备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(三十一)　平面向量基本定理及坐标表示

课时验收评价(三十一)　平面向量基本定理及坐标表示

一、点全面广强基训练

1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|＝(　 )

A．2  B．3  C．4  D．5

解析：选D　由题意知a－b＝(2,1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故选D.

2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　 )

A．(－23，－12)  B．(23,12)

C．(7,0)  D．(－7,0)

解析：选A　由题意，得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．

3.如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(　 )

A.b－a 

B.a－b

C.a－b 

D.b－a

解析：选D　＝＋＝＋＝(－)－＝－＝b－a.故选D.

4．若a＝(2,1)，b＝(－1,1)，(2a＋b)∥(a＋mb)，则m的值为(　 )

A.  B．2

C．－2  D．－

解析：选A　由题意，向量a＝(2,1)，b＝(－1,1)，

可得2a＋b＝(3,3)，a＋mb＝(2－m,1＋m)，

因为(2a＋b)∥(a＋mb)，可得3×(1＋m)＝3×(2－m)，解得m＝.

5．已知在△ABC中， ＝－3，＝λ，＝μ＋，则μ＝(　 )

A.  B． 

C.  D．1

解析：选A　因为＝－3，所以＝，

因为＝μ＋，所以＝＋，

又＝λ，所以＝＋，所以＝，解得μ＝.

6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n＝________.

解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，

∴∴

∴m－n＝2－5＝－3.

答案：－3

7．(2023·南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，则m－n＝________.

解析：∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，

∴由|a|＝2，得m2＋n2＝20，　①

由a＝λb(λ<0)，得　②

由①②，解得m＝－2，n＝4.

∴m－n＝－6.

答案：－6

8．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．

解析：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，

所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，

v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．

又因为u∥v，

所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，

即10x＝5，解得x＝.

答案：

9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．

解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，解得k＝－.

(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴∥.∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．

(1)若＋＋＝0，求||；

(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n.

解：(1)∵＋＋＝0，＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，

∴解得x＝2，y＝2，

即＝(2,2)，故||＝2.

(2)∵＝m＋n，＝(1,2)，＝(2,1)．

∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，

即两式相减，得m－n＝y－x.

二、重点难点培优训练

1．(2023·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝(　 )

A．－3  B．3

C．1  D．－1

解析：选D　设＝(x，y)，则由∥a知x＋y＝0，所以＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.

2．(2023·揭阳联考)在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||＋||＝1，设＝x＋y，则2x＋3y的最小值为(　 )

A．48  B．49

C．50  D．51

解析：选B　如图，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)．设M(m,0)，N(0，n)，因为2||＋||＝1，所以2m＋n＝1.因为＝x＋y＝＋，所以x＝，y＝，所以2x＋3y＝＋＝(2m＋n)＝25＋＋≥25＋24＝49，当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，故选B.

3．在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则＋的最小值为(　 )

A．16  B．8  C．4  D．2

解析：选A　由A＝λ＋μ及＝4A，得＝λ＋4μ，又点P在BD上，∴λ＋4μ＝1.∴＋＝·(λ＋4μ)＝8＋＋，又λ>0，μ>0，∴＋≥2＝8，当且仅当＝，即λ＝4μ时等号成立，故＋的最小值为16，故选A.

4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，c)，n＝(1－2cos A,2cos C－1)，m∥n.

(1)若b＝5，求a＋c的值；

(2)若tan＝，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．

解：(1)因为m∥n⇒a(2cos C－1)＝c(1－2cos A)，所以2sin Acos C－sin A＝sin C－2sin Ccos A，可得2sin Acos C＋2sin Ccos A＝2sin(A＋C)＝sin C＋sin A，即sin A＋sin C＝2sin B，由正弦定理得a＋c＝2b＝10.

(2)tan＝⇒tan B＝，sin B＝，cos B＝，因为sin A＋sin C＝2sin B＝sin A＋sin(π－A－B)，代入数据得2sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，解得cos A＝或cos A＝0，由于A是最大角，所以A＝.