2022-2023学年辽宁省锦州市辽西育明高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省锦州市辽西育明高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  (    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知平面向量，，则与夹角的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是杭州年第届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  已知是第二象限角，则点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6.  计算的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在中，、、分别为角、、的对边，以下能独立说明为等腰三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  函数在一个周期内的图像如图所示，则(    )

A. 的最小正周期是
B. 图像的一个对称中心为
C. 把函数的图像先向左平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到的图像
D. 的单调递增区间为
 

12.  在中，，，，点为线段上靠近端的三等分点，为的中点，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 与的夹角的余弦值为
C.  D. 的面积为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  ，若，则 ______ ．

14.  若角终边上一点的坐标为，则的最小值为______ ．

15.  若，，则 ______ ．

16.  若与的夹角为，则向量在上的投影向量为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知两个非零向量与不共线．
试确定实数，使得与共线；
若，且，求实数的值．

18.  本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的取值；
若为锐角，，求的值．

19.  本小题分
已知向量．
若，求的值；
已知，求的值．

20.  本小题分
在中，以，，分别为内角，，的对边，且．
求；
若，，求的面积；
若，，求边上中线长．

21.  本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
已知，若为锐角三角形，求的取值范围．

22.  本小题分
已知函数．
常数，若函数的最小正周期是，求的值．
若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，，
由正弦定理得．
故选：．
由正弦定理直接求解即可．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用两角和差的余弦公式进行求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键．比较基础．
 

3.【答案】 

【解析】解：设与的夹角为，，
则，．
故选：．
直接利用向量夹角的坐标运算求解．
本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设，由，得，即，
．
故选：．
由弧长比可得，结合扇形面积公式得答案．
本题考查扇形弧长与面积公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：是第二象限角，则，
所以，即的终边在一三象限，，
因为，的终边在三四象限和轴非负半轴，，
则点位于第四象限．
故选：．
已知是第二象限角，求和终边所在位置，判断和的符号，确定点所在象限．
本题主要考查了象限角的判断，还考查了三角函数定义的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
交叉相乘得：
所以．
故选：．
根据题意，进行构角，利用正切的差角公式，再适当的变形即可求出结果．
本题主要考查两角差的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：已知，，即，
故为第二或第四象限角，再由，
可得，，或，，
，
故选：．
由条件利用诱导公式可得 ，再由可得和的值，从而求得的值．
本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：
，
当时，，
在内有且仅有个零点，
，，
的取值范围是．
故选：．
利用两角和与差的正弦，余弦公式将函数化简，然后根据变量的取值范围和余弦函数的性质即可求解．
本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，即，
因为，所以，，，
所以，
所以，
所以，，．
故选：．
结合同角基本关系分别检验各选项即可判断．
本题考查了同角基本关系在求解三角函数值中的应用，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
运用正弦定理对选项进行逐一判断即可．

【解答】

解：根据正弦定理，由，得，所以为等腰三角形，选项A正确；
由，得或，所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形，选项B错误；
由，得，则，即，
所以，即，为等腰三角形，选项C正确；
对于任意的三角形均满足正弦定理，因此不能证明为等腰三角形，选项D错误；
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：由题设，则且，而，A正确；
将代入函数可得，即，则，
因为，所以，
综上，，，
故不是对称中心，B错误；
的图像先向左平移个单位长度，得，
再将曲线上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得，C正确；
令，则，
所以为的单调递增区间，D正确．
故选：．
根据图象有、、求参数，进而得，结合正弦型函数性质研究对称点、单调增区间，根据图象平移写出解析式判断各项正误．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了三角函数的图象变换，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，为中点，，A正确；
对于，以为坐标原点，，正方向为，轴可建立平面直角坐标系，

则，，，，，
，，
，
即与夹角的余弦值为，B错误；
对于，，，
，C正确；
对于，，D错误．
故选：．
根据向量线性运算直接判断即可知A正确；
以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标运算可求得B错误；
由向量数量积坐标运算可求得C正确；
由可知D错误．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
代入计算并运用函数的奇偶性求解即可．
本题主要考查了正切函数和正弦函数的奇偶性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：终边上一点的坐标为，即在第四象限，且，
，
当时，取得最小值为，
故答案为：．
依题意，可得，对赋值，可求得的最小值．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，解得，
则．
故答案为：．
先根据商数关系化弦为切求出，再根据利用两角和的正切公式即可得解．
本题主要考查了同角基本关系及两角和的正切公式的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，与的夹角为，
，则向量在上的投影向量为．
故答案为：．
根据条件可求出，然后根据投影向量的计算公式即可求出在上的投影向量．
本题考查了向量数量积的计算公式，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：若与共线，
则，，解得；
得，
由，知，解得． 

【解析】由共线向量得性质，再由对应系数相等即可求得实数；
将代入中求得，再由得，代入，化简即可求得实数的值．
本题主要考查向量垂直、共线的性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：函数，
令，解得
故函数的单调递增区间为；
由，可得
所以，故，
所以函数在区间上的最大值为，此时，即，
函数在区间上的最小值为，此时，即，
因为，
所以，
又，可得，
所以，
故． 

【解析】先根据二倍角公式以及辅助角公式求得函数的解析式，再结合正弦函数的性质求得结论，
利用的范围求得的范围，进而求解结论，
根据已知条件求得，再结合同角三角函数关系式以及两角和余弦公式即可求得结论．
本题考查三角函数的性质，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
若，则，即，得，；
，
，即，且，，
且，
，即，且，，
且．
．
而，． 

【解析】由向量共线的坐标运算列式求解值；
由平面向量数量积的坐标运算求得，再由已知可得，，，的值，然后利用两角和的正弦求得，进一步得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：因为，
所以，
由余弦定理可得，
因为，所以．
因为，且，
所以，解得或舍去，
所以．
因为，由正弦定理可得，
即，因为，所以，则，
所以或，即或，
当时为等边三角形，所以边上中线长为；
当时，则，所以为直角三角形，又，
由正弦定理，即，所以 ，，
所以边上中线长为． 

【解析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
由余弦定理求出，再由面积公式计算可得；
由正弦定理将边化角得到，从而求出，再分类讨论，求出边上中线长．
本题主要考查了正弦定理余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，，
，
，，
，即，
则；
由得，

，
，
又为锐角三角形，
则，解得，
，则，
，
的取值范围是． 

【解析】由，利用正弦定理得到，再根据，求解，即可得出答案；
由求得，再由，利用三角函数的性质求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，
所以，
因为的最小正周期是，
所以，
解得；
，
所以，
，
因为在上有解，
即为在上有解，
所以，
令，，
当时，即时，，显然不成立；
当时，
，
所以，
因为，
所以，
当时，，当且仅当，即时，等号成立；
所以，
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】化简得，
，根据周期公式计算即可；
由题意可得，令，，当时，不成立，进而可得，结合基本不等式及对勾函数的性质求解即可．
本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质、对勾函数的性质及基本不式的应用，考查运算求解能力，是中档题．