【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-1.5《全称量词与存在量词》同步讲学案

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1．5　全称量词与存在量词知识点一　全称量词和存在量词 全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点二　含量词的命题的否定pp结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题 题型一、全称量词与全称命题命题点1 判断全称命题的真假1．判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）；（3）对每一个无理数，也是无理数.【答案】（1）假命题，（2）真命题，（3）假命题【详解】（1）因为2是素数，而2是偶数，所以所有的素数都是奇数为假命题，（2）因为对于任意实数，都有，所以，所以此命题是真命题，（3）若，则为有理数，所以此命题是假命题，命题点2 根据全称命题的真假求参数2．（多选）给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【详解】由于命题为假命题，所以命题的否定：，是真命题.当时，则，令，所以选项A正确；当时，则，令，所以选项B正确；当时，则，，不成立，所以选项C错误；当时，则，，不成立，所以选项D错误.故选：AB 题型二、存在量词与特称命题命题点1 判断特称（存在性）命题的真假1．判断下列命题的真假：（1） ；（2）；【答案】（1）真命题；（2）假命题.【详解】（1）由，得，即，解得或，故命题为真； （2）由，得，即，解得或，故时，不成立，故是假命题. 命题点2 根据特称（存在性）命题的真假求参数2．命题“”为真命题，则实数的取值范围是_______．【答案】【详解】因为命题“”为真命题，所以方程有2不等实根，故，解得或，故答案为： 题型三、含有一个量词的命题的否定命题点1 全称命题的否定及其真假判断1．已知命题，，则（       ）A．命题，为假命题B．命题，为真命题C．命题，为假命题D．命题，为真命题【答案】D【详解】显然当时不满足，故命题，为假命题， 所以，为真命题，故选：D．命题点2 特称命题的否定及其真假判断2．已知命题：，或，则（       ）A．：，或 B．：，且C．：，且 D．：，或【答案】B【详解】因为命题：，或，故可得：，且.故选：B.命题点3 含有一个量词的命题的否定的应用3．（多选）下列说法正确的是（       ）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要而不充分条件D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件【答案】BD【详解】A.命题“，”的否定是“，”，故错误；B.命题“，”的否定是“，”，正确；C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD. 命题点4 根据全称或特称命题及命题的否定的真假求参数4．已知：，，：，．（1）写出命题的否定；命题的否定；（2）若和至少有一个为真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）：，；：，；（2）.【详解】（1）：，；：，．（2）由题意知，真或真，当真时，，当真时，，解得，因此，当真或真时，或，即． 1．判断下列全称量词命题的真假，并说明理由．（1）时，则；（2）任意一个实数乘以都等于它的相反数；（3）对任意实数，，，关于的方程都有两个实数解．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【详解】对于（1），若，则必有，（1）为真命题．．对于（2），根据相反数的定义，得（2）是真命题．对于（3），当时，关于的方程为，此时该方程至多有一个实数解，所以（3）为假命题．2．若命题“，”是真命题，则实数k的取值范围是（     ）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时显然恒成立，当时要使命题为真，则：可得；而时不可能恒成立，综上，k的取值范围是.故选：B3．判定下列存量量词命题的真假：（1）；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）是无理数}，是无理数.【答案】（1）真；（2）真；（3）真【详解】（1）当时，成立，故（1）为真命题；（2）至少有一个整数例如1，它既不是合数，也不是素数，故（2）真命题；（3）若为无理数，则也是无理数，故（4）为真命题4．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（       ）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【答案】A【详解】若命题“”是真命题，即有解，则对应的判别式，即，解得，故选：A5．命题p：，的否定：___，且是___命题（填“真”或“假”）【答案】     ，     假【详解】根据题意可得：，，而当时，恒有，故该命题错误.故答案为：，；假.6．命题“”的否定是____，该命题为____ 命题（填“真”“假”）.【答案】          假【详解】因为原命题为“”，所以其否定为：.当x=0时，，所以该命题为假命题.故答案为：；假.7．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．【答案】【详解】因为为假命题，所以为真命题，命题，都有， 为真命题，则，即命题，使，为真命题，则，即因为命题、同时为真命题，所以，解得， 故实数m的取值范围是．8．已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围.【答案】【详解】若为真命题，当时，可得恒成立，满足题意；当时，则，解得，当为真命题，实数的取值范围是.若为真命题，则有，解得，当为真命题，实数的取值范围是.中有且仅有一个为真命题，当为真命题，为假命题时，实数的取值范围是;当为假命题，为真命题时，实数的取值范围是. 综上，当中有且仅有一个为真命题时，实数的取值范围是. 1．命题“，”的否定是（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】根据题意，命题“，”中含有存在量词，所以该命题的否定需要将存在量词改为全称量词，且只否结论，不否条件，所以命题的否定为：，，故选：A. 2．若命题“时，”是假命题，则的取值范围（       ）A．      B．       C．      D．【答案】B【详解】因为“，”是假命题，则其否定“，”为真命题，则而当时，取得最小值，所以，故选：B 3．（多选）下列命题中，不是真命题是（       ）A．若且，则，至少有一个大于1B．，C．的充要条件是D．，【答案】BCD【详解】对于A，若均小于等于1，则，可知A正确对于B，当时，，故B错误，对于C，当时，满足，但无意义，故C错误，对于D，由二次函数性质知D错误，故选：BCD4．（多选）下列存在量词命题中，为真命题的是（       ）A．有些自然数是偶数 B．至少有一个x∈，使x能同时被2和3整除C．，|x|<0 D．，x2-2x+3=0【答案】AB【详解】对于A，2，4都是自然数，也都是偶数，A正确；对于B，6是整数，6能同时被2和3整除，B正确；对于C，因是真命题，则，|x|<0是假命题，C不正确；对于D，因，成立，则，是假命题，D不正确.故选：AB5．（多选）若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（        ）A．0 B．1 C． D．【答案】ABC【详解】由题意，不等式恒成立，所以，．故选：ABC．6．若命题：“，”，则命题的否定为____________．【答案】，【详解】由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题p：“∃m∈N，∈N”，则命题p的否定为：∀m∈N，∉N．故答案为：∀m∈N，∉N．7．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______【答案】【详解】因为命题“，”是真命题，所以不等式在上恒成立.由函数的图象是一条开口向上的抛物线可知，判别式即，所以实数的取值范围是.故答案为：.8．若命题“，成立.”是真命题，则实数a的取值范围是________【答案】【详解】令，则在上有解，开口向上且对称轴为，，所以或，解得.故答案为：9．若命题“，使成立”是假命题，则实数的取值范围为______.【答案】【详解】由题可知“，”为真命题，当时，，，当时，则，所以，综上可得.故答案为：.故答案为：10．命题，，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为___________.【答案】【详解】，要使得，则，解得.若命题p为真命题，则实数a的取值范围为.故答案为：.11．写出下列命题p的否定，并判断其真假.(1)p：，.(2)p：不论m取何实数，方程必有实数根.(3)p：有的三角形的三条边相等.(4)p：等腰梯形的对角线垂直．【答案】(1)：，；假命题．(2)：存在一个实数，方程没有实数根；假命题．(3)：所有的三角形的三条边不都相等；假命题．(4)：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直；真命题．【详解】(1)：，；所以：，；显然当时，即为假命题．(2)：不论取何实数值，方程必有实数根；所以：存在一个实数，方程没有实数根；若方程没有实数根，则判别式，此时不等式无解，即为假命题．(3)：有的三角形的三条边相等；：所有的三角形的三条边不都相等，为假命题．正三角形的三条边相等，则命题是真命题，所以是假命题．(4)：等腰梯形的对角线垂直；则是假命题，所以：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直，是假命题，是真命题． 12．已知，.，.(1)若为真命题，求的取值范围；(2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】(1)由，，若为真命题，则，解得或，所以的取值范围为；(2)若为真命题时，则对恒成立，所以，若，一个是真命题，一个是假命题，当是真命题，是假命题时，则或，解得，当是假命题，是真命题时，则，解得，综上所述.