【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第21讲《圆心角》预习讲学案

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第21讲 圆心角


一、圆心角与弧的定义
1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.
2．1°的弧的定义
1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，

要点：
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
二、圆心角定理及推论
1.圆心角定理：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2.圆心角定理的推论：
　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.
要点：
　在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等


例1．下图中是圆心角的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断.
解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；
D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．
例2．“顶点在圆内的角叫做圆心角”是________的．（选填“正确”或“错误”）
【答案】错误
【解析】
【分析】
顶点在圆心的角是圆心角，根据圆心角的定义即可求解.
∵顶点在圆心的角是圆心角，
∴顶点在圆内的角叫做圆心角说法错误，
故答案为：错误.
【点睛】
本题主要考查圆心角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角的定义.
例3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_______．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
【答案】     相等     相等     相等     相等     相等     相等
【解析】
略
例4．若一条弦把圆周分成的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________．
【答案】
【解析】
【分析】
一条弦把圆周分成的两段弧，所以圆的中心角被分成了5份，每一份占，劣弧对应的圆心角占了2份，即．
解：∵一条弦把圆周分成的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了优弧与劣弧的概念，本题的关键找到隐藏条件，圆的中心角．
例5．已知中，，则弦和的大小关系是（       ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据弦和弧之间关系和三角形三边关系即可求证.
如图，取的中点，则，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ．

故选C.
【点睛】
本题主要考查弦和弧之间关系和三角形三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握弦和弧之间关系和三角形三边关系.
例6．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（       ）

A． B．
C． D．到、的距离相等
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，
∵，AO=DO=BO=CO
∴（SSS）
可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出，故A项结论错误．
故选：A
【点睛】
此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
例7．如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（       ）
A．这两条弦所对的圆心角相等
B．这两条弦所对的弧相等
C．若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等
D．这两条弦所对的弦心距相等
【答案】C
【解析】
【分析】
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论．
解：A、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
B、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
C、若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等，原说法正确，故本选项正确；
D、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，注意在同圆和等圆这个条件，不要盲目解答．
例8．下列说法错误的是（       ）
A．等弧所对的圆心角相等 B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C．长度相等的两段弧是等弧 D．半径相等的两个半圆是等弧
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆的相关性质，圆心角、弧、弦的关系判定即可．
解：A等弧所对的圆心角相等，故正确；
B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故正确；
C.等弧的概念是在只能完全重合的两段弧，错误；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查圆心角、弧、弦的关系，正确的理解题意是解题的关键．
例9．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（       ）

A．38° B．52° C．76° D．104°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
∵OM=ON，
∴∠M=∠N=52°，
∴∠MON=180°-2×52°=76°．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
例10．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____．

【答案】105°．
【解析】
【分析】
连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
解：连接OD、OE，

∵的度数为35°，
∴∠AOD=35°，
∵CD=CO，
∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，
∴∠ODC=∠E=35°，
∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
例11．如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（       ）

A．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件，得出点B是的中点，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AB=BC，又在△ABC中，根据三角形三边关系定理得出AB+BC＞AC.
解：连接BC
∵，
∴弧AB=弧BC，
∴AB=BC，
∵在△ABC中，AB+BC>AC，
∴AC<2AB.
故选C.

【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出AB=BC是解题的关键．
例12．如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若的度数是48°，那么的度数是______．

【答案】24°
【解析】
【分析】
连接，得到等腰，结合已知条件求解，从而可得答案．
解：如图，连接
的度数是48°，



的度数是
故答案是：

【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，掌握以上知识点是解题的关键．
例13．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系逐一分析即可．
①若，则，正确；
②若，则，故不正确；
③由不能得到，故不正确；
④若，则，故不正确；
故选A．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握三者之间的关系是解本题的关键．
例14．已知，如图，，下列结论不一定成立的是（       ）

A． B． C． D．都是等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意根据圆心角、弧、弦之间的关系，由∠AOB=∠COD，可得弦相等，弧相等以及三角形全等，以此进行分析判断即可．
解：
，．


成立，D不成立．
故选：D．
【点睛】
本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，注意掌握三组量中，只要有一组相等，其余的都对应相等．
例15．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
解：∵F为的中点，
∴，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴＝180°，
∴＝180°，
∴，故④正确，
故选：C．
【点评】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．

一、单选题
1．下列说法中，正确的是（       ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．
A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；
B中，等弧所对应的弦相等，故选B
C中，圆心角相等所对应的弦可能互补；
D中，弦相等，圆心角可能互补；
故选B
【点睛】
本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．
2．下列说法中，不正确的是（       ）
A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等
B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°
C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大
D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧
【答案】D
【解析】
【分析】
圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中发生的，因此在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，由此可知答案．
A. 在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等，此项说法正确，不符合题意；
B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°，此项说法正确，不符合题意；
C. 在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大，此项说法正确，不符合题意；
D.在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆的有关概念和性质是解题关键，要特别注意题干的要求．
3．若C、D为半圆AB上三等分点,那么CD:AB为(   )
A．2∶ B．1∶ C．2∶1 D．1∶2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆心角定理可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则△OCD为等边三角形，即CD等于半径.

∵C、D为半圆AB上三等分点,
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，
∴△OCD为等边三角形，
则CD=OC=AB.
故选D.
【点睛】
本题主要考查圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等.
4．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　）

A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF
【答案】D
【解析】
【分析】
在弧EF上取一点M，使，推出，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM＋EM＞FE即可．
如图，在弧EF上取一点M，使，

则，
所以AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
所以AB+CD＞EF，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键．
5．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦之间的关系解答即可.
①若，则，正确；
②若，则，故不正确；
③由不能得到弧AB=2弧CD，故不正确；
④若，则，错误.
故选A.
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形的性质.
6．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是   (   )

A．== B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF，再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断.
如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，

∵CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线,
∴DF=CE=AB，AD=OD，OF=BF，
∴DF=DF=BF，
则==.
故选A.
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质，等弧的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
7．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是(     )

A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DB
C．EC＝FD D．∠DFB＝75°
【答案】A
【解析】
试题分析：利用点C，D是的三等分点，得出AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，再求出∠OBA的度数，利用外角求出∠BFD的度数，通过证△AOE≌△BOF，得出OE=OF，则EC＝FD.连接AC，在△ACE中，求证AE=AC，则可证CD=AE=BF，再根据CD>EF得AE、EF、FB 关系.
解：∵点C，D是的三等分点，
∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，
∴选项B正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°，
故选项D正确.
∴∠AEO=∠BFO，
在△AOE和△BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO，
∴△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∴EC＝FD,故选项C正确.
在△AOC中，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=（180°-30°）=75°，
∴∠ACO=∠AEC，
∴AC=AE，同理BF=BD，
又∵AC=CD=BD，
∴CD=AE=BF，
∵在△OCD中，OE=OF，OC=OD，
∴EF ∴CD=AE=BF>EF，故A错误.
故选A．
8．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（     ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可．
∵C、D为半圆上三等分点，
∴，故①正确，
∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，
∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，
∵OA=OD=OC=OB，
∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，
∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，
∴正确的说法有：①②③④共4个，
故选A．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等和平角的概念求解．
9．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据邻补角的性质求出∠BOD，再根据点C为弧BAD的中点，求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数．
∵∠AOD＝100°，
∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°，
∵点C为弧BAD的中点
∴∠BOC=∠DOC=（360°-80°）=140°
∵OC=OB
∴∠ABC=∠BCO=（180°-140°）=20°
故选B．

【点睛】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆心角、弧的关系．
10．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（       ）

A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DB
C．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
欲求AC+CB和AD+DB的大小关系，需将这些线段构建到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系解题．
解：如图；
以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E，连接AE、CE；
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB；
∵∠DAC＝∠CBE，
∴∠DAC＝∠CEB；
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA；
∴AD＝DE；
∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD，
∴AC+BC＞BD+AD；
故选：C．

【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系，涉及三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题
11．120°的圆心角是360°的_______分之一，它所对的弧是相应圆周长的________分之一．
【答案】     三     三
【解析】
【分析】
根据题意可知由于圆周角为360°，则圆心角是120°的圆心角所对弧长是圆周长的120°÷360°=，所以所对的弧长是相应的圆的周长的，据此解答即可．
解：120°÷360°=，
它所对的弧是相应圆周长的，
答：120°的圆心角是360°的三分之一，它所对的弧是相应圆周长的三分之一．
故答案为：三；三．
【点睛】
本题考查圆的弧长和圆心角，注意掌握在同一个圆中，扇形的圆心角与360度的比等于弧长与圆的周长的比．
12．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD；
（2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______；
（3）如果=，那么____，_____，______．

【答案】     AB=CD，     ，     ，     =     ，     ，     ∠AOB=∠COD，     AB＝CD，     ∠AOB＝∠COD，     =
【解析】
【分析】
根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．
（1）∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，=，∠AOC=∠BOD；
（2）∵AB=CD，
∴=，∠AOB=∠COD；
（3）∵=，
∴AB=CD，∠AOB=∠COD，=．
故答案为AB=CD，，，=，，，∠AOB=∠COD，AB=CD，∠AOB=∠COD，=
【点睛】
此题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
13．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为__________．

【答案】60°
【解析】
【分析】
根据圆心角定理可得∠AOB=60°，即∠COD=60°，则的度数为60°.
∵为60°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=60°，
则的度数为60°.
故答案为60°.
【点睛】
本题主要考查圆心角定理：圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
14．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为_____度．

【答案】60
【解析】
【分析】
连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答．
连接OC、OD，

∵，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠P=60°，
故答案为60．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
15．如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则弧AC与弧CB弧长的大小关系是_________.

【答案】相等
【解析】
【分析】
根据直角三角形的判定定理HL，可得出△COD≌△COE，则∠COD=∠COE，再根据在同圆中，相等的圆心角所对的弧也相等得出结论．
∵CD⊥OA、CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90∘，
∵CD=CE，CO=CO，
∴△COD≌△C0E，
∴∠COD=∠COE，
∴=.
故答案为相等.
【点睛】
考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键.
16．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____．

【答案】105°．
【解析】
【分析】
连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
解：连接OD、OE，

∵的度数为35°，
∴∠AOD=35°，
∵CD=CO，
∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，
∴∠ODC=∠E=35°，
∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
17．已知，如图以AB为直径的⊙O，BC⊥AB，AC交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠DEB=25°，则∠C=_______．

【答案】65°
【解析】
试题分析：因为，所以∠DEB=∠DAB=25°，因为BC⊥AB，所以∠ABC=90°，所以∠C+∠DAB=90°，所以∠C=90°-∠DAB=90°-25°=65°．
考点：1．圆周角定理及其推论、2．直角三角形的性质．
18．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝_____．

【答案】2
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC=∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD=2CM，代入求出即可．
解：连接OC，

∵C为的中点，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，
∴OM＝ON＝n，
∴CM＝＝，
∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD＝2CM＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间关系、垂径定理，角平分线性质等知识点，关键是求出CM的长和得出CD=2CM．
19．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为_______．

【答案】150°
【解析】
【分析】
连接OB，先由平行四边形的性质得∠OAB＝∠C＝60°，再由等腰三角形的性质得∠OBA＝∠OAB＝60°，则∠AOB＝60°，然后证，即可得出∠AOD＝∠BOD＝150°．
解：连接OB，如图所示：

∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠OAB＝∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵DA＝DB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD＝（360°﹣60°）＝150°，
故答案为：150°．
【点睛】
此题考查了平行四边形以及圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及圆的有关性质．
20．如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为___________．

【答案】
【解析】
【分析】
依题意，作点关于的对称点为，连接，长即为最小值；过点作，构造和进行对应线段求解；
作点关于的对称点为，连接，；过点作；


由题知，，，∴，可得对应的圆心角；
又点关于的对称点为，
∴，，∴长为的最小值
在中，，∴，；
在中，，，∴；
故填：；
【点睛】
本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直角三角形构造进行计算；
三、解答题
21．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】
连接BD,根据AB＝CD得到＝，再根据公共弧得到＝，再得到∠D＝∠B，再利用等腰三角形的性质即可求解.
证明：连接BD．

∵AB＝CD
∴＝
∴－＝－，即＝
∴∠D＝∠B
∴BM＝DM
【点睛】
此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆的基本性质.
22．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．

求证：（1）AB＝CD；
（2）AE＝CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）欲证明AB=CD，只需证得＝；（2）连接AC，由＝得出∠ACB=∠CAD，再由等角对等边即可证的AE＝CE.
证明：（1）∵AD＝BC
∴＝
∴－＝－
即＝
∴AB＝CD
（2）连接AC

∵＝
∴∠ACB＝∠DAC
∴AE＝CE
【点睛】
本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.
23．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：
（1）OC＝OD：
（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）证明：连接OA，OB，证明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到结论；
（2）根据△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到结论．
（1）证明：连接OA，OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAC＝∠OBD．
在△OAC与△OBD中，
∵，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
∴OC＝OD．
（2）∵△OAC≌△OBD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴．
．
【点睛】
此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明△OAC≌△OBD是解题的关键．
24．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出即可；
（2）根据垂径定理，勾股定理求出ME，进而求出MB即可．
证明：（1）∵AB＝CD，
∴，
又∵点M是弧AC的中点，
∴，
∴，
即：，
∴MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，

在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，
∴ME＝＝＝，
∴MD＝MB＝2ME＝2．
【点睛】
本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是正确计算的前提．
25．如图，过的直径上两点，分别作弦，．

求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OC、OF，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，等量代换得到∠BFC=∠ACF．根据平行线的性质得到∠AMC=∠ANE．根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：（1）如图，连接．


，
．
．
（2）
，
．

．
又．
．
在和中，


．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26．如图，∠AOB按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧PQ，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交圆弧PQ于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．

(1)求证：OA垂直平分MD.
(2)若，求∠MON的度数.
(3)若，，求MN的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【解析】
【分析】
（1）由垂径定理直接证明即可得；
（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；
（3）由（2）可得：，得出，根据等边三角形得判定可得为等边三角形，即可得出结果．
(1)
证明：如图所示，连接MD，

由作图可知，，
∴，
∵OA是经过圆心的直线，
∴OA垂直平分MD；
(2)
解：如图所示，连接ON，


∵，
∴，
∴，
∴，
即；
(3)
解：由（2）可得：
，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
【点睛】
题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．
27．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．
（1）求证：AP＝AD；
（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接AM，AN．只要证明∠APD＝∠ADP即可．
（2）连AO，OM交AB于E，设PE＝x，利用勾股定理构建方程求解即可．
（1）证明：如图，连AM，AN，

∵，，
∴∠BAM＝∠ANM，∠AMN＝∠CAN，
∵∠APD＝∠AMN+∠BAM，∠ADP＝∠CAN+∠ANM，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AP＝AD．
（2 ）解：如图，连AO，OM交AB于E，
设PE＝x，
∵，
∴OM⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∵OE2＝OA2﹣AE2＝OP2﹣PE2
∴52﹣(x+3)2＝()2﹣x2，
∴x＝1，
∴AE＝4，OE＝3，ME＝2，
∴MP＝＝＝．
【点睛】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
28．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）连接，由为的中点，得，则，由等腰三角形的性质得，推出，即可得出结论；
（2）由垂径定理得，由平行线的性质得，则是等腰直角三角形，，易证是等腰直角三角形，得，再由，即可得出结果．
（1）证明：为的中点，
，
∴，
，
∴，
∴，
；
（2）解：为中点，
，
由（1）得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．
29．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．

（1）如图1，如果，求弦的长；
（2）如图2，如果E为弦的中点，求
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1) 连接OC，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出∠，通过解直角三角形求出，利用垂径定理求出；
(2) 连接BC，根据AB为直径，得到，再得到，证明，求得是的中位线，设，则根据，求出的值，由勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解．
如图 ，连接OC，



又，
即，

，




则；
如图2，连接，

为直径，
，
，



，
又
是的中位线，
设，
则

解得：，
则


【点睛】
本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理，还考查了全等三角形的判定和性质，中位线定理，熟悉并灵活运用以上性质定理是解题的关键．