【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第15讲《特殊三角形 单元综合检测（重点）》预习讲学案

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第15讲 特殊三角形 单元综合检测（重点）
一、单选题
1．以下四个图形中，轴对称图形的个数是(     )

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
据轴对称图形的概念：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，根据定义逐一判断即可．
解：第一个图形是轴对称图形，
第二个图形不是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形不是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列命题的逆命题为假命题的是（       ）
A．直角三角形的两个锐角互余 B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．全等三角形的面积相等 D．到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
【答案】C
【解析】
【分析】
先写出各选项的逆命题，然后判断真假．
解：选项A的逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”，该命题为真命题，不符合题意；
选项B的逆命题为“等腰三角形是两边相等的三角形”，该命题为真命题，不符合题意；
选项C的逆命题为“面积相等的两个三角形全等”，该命题为假命题，符合题意；
选项D的逆命题为“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，该命题为真命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题的的真假，掌握三角形与角的相关性质是解题的关键．
3．如图，在中，，BD平分交AC于点D．若，则的大小为（       ）


A．66° B．70° C．72° D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等边对等角，可得∠ABD=∠A，根据角平分线的性质，∠ABD=∠CBD=，根据三角形内角和为180°列等式，将其它角都代换成计算即可．
∵BD=AD
∴∠ABD=∠A
∵BD平分
∴∠ABD=∠CBD=，
∴∠A=
∵，
∴
∴
故选 C．
【点睛】
本题考查三角形，掌握角平分线、等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题关键．
4．下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中正确的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故本选项错误，
②等腰三角形两腰上的高相等，正确；
③等腰三角形的最小边不一定是底边，故本选项错误；
④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确；
⑤等腰三角形不一定是锐角三角形，故本选项错误；
其中正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．如图，在中，，，是的角平分线．若，则的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再证明即可．
解：在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识．熟练掌握这些性质和定义是解题的关键．
6．如图，中，DE是线段AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，，，则（       ）


A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．
∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC， AC于点D和E，
∴AD= CD，
∴∠C=∠DAC，
∵∠C= 40°，
∴∠DAC= 40°，
在△ABC中，∠B= 55°，∠C= 40°，
∴∠BAC= 180°-∠B-∠C= 85° ，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC= 85°- 40°=45°
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AD = CD是解此题的关键．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（       ）

A．40° B．50° C．70° D．71°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用三角形内角和算出，再证明得到；再证明，得到，即可算出

根据题意：
在中

在和中

∴
∴
在和中

∴
∴
在中
∴
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用．
8．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：

①和都是等腰三角形；
②；
③的周长等于与的和；
④．
其中正确的有（       ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线与平行线易得∠DBF=∠DFB，从而可得BD=DF，同理可得EF=CE，由此可判断①②③正确，无法判断BF与CF的大小关系．
①∵DE∥BC
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线
∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF
∴，都是等腰三角形
∴①正确；
②∵，都是等腰三角形
∴DF=DB，FE=EC
∴
∴②正确；
③的周长
∴③正确；
④∵不是等腰三角形
∴∠ABC≠∠ACB
∴∠FBC≠∠FCB
∴BF=CF是错误的，
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．
9．如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案．
解：∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵在等腰直角三角形中
∴
∴
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键．
10．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有（       ）
①≌；②；③；④

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】
【分析】
由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出正确；由证出≌，正确；证出是直角三角形，由勾股定理得出正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出不正确；即可得出答案．
解：和都是等腰直角三角形，
，，，，，
，
，故正确；
，
，
在和中，，
≌，故正确；
，，
，
是直角三角形，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，故正确；
在上截取，连接，如图所示：
在和中，，
≌，
，
当时，是等边三角形，
则，此时，故不正确；
故选：．
【点睛】
本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
11．等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是________．
【答案】19cm或23cm
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当cm为腰时，，符合题意；当9cm为腰时，，符合题意，从而可得答案.
解：等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，
当5cm为腰时，而 合题意，（cm），
当9cm为腰时，而，符合题意，（cm），
故答案为：23cm或19cm．
【点睛】
本题考查的是三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义，掌握“等腰三角形的定义及清晰的分类讨论”是解本题的关键．
12．小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所示的电子钟的实际时刻是__________．

【答案】21：05
【解析】
【分析】
由轴对称图形的性质进行分析即可得到正确答案．
解：由轴对称图形的性质可知，电子钟的实际时刻的数字图与镜子中的数字图成轴对称图形，所以实际时刻是：
故答案为：
【点睛】
本题考查轴对称图形的性质，牢记相关的知识点是解题的关键．
13．把命题“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．”改写成“如果…，那么…”的形式是_____；它的逆命题是：_____．
【答案】     如果一个三角形是直角三角形，那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方     如果一个三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【解析】
【分析】
首先区分命题的题设和结论，然后把题设部分改写到“如果”后面，结论部分改写到“那么”后面；再把这个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
解：把命题“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
它的逆命题是：如果一个三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果一个三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

【点睛】
任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意；写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换在写逆命题时要用词准确,语句通顺．
14．如图，已知，的平分线CD交AB于D，，且，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为______cm．

【答案】12
【解析】
【分析】
由角平分线可知，由平行可知，则，由等角对等边可知，然后根据计算求解即可．
解：∵的平分线CD交AB于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是AC中点，
∴，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，中点等知识．解题的关键在于求出．
15．如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为_____．

【答案】130度##130°
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得出∠FAE的度数，再根据三角形外角的性质得出∠AFB的度数即可．
解：∵△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，
∴∠EAF＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵∠AEB＝100°，
∴∠AFB＝∠AEB＋∠EAF＝30°＋100°＝130°，
故答案为：130°．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
16．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．

【答案】3.5
【解析】
【分析】
过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．
解：过C点作CF⊥AB于F，如图，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CF=CE，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF=AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D，
在△CBF和△CDE中，
，
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∵AF=AE，
∴AB+BF=AD-DE，
即11+DE=18-DE，
∴DE=3.5cm．
故答案为：3.5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
17．如图，已知，，，则________．

【答案】40°##40度
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得到∠BAA´=∠ABC=70°，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可．
解：∵AA´∥BC，
∴∠BAA´=∠ABC=70°，
∵，
∴BA=BA´，∠A´BC´=∠ABC=70°，
∴∠BAA´=∠BA´A=70°，
∴∠A´BA=40°，
∴∠ABC´=30°，
∴∠CBC´=40°；
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
18．已知：在中，，，点，都在边上，且，过点作于点，连接，，若，则线段的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
分两种情况：①如图1，过作于，先根据三角形面积计算的长为4，可得的长，根据是等腰直角三角形，计算的长，从而得的长．
②如图2，同理可得的长，计算的长，根据是等腰直角三角形可得的长．
解：分两种情况：
如图1，，，

，，
过作于，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
如图2，过作于，过作于，

，
，
同理得：，，
中，，
是等腰直角三角形，
，
综上，的长是：或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，解答此题的关键是运用等腰直角三角形的判定，本题容易丢解，要注意时，、有两个位置．
三、解答题
19．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
【点睛】
此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CED=30°是正确解答本题的关键．
20．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD=DE．

(1)如果∠BAD = 20°，求∠B的度数，求∠C 的度数；
(2)如果△ABC的周长为13 cm，AC = 6 cm，求△ABE的周长；
【答案】(1)∠B＝70°，∠C＝35°；
(2)△ABE的周长为7cm；
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质求出AB=AE，根据等腰三角形的性质可求∠B＝∠AEB，再根据三角外角的性质求出∠C即可；
（2）通过线段的等量代换即可求解．
(1)
解：∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠BAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAE＝40°，
∴∠AEB＝∠B＝，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC=∠AEB=35°；
(2)
解：∵△ABC的周长为13cm，AC=6cm，
∴AB+BC=13-6=7(cm)，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE= AB+BE+EC=AB+BC=7(cm)．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力．
21．图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图．

(1)在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上；
(2)在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45，且点D在格点上；
(3)在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形面积公式求解，画图即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定和性质画图即可；
（3）根据轴对称图形的性质画图即可．
(1)
解：如图所示：△ABC的面积为3；
；
(2)
解：如图所示：∠ADB＝45；

∵AM=BN=3，BM=DN=2，∠AMB=∠BND=90°，
∴△AMB≌△BND(SAS)，
∴AB=BD，∠ABM=∠BDN，
∵∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°，
∴∠DBA=90°，则△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ADB＝45；
(3)
解：如图所示：锐角△ABE即为所作；
；
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE=CF，BD=CE．

(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A=60°时，求∠EDF的度数；
【答案】(1)见解析
(2)∠EDF=60°．
【解析】
【分析】
（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，推出△ABC是等边三角形，即可得到结论．
(1)
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
(2)
解：∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠EDF=60°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．在中，，，为延长线上一点，点在上，且．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)首先利用等边对等角得到AB=BC，再利用HL得到结论；
(2)利用得到，求出结果．
(1)
证明：∵，   
∴
∴   
∴   
∵，，
∴（）
(2)
∵，
∴
∵   
∴
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，掌握判定方法是解决问题的关键．
24．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米．


(1)求小溪流AC的长．
(2)求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）
【答案】(1)千米；
(2)平方千米
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理已知直角边求斜边计算；
（2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和．
(1)
解：（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，
∴（千米）；
(2)
∵（千米），（千米），（千米），
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，则∠D＝90°，
∴（平方千米）．


【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的概念和公式并灵活运用是解题关键 ．
25．如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．

(1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．
(2)假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据梯形的面积公式即可求解；
（2）如图所示，用图①的4个直角三角形，拼成正方形，根据正方形的面积的两种计算方式即可求解．
(1)
解：∵四边形ABCD是梯形，
∴梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，
即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
(2)
如图所示，可以证明a2+b2＝c2．

验证：大正方形的面积＝4×ab+（b﹣a）2
大正方形的面积＝c2，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．
26．
(1)问题发现：如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
(2)拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE；
求：①∠AEB的度数；
②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)60°
(2)①90°；②AE＝BE+2CM，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先判断出CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACD＝∠BCE，进而用SAS判断出△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法，即可得出结论；
②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）得出AD＝BE，再判断出DM＝CM，即可得出结论．
(1)
解：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△CD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°；
(2)
①同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；
②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM＝45°，
∴∠DCM＝∠CDM＝45°，
∴DM＝CM，
∴DM＝ME＝CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE时解本题的关键．