2024年新高考数学一轮复习达标检测第38讲空间点直线平面之间的位置关系（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习达标检测第38讲空间点直线平面之间的位置关系（教师版），共20页。

A．三角形确定一个平面
B．四边形确定一个平面
C．一个点和一条直线确定一个平面
D．两条直线确定一个平面
【分析】直接利用平面的性质的应用求出结果．
【解答】解：对于选项：三角形的三角不共线，所以不共线的三点确定的平面有且只有一个，故正确．
对于选项：四边形假设为空间四边形，确定的平面可能有四个，故错误．
对于选项：只有当点不在直线上时，才能确定一个平面，故错误．
对于选项：两条直线平行或相交时，确定的平面有且只有一个，故错误．
故选：．
2．一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，则下列关于截面的说法正确的是
A．满足条件的截面不存在B．截面是一个梯形
C．截面是一个菱形D．截面是一个三角形
【分析】取中点，中点，中点，连结、、、，推导出截面是菱形．
【解答】解：取中点，中点，中点，
连结、、、，
点是棱的中点，，，，，
，，，，
过点将木块锯开，使截面平行于棱和，
，，，，
，，四边形是平行四边形，
，，截面是菱形．
故选：．
3．下列命题是公理的是
A．平行于同一个平面的两个平面互相平行
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
D．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
【分析】由所学知识可知，为定理，为公理，再判断错误得答案．
【解答】解：，为定理，不是公理；
对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、也可能相交、也可能异面，故错误；
是教材中给出的公理．
故选：．
4．如图，点、、、分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的图是
A．B．
C．D．
【分析】利用正方体的性质、异面直线的定义即可判断出结论．
【解答】解：中，，中，，中，与为异面直线，．与相交．
故选：．
5．在正四棱柱中，，，点，分别为棱，上两点，且，，则
A．，且直线，异面B．，且直线，相交
C．，且直线，异面D．，且直线，相交
【分析】作图，通过计算可知，取点为的中点，则共面，显然点不在面内，由此直线，异面．
【解答】解：，
如图，取点为的中点，则，
故共面，点在面面外，
故直线，异面．
故选：．
6．在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【分析】连结，，由长方体的性质得，从而是异面直线和所成角（或补角），由此能求出异面直线和所成角的余弦值．
【解答】解：如图，连结，，
由长方体的性质得，
是异面直线和所成角（或补角），
由已知得，，
，
．
异面直线和所成角的余弦值为．
故选：．
7．在正三棱柱中，为侧面的中心，为侧面的中心，为的中点，则直线与直线所成的角为
A．B．C．D．
【分析】由题意画出图形，可得，再由，得到，则答案可求．
【解答】解：如图，
为侧面的中心，为侧面的中心，，
为的中点，连接，则．
，即直线与直线所成的角为．
故选：．
8．在三棱锥中，，，，分别是，，，的中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积为
A．B．C．D．
【分析】由题意画出图形，可得四边形为菱形，再由已知异面直线所成角求得，代入三角形面积公式计算．
【解答】解：如图，
，，，分别是，，，的中点，
，，
四边形为平行四边形，
又与所成的角为，（或．
，，则四边形为菱形．
．
故选：．
9．如图，在三棱柱中，平面，四边形为正方形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【分析】过点作，交于点，则为异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：如图，过点作，交于点，
则为异面直线与所成角（或所成角的补角），
在三棱柱中，平面，
四边形为正方形，，，为的中点，
由题意知，，，
异面直线与所成角的余弦值为：
．
故选：．
10．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点，则与所成的角为
A．B．C．D．
【分析】推导出，，从而是与所成的角（或所成角的补角），由此能求出与所成的角．
【解答】解：在正四面体中，
，，，分别是，，，的中点，
，，
是与所成的角（或所成角的补角），
是等边三角形，，
与所成的角为．
故选：．
11．（多选）如图，在边长为4的正三角形中，，，分别为各边的中点，，分别为，的中点，将沿，，折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是
A．与所成的角的正弦值为
B．与成角
C．与所成的角为
D．与所成角余弦值为
【分析】对于，推导出，，连结，取中点，则，异面直线与所成角为，求出与所成的角的正弦值为；对于，推导出平面，从而；对于，连结，，则，从而异面直线与所成的角为，由余弦定理求出与所成的角为；对于，异面直线与所成角为，由余弦定理能求出结果．
【解答】解：对于，的边长为4，折成正四面体后，如图，
，，分别为各边的中点，，分别为，的中点，
，，
连结，取中点，则，
异面直线与所成角为，
，，连结，得，，
，
与所成的角的正弦值为：，故错误；
对于，正四面体中，取中点，连结，，
则，，平面，
，与成角，故正确；
对于，连结，，则，
异面直线与所成的角为，
，，
，，
与所成的角为，故正确；
对于，异面直线与所成角为，
，故正确．
故选：．
12．（多选）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点，异面直与所成角的余弦值为，则
A．B．直线与直线共面
C．D．直线与直线异面
【分析】可连接，，从而看出为异面直线与所成的角，可设，从而可得出，这样在中，根据余弦定理即可求出异面直与所成角的余弦值的值；然后连接，，从而可得出，这样即可得出直线与直线共面．
【解答】解：如图，连接，，则，
为异面直线与所成的角，
，为正四棱柱，，分别为，的中点，设，则，，
在中，根据余弦定理，，
；
连接，，，则，，
，
与共面．
故选：．
13．作一个平面截正方体得到一个多边形（包括三角形）截面，那么截面形状可能是 （填上所有你认为正确的选项的序号）．
①正三角形；②正方形；③菱形；④非正方形的矩形；⑤正五边形；⑥正六边形．
【分析】作出可能的截面图形，能求出结果．
【解答】解：如图，作一个平面截正方体得到一个多边形（包括三角形）截面，
对于①，截面形状可能是正三角形，故①正确；
对于②，截面形状可能是正方形，其中、、、分别是所在棱的中点，故②正确；
对于③，截面形状可能是菱形，其中、、、分别是所在棱的中点，故③正确；
对于④，截面形状可能是，故④正确；
对于⑤，由正方体的对称性得截面形状不可能是正五边形，故⑤错误；
对于⑥，截面形状可能是正六边形，其中、、、、、分别是所在棱的中点，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑥．
14．在正方体的各条棱中，棱所在直线与直线异面的有 条
【分析】根据题意画出图形，结合图形写出棱所在直线与直线是异面直线的条数．
【解答】解：如图所示，正方体中，
棱所在直线、、和与直线是异面直线，共有4条．
故答案为：4．
15．四面体中，，，则异面直线与的夹角为 .
【分析】取中点，连接，，由已知可得，，再由线面垂直的判定可得平面，从而得到异面直线与的夹角为．
【解答】解：如图，
取中点，连接，，
，，
，，
又，平面，则．
即异面直线与的夹角为．
故答案为：．
16．如图，是正方体，，，，，，分别是所在棱的中点，则下列结论错误的有 ．
①和是平行直线；和是相交直线
②和是平行直线；和是相交直线
③和是相交直线；和是异面直线
④和是异面直线；和也是异面直线
【分析】根据空间中两条直线的位置关系，对题目中的命题进行分析、判断即可．
【解答】解：对于①，和是平行直线，但和是异面直线，不是相交直线，①错误；
对于②，和是平行直线；和是相交直线，并且它们的交点在直线上，②正确；
对于③，和是平行直线，不是相交直线；和是异面直线，③错误；
对于④，和是异面直线；但和是相交直线，不是异面直线，④错误；
综上，错误的命题序号是①③④．
故答案为：①③④．
17．已知：平面，，，，，，，，，，直线与的夹角是，则线段的长为 ．
【分析】推导出，从而，由此能求出线段的长．
【解答】解：平面，，，，，，，，，，
，
，
直线与的夹角是，或，
当时，线段的长为：，
当时，线段的长为：．
故答案为：或5．
18．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且是边长为1的正三角形，，、分别为、的中点，则异面直线与所成的角为 ．
【分析】由题意画出图形，由，可得即为异面直线与所成角，再由已知求解三角形得答案．
【解答】解：如图，
在直三棱柱中，，
即为异面直线与所成角．
底面，，
，，且、分别为、的中点，
，，
在中，由，，
得．
，即异面直线与所成的角为．
故答案为：．
19．如图，在三棱锥中，平面，，．若三棱锥外接球的半径为，则直线与平面所成角的正切值为 ．
【分析】设为的外心，为三棱锥的外接球的球心，推导出，取的中点，由，推导出，外接圆的半径，由此能求出直线与平面所成角的正切值．
【解答】解：如图，设为的外心，为三棱锥的外接球的球心，
由平面，平面，知，
取的中点，由，知为的中点，且四边形为矩形，
又，，外接圆的半径，
在中，由，得，
，
直线与平面所成角的正切值为．
故答案为：．
20．在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别边，上的点，且．求证：
①点，，，四点共面；
②直线，，相交于一点．
【分析】①利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，
得到、都平行于，由平行线的传递性得到，
根据两平行线确定一平面得出证明；
②利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明．
【解答】证明：①如图所示，
空间四边形中，，分别是，的中点，
；
又．
，
，
、、、四点共面；
②设与交于点，
平面
在平面内，
同理在平面内，且平面平面，
点在直线上，
直线，，相交于一点．
21．已知正四棱锥的全面积为2，记正四棱锥的高为．
（1）试用表示底面边长，并求正四棱锥体积的最大值；
（2）当取最大值时，求异面直线和所成角的正切值．
【分析】（1）设正四棱锥的底面边长为，侧面三角形的高为，由题意可得关于的关系式，写出四棱锥体积，整理后利用基本不等式求最值；
（2）取的中点，正方形的中心为，连接，，，由，得即为异面直线与所成角，结合（1）中求得的值，即可求得异面直线和所成角的正切值．
【解答】解：（1）设正四棱锥的底面边长为，侧面三角形的概为，则，
，又，．
正四棱锥体积．
（当且仅当，即时取等号）．
，即正四棱锥体积的最大值为（当，时取最大值）；
（2）取的中点，正方形的中心为，连接，，．
，即为异面直线与所成角．
为的中点，，．
即，由（1）知，．
又，．
即异面直线和所成角的正切值为3．
22．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2．
（Ⅰ）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（Ⅱ）设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的正切值．
【分析】（1）由已知取得圆锥的高，再由圆锥体积公式求解；
（2）证明平面，取中点，连接，则，且．可得为异面直线与所成的角，再证明，然后求解三角形可得异面直线与所成的角的正切值．
【解答】解：（1）由圆锥母线长为4，即，底面半径，
可得圆锥的高．
该圆锥的体积；
（2）底面，，
又，即，，
平面，
取中点，连接，则，且．
为异面直线与所成的角．
由平面，，可得平面，得．
在中，求得，
在中，可得．
23．如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
【分析】（1）法一：取的中点，推导出，在平面中，延长与必交于右侧一点，且，同理，在平面中，延长与必交于右侧一点，且，由与重合，得到直线与相交．
法二：推导出是平行四边形，从而，再由，得，，由此能推导出直线与相交．
（2）推导出是平行四边形，，，从而，与所成的角即为与所成的角，再由△为等边三角形，能求出由直线与所成的角的大小．
【解答】解：（1）解法一：取的中点，
、、分别是正方形中、、的中点，，
在平面中，延长与必交于右侧一点，且
同理，在平面中，延长与必交于右侧一点，且，
与重合
进而，直线与相交．
解法二：在正方体中，、分别是、的中点，
，是平行四边形，，
又、分别是、的中点，
，，，
、是梯形的两腰，
直线与相交．
（2）解：在正方体中，，
是平行四边形，，
又、分别是、的中点，，，
与所成的角即为与所成的角，
与所成的角即为及其补角中的较小角，
又在正方体中，△为等边三角形
，由直线与所成的角为．
[B组]—强基必备
1．我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱）．如图，棱柱为一个“堑堵”，底面的三边中的最长边与最短边分别为，，且，，点在棱上，且，则当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为 ．
【分析】设直三棱柱的高为，，先根据，利用勾股定理，可得①；过作于点，再过点作为于点，则，即为的边上的高，结合三角函数的知识和三角形的面积公式可得②，把①代入②式消去整理后得，利用基本不等式推出当的面积取最小值时，；最后结合平移的思想，可知即为所求．
【解答】解：设直三棱柱的高为，，则，
为直角三角形，且，，，
由勾股定理知，，，
，，即，整理得，即．
过作于点，再过点作为于点，则，即为的边上的高，
在中，，，
，
，
把代入上式，化简得，
当且仅当，即，时，等号成立，此时的面积取得最小值，．
，即为异面直线与所成的角，
，
，即异面直线与所成的角的余弦值为．
故答案为：．