
解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，
又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，
∴2a2﹣8a+26＝20，
∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
∵CM2＝OM2+OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2+MP2＝CP2，
∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，
解得：a＝．
∴P（3，）．
综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．
故答案为：P．
【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．
23．如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 3+2 ．
【分析】由旋转的性质可得EF＝EG，BE＝HE＝2，∠FEG＝∠BEH＝30°，由“SAS”可证△BEF≌△HEG，可得∠B＝∠GHE＝90°，可得点G在直线HG上运动，则当CG⊥HG时，CG有最小值为CP，由直角三角形的性质可求解．
解：如图，将BE绕点E顺时针旋转30度，得到EH，连接HG，过点C作CP⊥GH于P，过点E作EN⊥CP于N，
∵将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，将BE绕点E顺时针旋转30度，得到EH，
∴EF＝EG，BE＝HE＝2，∠FEG＝∠BEH＝30°，
∴∠BEF＝∠FEG，
在△BEF和△HEG中，
，
∴△BEF≌△HEG（SAS），
∴∠B＝∠GHE＝90°，
∴点G在直线HG上运动，
∴当CG⊥HG时，CG有最小值为CP，
∵CP⊥HG，∠GHE＝90°，
∴CP∥HE，
∴∠BEH＝∠BCP＝30°，∠PNE＝∠HEN＝90°，
∴四边形PNEH是矩形，
∴HE＝PN＝2，
∵BC＝8，BE＝2，
∴EC＝6，
∵∠BCP＝30°，∠ENC＝90°，
∴EN＝EC＝3，NC＝EN＝3，
∴CP＝3+2，
∴CG的最小值为3+2．
故答案为：3+2．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间奇游客人次的年平均增长率；
（2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在24春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）．
答：年平均增长率为20%；
（2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
整理得：y2﹣41y+420＝0，
解得：y1＝20，y2＝21．
∵售价不超过20元，
∴y＝20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求直线CD的函数解析式；
（2）在直线AB上是否存在一点P，使得△PBO与△ADC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）现定义：平面内一点到三角形三边所在的直线距离之和等于该三角形周长的一半时，这个点称为此三角形的和谐点．在直线AD上是否存在△COD的和谐点？若存在，请求出和谐点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）要求直线CD解析式，只需要求出点C坐标；
（2）分类讨论相似，由相似对应边成比例求出边长，进一步求出点P坐标；
（3）先借助“和谐点”概念求出点到直线CD距离，再进一步求点坐标．
解：（1）当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝3，
∴A（3，0），B（0，4），
∴AB＝5
由折叠得，AB＝AC＝5，
∴OC＝3+5＝8，
设直线CD的表达式为y＝kx+b（k≠0），
则 解得
∴直线CD的函数解析式为y＝x﹣6；
（2）存在，点P坐标为（，）或（，）或（，）或（，）；
∵点P在直线AB上，
∴设P（3m，﹣4m+4），
∴OP＝，
由折叠得∠PBO＝∠ACD
∴①若△BOP∽△CAD，
则＝，
即＝，解得OP＝，
∴＝，
解得m＝ 或 ，
∴P（，）或（，），
②若△BOP∽△CDA，
同理可得P（，）或（，），
综上所述，点P坐标为（，）或（，）或（，）或（，）；
（3）∵C（8，0），D（0，﹣6），
∴CD＝10，
＝24，
∴“和谐点”到△COD三边所在直线距离之和为12，
∵A（3，0），D（0，﹣6），
∴直线AD解析式为y＝2x﹣6，
∵“和谐点”在直线AD上
∴设“和谐点”坐标为Q（n，2n﹣6），
则QD＝
过点Q作QM⊥CD交CD于点M，
由折叠得∠QDM＝∠ADO，
∴△QDM∽△ADO，
∴＝，
即＝，解得QM＝，
∴“和谐点”到△COD三边所在直线距离之和为|n|+|2n﹣6|+QM＝12，
①若n＜0，
则﹣n+6﹣2n+＝12，解得n＝，
此时Q（，﹣9），
②若0＜n＜3，
则n+2n﹣6+＝12，无解，舍去，
③若n＞3，
则n+2n﹣6+＝12，解得n＝，
此时Q（，3），
综上所述，“和谐点”坐标为（，﹣9）或（，3）．
【点评】本题考查了一次函数与相似综合运用求点坐标问题、新定义求点坐标问题，难度系数较大．
26．在矩形ABCD中，点E为AB边上一动点（不与点A，B重合），连接CE，过点E作EF⊥CE．连接AC、AF、CF，CF与EF分别交AD于点G，H．
（1）如图1，当矩形ABCD为正方形时，且EF＝CE．求证：△BCE∽△ACF；
（2）在（1）的条件下，且点E为AB的中点，求的值；
（3）如图2，已知：AB＝8，BC＝6，，连接CF交AD于G，EF与AD交于H，若FG＝FH，求BE的长度．
【分析】（1）根据△ABC和△ECF是等腰直角三角形，可得，∠BCE＝∠ACF，则△AFC∽△BEC；
（2）作辅助线，构造相似，利用（1）的结论，求比值．
（3）利用相似，全等，勾股定理，求线段的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ACB＝45°，
∴，
∵BF⊥CE，且EF＝CE，
∴∠ECF＝45°，，
∴，
∵∠ACB＝∠FCE＝45°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠FCB﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACF，
∴△BEC∽△AFC；
．
解：（2）作FM⊥AD于点M．
由（1）可得△BEC∽△AFC，
∠FAC＝∠B＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠FAM＝45°，
∵∠AMF＝90°，
∴∠AFM＝45°，
∴AM＝FM．
∵AM2+FM2＝AF2
∴AF＝AM＝MF，
∵△BEC∽△AFC，
∴＝，
∴AF＝BE，
∴AM＝FM＝BE，
∵E为AB中点，
AE＝BE＝AB．
∴MF＝AE，
∴＝．
∵∠EAH＝∠FMH，∠AHF＝∠MHF，AE＝MF．
∴△AEH≌△MFH（AAS），
∴AH＝HM＝AM＝AD．
∵∠FMG＝∠CDG，∠FGM＝∠CGD，
∴△FMG∽△CDG，
∴＝＝，
∴GM＝MD，
∴GM＝AD．
∴HG＝HM+MG
＝AD+AD
＝AD．
∵GD＝2GM＝AD，
∴＝．
．
（3）Rt△CEF中，设CE＝3x，EF＝4x，
∵CE2+EF2＝CF2．
∴CF＝5x．
∵FG＝FH．
∴∠FHG＝∠FGH．
∵∠FHG＝∠2，∠FGH＝∠1，
∴∠1＝∠2．
∠2+∠AEH＝90，∠AEH+∠3＝90，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠D．
∴△CBE∽△CDG，
∴＝，
＝．
∴CG＝4x，
∵CF＝5x，
∴FG＝x，
∴FH＝FG＝x，
∵EF＝4x，
∴EH＝EF﹣FH＝3x，
∴EH＝CE，
∵∠2＝∠3，∠B＝∠D，
∴△AEH≌△BCE（AAS），
∴AE＝BC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝2．
【点评】本题考查了矩形正方形，相似全等，勾股定理．关键是知识的综合运用．
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
D
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
D
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n