2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第39讲空间点直线平面之间的位置关系（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第39讲空间点直线平面之间的位置关系（教师版），共12页。试卷主要包含了四个公理，空间直线的位置关系等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
(3)定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
(2)空间中两个平面的位置关系
题型归纳
题型1 平面的基本性质及应用
【例1-1】如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．
（1）求证：、、、四点共面；
（2）设与交于点，求证：、、三点共线．
【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明、、、四点共面．
（2）由，，，从而平面，平面，推导出直线．由此能证明、、三点共线．
【解答】证明：（1）中，、为、中点，．
中，，
，（平行线公理），
、、、四点共面．
（2），，，
平面，平面，
又平面平面，
直线．
、、三点共线．
【跟踪训练1-1】如图，在正四棱柱中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则
A．、、、四点共面，且
B．、、、四点共面，且
C．、、、四点不共面，且
D．、、、四点不共面，且
【分析】根据，确定平面即可判断四点共面，利用勾股定理计算、得出和是否相等．
【解答】解：连接，，
是正方形的中心，直线，
又平面，平面，
又直线，平面，
又平面，平面，
、、、四点共面．
取的中点，连接，，则，，
，
取的中点，连接，，则，，
．
．
故选：．
【跟踪训练1-2】如图所示，正方体中，与截面交于点，，交于点，求证：，，三点共线．
【分析】欲证，，三点共线，只须证它们都在平面与平面的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明，，三点是平面与平面的公共点即可．
【解答】证明：如图，因为平面，且平面，
是平面与平面的公共点，又因为，所以平面，
，平面，也是平面与平面的公共点，
是平面与平面交线，
是与平面的交点，平面，平面，
也是平面与平面的公共点，
直线，即，，三点共线．
【名师指导】
1．证明点或线共面问题的2种方法
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的2种方法
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
题型2 空间两直线位置关系的判定
【例2-1】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，分别为棱，的中点，则
A．，且直线，是共面直线
B．，且直线，是异面直线
C．，且直线，是异面直线
D．，且直线，是共面直线
【分析】可连接，根据条件即可说明四边形是平行四边形，从而得出，且直线，是共面直线．
【解答】解：如图，连接，
，分别为棱，的中点，，，，
，，
，且，
四边形是平行四边形，
，且，
，是共面直线．
故选：．
【跟踪训练2-1】正方体，下列命题中正确的是
A．与相交直线且垂直B．与是异面直线且垂直
C．与是相交直线且垂直D．与是异面直线且垂直
【分析】分别求出与、与、与所成角判断、、错误；证明与垂直判断正确．
【解答】解：如图，
连接，可得△为正三角形，可得与是相交直线且成角，故错误；
，与是异面直线且成角，故错误；
与是相交直线，所成角为，其正切值为，故错误；
连接，可知，则，可知与是异面直线且垂直，故正确．
故选：．
【跟踪训练2-2】如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有 条．
【分析】由异面直线的定义可以直接得到结果．
【解答】解：正方体的共有12条棱中，
成异面直线的有：
，，，，，，共6条．
故答案为：6．
【跟踪训练2-3】在图中，、、、分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有 ．（填上所有正确答案的序号）
【分析】图（1）中，直线，图（2）中面，图（3）中，图（4）中，面．
【解答】解析：如题干图（1）中，直线；
图（2）中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；
图（3）中，连接，，因此，与共面；
图（4）中，、、共面，但面，与异面．
所以图（2）、（4）中与异面．
故答案为：（2）、（4）
【名师指导】
异面直线的判定方法
题型3 求异面直线所成的角
【例3-1】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．B．C．D．
【分析】连结，，由，得到是异面直线与所成角（或所成角的补角），再求出异面直线与所成角的正切值．
【解答】解：在正方体，中，为棱的中点，
连结，，，
是异面直线与所成角（或所成角的补角），
设正方体的棱长为2，
则，，
．
则异面直线与所成角的正切值为．
故选：．
【例3-2】在空间四边形中，已知，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的大小为
A．B．C．D．
【分析】取中点，连结、、，则，，从而是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线与所成角．
【解答】解：取中点，连结、、，
，，，分别是，的中点，，
，，
是异面直线与所成角（或所成角的补角），
，，
，
，
异面直线与所成角为：．
故选：．
【跟踪训练3-1】如图所示，三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【分析】取中点，连接，，可得，则异面直线与所成角为，设三棱柱各棱长为2，求解三角形得答案．
【解答】解：取中点，连接，，
，分别为棱，的中点，
，．
且，则四边形为平行四边形，则．
异面直线与所成角为，连接．
设三棱柱各棱长为2，则，．
在三角形中，由余弦定理可得，
即异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
【跟踪训练3-2】在四棱锥中，平面，，四边形是边长为2的正方形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是
A．B．C．D．
【分析】取的中点，连接，．推导出，得到为异面直线与的所成角（或补角），由此能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：如图，取的中点，连接，．
是的中点，所以，
则为异面直线与的所成角（或补角）．
由题意可得，，．
在中，由余弦定理可得．
异面直线与所成角的余弦值是．
故选：．
【跟踪训练3-3】已知三棱锥，底面，，底面是等腰直角三角形，，是的中点．求
（1）三棱锥的体积；
（2）异面直线与所成角的大小．
【分析】（1）推导出是平面的高，由此能求出三棱锥的体积．
（2）取的中点，连接，．推导出，连接，则与成角即为与成角．由此能求出异面直线与成角．
【解答】解：（1）平面，是平面的高．
，
又为等腰直角三角形，，
，
又，．
（2）取的中点，连接，．
、是中点，是中位线，
，连接，
与成角即为与成角．
在中，，，，
，异面直线与成角．
【名师指导】
用平移法求异面直线所成的角的三步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
a⊂α
有无数个公共点
直线在平面外
直线a与平面α平行
a∥α
没有公共点
直线a与平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一个公共点
直线a与平面α垂直
a⊥α
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
没有
公共点两平面相交
斜交
α∩β＝l
有一条公共直线
垂直
α⊥β且
α∩β＝a