备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价（四十七） 空间点、直线、平面的位置关系

课时验收评价（四十七） 空间点、直线、平面的位置关系

一、点全面广强基训练

1．下列四个命题：

①存在与两条异面直线都平行的平面；②过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；③过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；④过直线外一点可作无数个平面与该直线平行．其中正确命题的个数是(　 )

A．1　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选C　①将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故正确；②当点在两条异面直线中的一条上时，这个平面不存在，故不正确；③正确；④正确．故选C.

2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　 )

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.

3．已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是(　 )

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析：选B　在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

4.如图是正方体的平面展开图，则在原正方体中下列结论正确的是(　 )

A．BM与ED平行

B．CN与BE是异面直线

C．CN与BM成30°角

D．DM与BN是异面直线

解析：选D　由平面展开图可得原正方体如图所示，连接AN，AC，DM，BN，BE，由图可得，BM，ED为异面直线，CN与BE不是异面直线，DM，BN是异面直线，故A、B错误，D正确；易知△ANC为等边三角形，而BM∥AN，故∠ANC或其补角为CN与BM所成的角，因为∠ANC＝60°，故CN与BM所成的角为60°，故C错误．

5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，C1D1的中点，O为正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是(　 )

A．直线EF，OD1是异面直线且EF＝OD1

B．直线OD1，B1B是异面直线且OD1≠B1B

C．直线EF，OD1是相交直线且EF＝OD1

D．直线OD1，B1B是相交直线且OD1＝B1B

解析：选C　根据题意画出正方体如图所示，由图易知，OD1和B1B在矩形BB1D1D上，OD1和B1B是相交直线，且OD1≠B1B，故选项B、D错误；O为正方形ABCD的中心，E为AD的中点，所以OE∥CD，且OE＝CD，又点F为C1D1的中点，所以D1F∥CD，且D1F＝CD，所以OE∥D1F，且OE＝D1F，四边形OED1F是平行四边形，则EF和OD1是▱OED1F的两条对角线，所以EF和OD1是相交直线，又因为C1D1⊥ED1，所以▱OED1F是矩形，则EF＝OD1，故选项A错误，C正确．

6.(2022·邯郸三模)如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为(　 )

A．30°  B．45°

C．60°  D．90°

解析：选B　在直角梯形OO1A1A中，∵B为OA的中点，OA＝2，∴O1A1＝OB＝AB＝1，

连接A1B，易知四边形OO1A1B为矩形，∴OO1∥A1B，

∴∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角，

在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，∴A1B＝；

连接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2得BC＝；

在Rt△A1BC中，BC＝A1B，∴∠BA1C＝45°.

7．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

解析：如果这四点在同一平面内，那么确定1个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定1个平面，所以可确定4个．

答案：1或4

8.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．

解析：如图，将原图补成正方体ABCD-QGHP，

连接AG，GP，则GP∥BD，

所以∠APG或其补角为异面直线AP与BD所成的角．

在△AGP中，AG＝GP＝AP，

所以∠APG＝.

答案：

9.如图，在四面体ABCD中，E，H，F，G分别是边AB，AD，BC，CD的中点．求证：

(1)BC与AD是异面直线；

(2)EG与FH相交．

证明：(1)假设BC与AD共面于α，则BC⊂α，AD⊂α，

∴B∈α，C∈α，A∈α，D∈α，

∴A，B，C，D四点共面，

与ABCD是四面体矛盾，

∴假设不成立，

∴BC与AD是异面直线．

(2)∵E，H，F，G分别是边AB，AD，BC，CD的中点，

∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，

∴EH∥FG且EH＝FG，

∴四边形EHGF是平行四边形，即E，H，F，G四点共面，

又EG，FH不平行，

∴EG与FH相交．

二、重点难点培优训练

1.如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是(　 )

A．相交  B．平行

C．异面  D．不确定

解析：选C　取AB的中点G，连接GQ，GF，EQ，则GQ∥AD，

又AD∥EF，

∴GQ∥EF，则G，Q，E，F确定平面GQEF，

又FQ⊂平面GQEF，P∈平面GQEF，P∉FQ，B∉平面GQEF，

∴直线FQ与PB是异面直线．故选C.

2.如图，矩形ABCD中，AB＝，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD⊥平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为(　 )

A．－  B. 

C.  D．－

解析：选C　取AF的中点G，连接AC交BD于O点，

连接OG，如图所示，

则OG∥CF，且OG＝CF，异面直线BD与FC所成角即直线BD与OG所成角，

由平面ABCD⊥平面ADEF知，

AF⊥平面ABCD，

由题易知AC＝BD＝2，CF＝＝，

则OG＝CF＝，OB＝BD＝1，

BG＝＝，

则在△OBG中，由余弦定理知，

cos∠BOG＝

＝＝－，

由两异面直线夹角的取值范围为，

则异面直线BD与FC所成角的余弦值为.

3．(2023·四川树德中学高三开学考试)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且＝λ，λ∈[0,1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题：

①CN与QM共面；

②三棱锥A-DMN的体积跟λ的取值无关；

③当λ＝时，AM⊥QM；

④当λ＝时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为.

其中正确的有________(填写序号)．

解析：如图，在△ACQ中，∵M，N为AC，AQ的中点，

∴MN∥CQ，∴CN与QM共面，①正确；

VA-DMN＝VN-ADM，点N到平面ABCD的距离为定值，

且△ADM的面积为定值，

∴三棱锥A-DMN的体积跟λ的取值无关，②正确；

当λ＝时，可得AM 2＝，

AQ 2＝1＋＝，

QM 2＝＋＝，

则AM 2＋AQ 2>QM 2，

所以AM⊥QM不成立，③错误；

当λ＝时，过A，Q，M三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，

所以平面截正方体所得截面的周长l＝＋＋2＝，④正确．

答案：①②④

4．如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，B1C1，A1C1的中点E，F，G，H.

(1)判断直线FG与直线A1H的位置关系；

(2)有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由．

(3)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面△ABC全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高．

解：(1)因为水面恰好过AC，BC，B1C1，A1C1的中点E，F，G，H，所以HG∥A1B1，EF∥AB，HG＝A1B1，EF＝AB，

又A1B1∥AB，且A1B1＝AB，

因此HG∥EF，且HG＝EF，所以四边形EFGH是平行四边形，

故FG∥EH，而A1H∩EH＝H，所以直线FG与直线A1H不可能平行，

而平面EFGH∩平面A1B1C1＝HG，所以直线FG与直线A1H不可能是相交直线，

所以直线FG与直线A1H是异面直线．

(2)因为棱台各侧棱交于一点，易知AE∥A1H无交点，所以该几何体不是棱台；

(3)设此三棱锥的高为h，底面面积为S，

容器中水的形状为棱柱，体积为×8＝6S，

所以有Sh＝6S，解得h＝18，即三棱锥的高为18.