高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就学案

这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就学案，共18页。

　万有引力理论的成就

核心素养目标
物理观念
了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
科学思维
掌握计算天体的质量和密度的方法。
科学态度与责任
认识科学定律对人类探索未知世界的作用。

知识点一　“称量”地球的质量
[观图助学]

　如何“称量”地球的质量呢？
1.思路：地球表面上质量为m的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。
2.关系式：mg＝G。(m地为地球质量，R为地球的半径)
3.结论：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
利用m地＝“称量”地球质量的方法可以推广到其他天体(如月球)质量的确定，只不过R应是该天体的半径，g应是该天体表面的重力加速度。

知识点二　计算天体的质量
1.思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。
2.关系式：(m太为太阳的质量，r为行星与太阳的距离)
3.结论：m太＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。
[思考判断]
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。(×)
(2)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量。(×)
(3)若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度，则可以求出太阳的质量。(√)

知识点三　发现未知天体、预言哈雷彗星回归
[观图助学]

太阳系的行星(或矮行星)中，海王星距离太阳很远，是如何被发现的？
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3.哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右。
[思考判断]
(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(×)
(2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。(√)
(3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(×),
“笔尖下发现的行星”彻底消除了人们对牛顿引力学说的怀疑，同时也充分显示了理论对实践的巨大指导作用。

笔尖下发现的行星——海王星
核心要点一　计算天体的质量和密度
[问题探究]　
月球是地球的唯一一颗天然卫星，月球已经伴随地球超过46亿年，根据月球的公转周期和轨道半径，我们能否推导出月球的质量，能否推导出地球的质量？

答案　根据G＝m月r可知，我们可推导出地球的质量，无法推导出月球的质量。
[探究归纳]
天体质量和密度的计算

情景及求解思路
结果
天体质量的计算
根据万有引力等于重力(测“g”法)
已知所求天体的半径R及其表面的重力加速度g，则G＝mg
m天＝
根据万有引力提供向心力(环绕法)
质量为m的行星或卫星绕所求天体做匀速圆周运动，万有引力提供行星或卫星所需的向心力，即G＝m＝mω2r＝mr
①m天＝
②m天＝　
③m天＝
天体密度的计算
ρ＝＝
若已知重力加速度g，ρ＝
若已知周期T，
ρ＝
R为中心天体的半径
当行星或卫星绕中心天体表面运行时，r＝R，ρ＝
[试题案例]
[例1] (2017·北京卷)利用引力常量G和下列有关数据，不能计算出地球质量的是(　　) 还记得计算天体质量的两种方法吗？
A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
不考虑地球自转，则万有引力等于重力　
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
解析　不考虑地球的自转，地球表面物体受到的万有引力等于重力，即＝mg，得m地＝，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；根据＝
m卫和T＝，得m地＝，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m月r，得m地＝，所以据C中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m地r，得m太＝，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题答案为D。
答案　D
方法总结
(1)利用万有引力提供向心力的方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的环绕天体(行星或卫星)的质量。

(2)要注意R、r的区分：R指中心天体的半径，r指环绕天体(行星或卫星)的轨道半径。
图中r＝R＋h，R为中心天体半径、r为环绕半径、h为环绕天体(行星或卫星)离中心天体表面的高度。
[例2] 2019年1月3日，由我国发射的“嫦娥四号”首次实现人类探测器在月球背面的软着陆。地球表面的重力加速度是月球表面重力加速度的6倍，地球半径为月球半径的4倍，则地球和月球的平均密度之比为(　　)
A.1.5 B.4
C.6 D.24
解析　重力等于万有引力，有G＝mg，得质量为m地＝，则密度为ρ＝＝＝，故有＝·＝6×＝1.5，故选项A正确，B、C、D错误。
答案　A
[针对训练1] 若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　　)
A. B.
C. D.
解析　无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为＝mr0，即m∝，所以＝，故选项A正确。
答案　A
核心要点二　天体运动物理量的分析与计算
[问题探究]　
已知地球、火星都绕太阳转动，火星的公转半径是地球公转半径的1.5倍，根据以上材料思考：

(1)地球、火星遵循什么样的动力学规律？
(2)如何比较火星与地球的线速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
答案　(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
(2)由G＝man＝m＝mω2r＝mr表达式可知线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。
[探究归纳]　
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F向＝F万。
2.常用关系
(1)G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝man，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
(2)mg＝G，在天体表面上物体的重力等于它受到的万有引力，可得gR2＝Gm天，该公式称为黄金代换。
3.四个重要结论
项目
推导式
关系式
结论
v与r的关系
G＝m
v＝
r越大，v越小
ω与r的关系
G＝mrω2
ω＝
r越大，ω越小
T与r的关系
G＝mr()2
T＝2π
r越大，T越大
a与r的关系
G＝ma
a＝
r越大，a越小
速记口诀：“高轨低速周期长，低轨高速周期短”。
[试题案例]
[例3] 火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍。根据以上数据，以下说法中正确的是(　　)
A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的大
B.火星公转的周期比地球的长
C.火星公转的线速度比地球的大
D.火星公转的向心加速度比地球的大
解析　由G＝mg得g＝G，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，选项A错误；由G＝mr得T＝2π，公转轨道半径大的周期长，选项B正确；由v＝判断轨道半径大的线速度小，选项C错误；公转向心加速度a＝，可以判断火星的向心加速度小，选项D错误。
答案　B
方法总结　解答天体运动问题的技巧
(1)建立模型
不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型来处理问题。
(2)列方程求解
根据中心天体对环绕星体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解。
F向＝F万＝ma＝G＝m＝mrω2＝mr。
[针对训练2] (多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(　　)

A.b所需向心力最小
B.b、c的周期相同且大于a的周期
C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
解析　因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，而b所受的万有引力最小，故A正确；由＝man得，an＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由＝得，T＝2π，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由G＝m得，v＝，即卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确。
答案　ABD
核心要点三　双星模型
1.双星模型：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星。

2.双星模型问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝man。
3.双星模型的特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)轨道与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。
[例4] 在轨运行26年的哈勃太空望远镜，曾拍摄到天狼星A和天狼星B组成的双星系统在轨运行图像，如图所示。它们在彼此间的万有引力作用下同时绕某点(公共圆心)做匀速圆周运动，已知mA＝bmB，且b＞1，则下列结论正确的是(　　)

A.天狼星A和天狼星B的绕行方向可能相反
B.天狼星A和天狼星B的公共圆心可以不在质心连线上
C.天狼星A和天狼星B的向心加速度大小之比为b∶1
D.天狼星A和天狼星B的线速度大小之比为1∶b
解析　天狼星A和天狼星B角速度相同，之间的距离不变，绕行方向一定相同，选项A错误；天狼星A和天狼星B的公共圆心一定在质心连线上，选项B错误；天狼星A和天狼星B的向心力由它们之间的万有引力提供，G＝mAω2rA＝mBω2rB，知mArA＝mBrB，即＝＝，根据a＝ω2r知，＝＝＝，选项C错误；根据v＝ωr，有＝＝，选项D正确。
答案　D
[针对训练3] 如图所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。已知A、B星球质量分别为mA、mB，引力常量为G。求(其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期)。

解析　设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB，则rA＋rB＝L，
对星球A：G＝mArA
对星球B：G＝mBrB
联立以上三式，求得＝。
答案　

1. (多选)下列说法正确的是(　　)
A.海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道发现的
C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D.以上说法都不对
解析　海王星是人们先根据万有引力定律计算出轨道，然后又被天文工作者观察到的。天王星是人们通过望远镜观察发现的。天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道引起了人们的思考，推测天王星外面存在其他行星。综上所述，选项A、C正确。
答案　AC
2.有两个行星A、B，在这两个行星表面附近各有一颗卫星，如果这两颗卫星运行的周期相等，则行星A、B的密度之比为(　　)
A.1∶1 B.2∶1
C.1∶2 D.无法计算
解析　卫星在行星表面运动，密度ρ＝，因周期相同，则密度相同，选项A正确。
答案　A
3.如图所示，地球绕着太阳公转，而月球又绕着地球转动，它们的运动均可近似看成匀速圆周运动。如果要通过观测求得地球的质量，需要测量下列哪些量(　　)

A.地球绕太阳公转的半径和周期
B.月球绕地球转动的半径和周期
C.地球的半径和地球绕太阳公转的周期
D.地球的半径和月球绕地球转动的周期
解析　欲求地球的质量M，根据＝m，则需要知道月球绕地球转动的半径和周期，而不是地球绕太阳转动的半径与周期，故选项B正确。
答案　B
4.(多选)金星被称为地球的“孪生姐妹”，金星半径是地球半径的0.95倍，金星质量是地球质量的0.82倍，但金星与地球有许多不同之处，如金星的自转周期略大于公转周期，在金星上可谓“度日如年”。下面是金星、地球、火星的有关情况比较。

星球
金星
地球
火星
公转半径
1.0×108 km
1.5×108 km
2.25×108 km
自转周期
243日
23时56分
24时37分

根据以上信息，下列关于地球及金星和火星(均视为圆周运动)的说法正确的是(　　)
A.金星运行的线速度最小，火星运行的线速度最大
B.金星公转的向心加速度大于地球公转的向心加速度
C.金星的公转周期最大，火星的公转周期最小
D.金星的公转角速度最大，火星的公转角速度最小
解析　根据万有引力提供向心力G＝m，得v＝，金星的公转半径最小，所以线速度最大，火星的公转半径最大，所以线速度最小，故A项与题意不相符；根据万有引力提供向心力G＝ma，得a＝，金星的公转半径小于地球公转半径，所以金星公转的向心加速度大于地球公转的向心加速度，故B项与题意相符；根据万有引力提供向心力G＝mr，得T＝，金星的公转半径最小，所以金星的公转周期最小，火星的公转半径最大，所以火星的公转周期最大，故C项与题意不相符；根据万有引力提供向心力G＝mrω2，得ω＝，故金星公转的角速度最大，火星公转的角速度最小，故D项与题意相符。
答案　BD
5.(2018·天津理综)(多选)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的(　　)

A.密度 B.向心力的大小
C.离地高度 D.线速度的大小
解析　卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有G＝m(R＋h)，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度及向心力大小，A、B项错误；又G＝m0g，联立两式可得h＝－R，C项正确；由v＝(R＋h)，可计算出卫星的线速度的大小，D项正确。
答案　CD

基础过关
1.天文学家发现某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出(　　)
A.行星的质量 B.行星的半径
C.恒星的质量 D.恒星的半径
解析　设行星轨道半径为r，周期为T，恒星的质量为M，行星的质量为m，则由G＝mr得，M＝，故选项C正确。
答案　C
2.(多选)把太阳系各行星的运动近似地看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星(　　)
A.周期越小 B.线速度越小
C.角速度越小 D.加速度越小
解析　行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力由太阳对行星的万有引力提供，则有G＝m＝mr＝mω2r＝ma。r越大，线速度越小，选项B正确；r越大，角速度越小，选项C正确；ω越小，则周期T越大，选项A错误；r越大，则a越小，选项D正确。
答案　BCD
3.随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其他星球成为可能。假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的(　　)
A. B.2倍
C.4倍 D.8倍
解析　由G＝mg得M＝，而M＝ρ·πR3，由两式可得R＝，所以M＝，易知该星球质量大约是地球质量的8倍，选项D正确。
答案　D
4.(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知(　　)
A.两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动
B.甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3
C.甲、乙两恒星的线速度之比为∶2
D.甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2
解析　根据题目描述的这两颗恒星的特点可知，它们符合双星模型的运动规律，即绕它们连线上某一位置做匀速圆周运动，选项A正确；它们的角速度相等，选项B错误；由于m甲a甲＝m乙a乙，所以＝＝，选项D正确；由m甲ω甲v 甲＝m乙ω乙v乙，所以＝＝，选项C错误。
答案　AD
5.(多选)一质量为m1的卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量M可表示为(　　)
A. B.
C. D.
解析　卫星绕地球运行时，地球对质量为m1的卫星的万有引力提供了卫星运行的向心力，由＝m1r得M＝，选项A正确；对地球表面质量为m2的物体，由＝m2g得M＝，选项C正确。
答案　AC
6.(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是(　　)
A.卫星的速度和角速度
B.卫星的质量和轨道半径
C.卫星的质量和角速度
D.卫星的运行周期和轨道半径
解析　根据线速度和角速度可以求出半径r＝，根据万有引力提供向心力＝m，整理可以得到M＝＝，故选项A正确，B、C错误；若知道卫星的周期和轨道半径，则＝mr，整理得到M＝，故选项D正确。
答案　AD
7.某行星可看成一个均匀的球体，密度为ρ，若在其赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星的自转周期为(引力常量为G)(　　)
A. B. C. D.
解析　根据物体对行星表面的压力恰好为0，万有引力提供向心力，G＝mr，可得T＝2π，将M＝πr3ρ代入，可得T＝，选项C正确。
答案　C
能力提升
8.(多选)2015年4月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示。这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞。这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。我国在近期也将发射全球功能最强的暗物质探测卫星。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，双黑洞间距离为L，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，引力常量为G。根据所学知识，下列选项正确的是(　　)

A.双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
B.双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2
C.双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2
D.它们的运动周期为T＝2π
解析　双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，由G＝M1r1ω2＝M2r2ω2，得双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1，选项A正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项B错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项C错误；由G＝M1r1、G＝M2r2和r1＋r2＝L得T＝2π，选项D正确。
答案　AD
9.(多选)研究发现太阳系外有一颗适合人类居住的星球A的质量为地球质量的2倍，直径约为地球直径的2倍，则下列说法正确的是(　　)
A.星球A的自转周期一定比地球的自转周期小
B.同一物体在星球A表面的重力约为在地球表面重力的
C.星球A的卫星的最大环绕速度与地球卫星的最大环绕速度近似相等
D.若星球A的卫星与地球的卫星以相同的轨道半径运行，则两卫星的线速度大小一定相等
解析　由所给条件不能确定自转周期，选项A错误；根据g＝，可得＝＝2×＝，选项B正确；根据万有引力提供向心力得G＝m，则最大环绕速度v＝，可得＝＝1，选项C正确；卫星的线速度v＝，因M不同，则v不同，选项D错误。
答案　BC
10.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t，小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地。
解析　(1)设竖直上抛小球初速度为v0，则
v0＝gt＝g′×5t，所以g′＝g＝2 m/s2。
(2)设小球的质量为m，则mg＝G，mg′＝G，所以M星∶M地＝＝×＝。
答案　(1)2 m/s2　(2)