向心加速度

知识点一　匀速圆周运动的加速度方向

[观图助学]

通过前面的学习，我们已经知道，做曲线运动的物体，速度一定是变化的，即一定有加速度。如图，双人花样滑冰运动中，女运动员绕男运动员做匀速圆周运动，加速度的方向如何？

1.心加速度

物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。

2.向心加速度的方向

沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直。

[思考判断]

(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变。(×)

(2)匀速圆周运动是匀变速运动。(×)

(3)匀速圆周运动是加速度不变的运动。(×)

做匀速圆周运动的物体，合力提供向心力，即合力指向圆心，所以加速度的方向也指向圆心

向心加速度的方向时刻变化

知识点二　匀速圆周运动的加速度大小

向心加速度表达式

an＝或an＝ω2r

[思考判断]

(1)匀速圆周运动的加速度大小不变。(√)

(2)根据an＝知加速度an与半径r成反比。(×)

(3)根据an＝ω2r知加速度an与半径r成正比。(×)

(4)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。(×),

根据牛顿第二定律an＝＝＝ω2r

核心要点一　向心加速度的理解

[问题探究]　

如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(漫画)，小球绕细绳的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：

(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？

(2)向心加速度改变物体的速度大小吗？

答案　(1)变化。向心加速度的作用。

(2)向心加速度只改变线速度的方向，不改变速度的大小。

[探究归纳]　

1.物理意义

描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。

2.方向

总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。

3.圆周运动的性质

不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。

4.变速圆周运动的向心加速度

做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。

[试题案例]

[例1] (多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　)

A.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直

B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

解析　向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，A正确；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，B、D正确；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度方向不是始终指向圆心的，C错误。

答案　ABD

[针对训练1] 物体做匀速圆周运动过程中，其向心加速度(　　)

A.大小、方向均保持不变

B.大小、方向均时刻改变

C.大小时刻改变、方向时刻改变

D.大小保持不变、方向时刻改变

解析　做匀速圆周运动的物体其速度大小不变，由向心加速度公式an＝可知其大小不变，向心加速度的方向始终指向圆心，故其方向时刻改变。选项D正确。

答案　D核心要点二　向心加速度公式的理解与应用

[问题探究]　

如图所示，两个啮合的齿轮，其中A点为小齿轮边缘上的点，B点为大齿轮边缘上的点，C点为大齿轮中间的点。

(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？

(2)哪两点的向心加速度与半径成反比？

答案　(1)B、C两个点的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度与半径成正比。

(2)A、B两个点的线速度相同，由an＝知向心加速度与半径成反比。

[探究归纳]　

1.由向心加速度方向看圆周运动性质

向心加速度方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻变化的，所以圆周运动一定是变加速运动。

2.向心加速度的几种表达式

(1)对应线速度：an＝。

(2)对应角速度：an＝rω2。

(3)对应周期：an＝r。

(4)对应转速：an＝4π2n2r。

3.向心加速度的大小与各量关系的理解

(1)当r一定时，an∝v2，an∝ω2。

(2)当v一定时，an∝。

(3)当ω一定时，an∝r。

(4)an与r的关系图像：如图所示。由an－r图像可以看出：an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。

[试题案例]

[例2] (多选)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则(　　)           隐含：球上各点的角速度相等

A.a、b两点线速度相同

B.a、b两点角速度相同

C.若θ＝30°，则a、b两点的线速度之比va∶vb＝∶2

D.若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝∶2

解析　由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度ω相同，选项B正确；而据v＝ωr可知va＜vb，选项A错误；由几何关系有ra＝rb·cos θ，当θ＝30°时，ra＝rb，则va∶vb＝∶2，选项C正确；由a＝ω2r，可知aa∶ab＝ra∶rb＝∶2，选项D正确。

答案　BCD

方法总结　向心加速度公式的应用技巧

(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。

(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。

(3)向心加速度公式an＝和an＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。

[针对训练2] (多选)如图所示为甲、乙两球做匀速圆周运动向心加速度随半径变化的图像，由图像可知(　　)

A.甲球运动时，线速度大小保持不变

B.甲球运动时，角速度大小保持不变

C.乙球运动时，线速度大小保持不变

D.乙球运动时，角速度大小保持不变

解析　由a＝知，v不变时，a与R成反比，图像为双曲线的一支，选项A正确，B错误；由a＝ω2R知，ω不变时，a与R 成正比，图像为过原点的倾斜直线，选项C错误，D正确。

答案　AD

1.下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)

A.向心加速度越大，物体速率变化越快

B.向心加速度的大小与轨道半径成反比

C.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直

D.在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

解析　向心加速度是描述速度变化快慢的物理量，但它只反映线速度方向的变化快慢，选项A错误；向心加速度的大小可用an＝或an＝ω2r表示，当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比，可见an与r的比例关系是有条件，选项B错误；向心加速度方向始终与线速度方向垂直，选项C正确；在匀速圆周运动中，向心加速度大小恒定，但方向始终指向圆心，即其方向时刻变化，所以向心加速度不是恒量，选项D错误。

答案　C

2.关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　)

A.由a＝可知，a与r成反比

B.由a＝ω2r可知，a与r成正比

C.由v＝ωr可知，ω与r成反比

D.由ω＝2πn可知，ω与n成正比

解析　物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关。但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出。当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，选项D正确。

答案　D

3.关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)

A.由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定

B.匀速圆周运动不属于匀速运动

C.向心加速度可以改变速度方向，也能改变速度大小

D.做圆周运动的物体，加速度方向时刻指向圆心

解析　由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度大小是恒定的，但是方向不断改变，选项A错误；匀速圆周运动的速度方向不断改变，故不属于匀速运动，选项B正确；向心加速度只改变速度方向，选项C错误；只有做匀速圆周运动的物体，加速度方向才时刻指向圆心，选项D错误。

答案　B

4.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间里甲转过60圈，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为(　　)

A.3∶4   B.4∶3 

C.4∶9   D.9∶4

解析　根据公式an＝ω2r及ω＝＝知＝×，而T甲＝，T乙＝，所以＝×＝，选项B正确。

答案　B

5.飞机由俯冲转为上升的一段轨迹可以看成圆弧，如图所示，如果这段圆弧的半径r＝800 m，飞行员能承受的加速度最大为8g。飞机在最低点P的速率不得超过多少？(g取10 m/s2)

解析　飞机在最低点做圆周运动，由于其向心加速度最大不得超过8g才能保证飞行员安全，所以由an＝得v＝＝ m/s＝80  m/s，故飞机在最低点P的速率不得超过80 m/s。

答案　80 m/s

基础过关

1.关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是(　　)

A.与线速度方向始终相同

B.与线速度方向始终相反

C.始终指向圆心

D.始终保持不变

解析　向心加速度的方向与线速度方向垂直，始终指向圆心，选项A、B错误，C正确；做匀速圆周运动物体的向心加速度的大小不变，而方向时刻变化，D错误。

答案　C

2.如图所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是(　　)

A.向心加速度的大小aP＝aQ＝aR

B.任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同

C.线速度vP＞vQ＞vR

D.任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同

解析　圆环各处的角速度相等，由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，选项A错误；由于向心加速度总是指向圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同，选项B错误；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，选项C正确；线速度方向都垂直于半径，故P、Q、R三点的线速度方向相同，选项D错误。

答案　C

3.(多选)冰上芭蕾舞剧《天鹅湖》在某大剧院的歌剧厅震撼上演！表演中，演员展开双臂单脚点地做着优美的旋转动作，在他将双臂逐渐放下的过程中，他转动的速度会逐渐变快，则他肩上某点随之转动的(　　)

A.周期变大  B.线速度变大

C.角速度变大  D.向心加速度变大

解析　他转动的速度逐渐变快，说明角速度变大，而v＝ωr，an＝ω2r，T＝，随ω的增大，v、an在变大，T将变小，选项A错误，B、C、D正确。

答案　BCD

4.如图所示，质量为m的木块从半径为R的固定半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么木块(　　)

A.加速度为零

B.加速度恒定

C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心

D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心

解析　由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。

答案　D

5.A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min。则两球的向心加速度之比为(　　)

A.1∶1   B.2∶1 

C.4∶1   D.8∶1

解析　由题意知，球A的转速为30 r/min，球B的转速为15 r/min，根据ω＝2πn可知A、B两球的角速度之比为2∶1；而A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，根据a＝rω2可知，则向心加速度之比为8∶1，选项A、B、C错误，D正确。

答案　D

6.(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是(　　)

A.＝   B.＝

C.＝   D.＝

解析　由于皮带不打滑，v1＝v2，a＝，故＝＝，选项A错误，B正确；由于右边两轮共轴转动，ω2＝ω3，a＝rω2，＝＝，选项C错误，D正确。

答案　BD

能力提升

7.(多选)如图所示，一小物块以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m。则下列说法正确的是(　　)

A.小物块运动的角速度为2 rad/s

B.小物块做圆周运动的周期为π s

C.小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m

D.小物块在π s内通过的路程为零

解析　依据a＝ω2R，小物块运动的角速度ω＝＝ rad/s＝2 rad/s；周期T＝＝π s，选项A、B正确；小物块运动的周期为π  s，则在t＝ s内，即在T内小物块转过圆，通过的位移大小为x＝ R＝ m；根据v＝ωR，知v＝2 m/s，小物块在π s内通过的路程为l＝vt＝2×π m＝2π m，选项C、D错误。

答案　AB

8.如图甲，某汽车以恒定的速率驶入一个狭长的90°圆弧形水平弯道，弯道两端连接的都是直道。有人在车内测量汽车的向心加速度随时间的变化关系如图乙所示。求：

(1)汽车转弯所用的时间；

(2)汽车行驶的速率。

解析　(1)由题图乙可得汽车转弯所用的时间为t＝10 s。

(2)汽车在转弯过程中做圆周运动的周期T＝4t＝40 s，

由an＝r，可得r≈63.7 m，

由an＝，解得v≈10 m/s。

答案　(1)10 s　(2)10 m/s

9.如图所示甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。(重力加速度为g)

解析　设乙下落到A点所用时间为t，

则对乙，满足R＝gt2得t＝，

这段时间内甲运动了T，

即T＝①

又由于an＝ω2R＝R②

由①②得an＝π2g。

答案　π2g