2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练30等差数列及其前n项和

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一、选择题
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝( )
A．6 B．7
C．8 D．10
答案：D
解析：设等差数列{an}的公差为d.∵S5＝2S4，a2＋a4＝8，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5a1＋\f(5×4,2)d＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a1＋\f(4×3,2)d))，,a1＋d＋a1＋3d＝8，))
整理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a1＋2d＝0，,a1＋2d＝4，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3.))
∴a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.故选D.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝ eq \f(5,2)，S10＝15，则a7＝( )
A． eq \f(1,2) B．1
C． eq \f(3,2) D．2
答案：A
解析：设等差数列{an}的首项为a1，则由等差数列{an}的前n项和为Sn及S10＝15，得 eq \f(10（a1＋a10）,2)＝15，所以a1＋a10＝3.由等差数列的性质，得a1＋a10＝a4＋a7，所以a4＋a7＝3.又因为a4＝ eq \f(5,2)，所以a7＝ eq \f(1,2).故选A.
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
答案：B
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a1＋\f(3×2,2)d))＝2a1＋d＋4a1＋ eq \f(4×3,2)d，
得d＝－ eq \f(3,2)a1，又a1＝2，
∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝－10.
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案：C
解析：∵S6＝ eq \f(（a1＋a6）×6,2)＝48，
∴a1＋a6＝16，
又a4＋a5＝24，
∴(a4＋a5)－(a1＋a6)＝8，
∴3d－d＝8，d＝4.
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a7＝22，S11＝143.若Sn>195，则n的最小值为( )
A．13 B．14
C．15 D．16
答案：B
解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a3＋a7＝22，所以2a5＝22，即a5＝11.
又因为S11＝ eq \f(（a1＋a11）×11,2)＝ eq \f(2a6×11,2)＝143，解得11a6＝143，即a6＝13.
所以公差d＝a6－a5＝2，所以an＝a5＋(n－5)d＝11＋(n－5)×2＝2n＋1，
所以Sn＝ eq \f(（a1＋an）n,2)＝(n＋2)n.
令(n＋2)n>195，则n2＋2n－195>0，解得n>13或n<－15(舍).故选B.
6．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为( )
A．－3 B．－ eq \f(5,2)
C．－2 D．－4
答案：D
解析：∵{an}为等差数列，∴S5＝5a3＝－15，
∴a3＝－3，
∴d＝a3－a2＝－3－1＝－4.
7．[2024·九省联考]记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝( )
A．120 B．140
C．160 D．180
答案：C
解析：方法一 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＋a1＋6d＝6,a1＋11d＝17))，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－5,d＝2))，
∴S16＝16×(－5)＋ eq \f(16×15,2)×2＝160.
方法二 因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，
所以S16＝ eq \f(（a1＋a16）×16,2)＝8(a5＋a12)＝160.故选C.
8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
答案：C
解析：由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a1＝9为首项、9为公差的等差数列{an}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1，中层总数为S2，下层总数为S3，∴S3－S2＝[9(2n＋1)·n＋ eq \f(n（n－1）,2)×9]－[9(n＋1)·n＋ eq \f(n（n－1）,2)×9]＝9n2＝729，解得n＝9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋ eq \f(27×26,2)×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3 402(块).故选C.
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝ eq \f(1,2)n2－2n
答案：A
解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S4＝0，,a5＝5，))
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－3，,d＝2，))
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2)d＝n2－4n.故选A.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S4＝0，,a5＝5，))
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－3，,d＝2.))选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝ eq \f(1,2)－2＝－ eq \f(3,2)，排除D.故选A.
二、填空题
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则 eq \f(S10,S5)＝________．
答案：4
解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，
所以 eq \f(S10,S5)＝ eq \f(10a1＋\f(10×9,2)d,5a1＋\f(5×4,2)d)＝ eq \f(10a1＋\f(10×9,2)×2a1,5a1＋\f(5×4,2)×2a1)＝ eq \f(100,25)＝4.
11．已知数列{an}是等差数列，公差d＝4，前n项和为Sn，则 eq \f(S2 024,2 024)－ eq \f(S2 023,2 023)的值为________．
答案：2
解析：由等差数列的前n项和Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2)d得 eq \f(Sn,n)＝a1＋ eq \f(n－1,2)d＝a1＋(n－1) eq \f(d,2)，所以{ eq \f(Sn,n)}仍是等差数列，其公差是原等差数列公差的一半，所以 eq \f(S2 024,2 024)－ eq \f(S2 023,2 023)的值为2.
12．[2024·新课标Ⅱ卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
答案：95
解析：方法一 设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋5d＝7，,4a1＋7d＝5，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－4，,d＝3.))
∴an＝3n－7，
∴S10＝ eq \f(10（a1＋a10）,2)＝ eq \f(10×（－4＋23）,2)＝95.
方法二 ∵{an}为等差数列，且a3＋a4＝7，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋a5＝7，,3a2＋a5＝5，))∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝－1，,a5＝8.))
∴公差d＝ eq \f(8－（－1）,3)＝3，
∴an＝a2＋(n－2)d＝－1＋3(n－2)＝3n－7，
∴S10＝ eq \f(10（a1＋a10）,2)＝ eq \f(10×（－4＋23）,2)＝95.
[能力提升]
13．[2024·北京师大二附中期中]《九章算术》是中国古代数学经典著作之一．全书分为九章，第六章“均输”有一问题“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升．问中间二节欲均容，各多少？”其意思为：今有竹9节，下3节容量共4升，上4节容量共3升，使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？在这一问题中，从下部算起第5节容量是________升．
答案： eq \f(67,66)
解析：记从下部算起第n节的容量为an升，由题意可知，数列{an}为等差数列，设其公差为d，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝4，,a6＋a7＋a8＋a9＝4a1＋26d＝3，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝\f(95,66)，,d＝－\f(7,66)．))所以a5＝a1＋4d＝ eq \f(67,66)，即从下部算起第5节容量是 eq \f(67,66)升．
14．(多选)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a2＝18，a5＝12，则下列选项正确的是( )
A.d＝－2
B．a1＝22
C．a3＋a4＝30
D．当且仅当n＝11时，Sn取得最大值
答案：AC
解析：对于A，易知3d＝a5－a2＝12－18＝－6，即d＝－2，选项A正确；对于B，a1＝a2－d＝18－(－2)＝20，所以选项B错误；对于C，a3＋a4＝a2＋a5＝18＋12＝30，所以选项C正确；对于D，因为an＝a1＋(n－1)d＝20＋(n－1)(－2)＝－2n＋22，a10＝2＞0，a11＝0，a12＝－2＜0，所以当n＝10或n＝11时，Sn最大，所以选项D错误．故选AC.
15．[2024·全国甲卷(理)]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝( )
A． eq \f(7,2) B． eq \f(7,3)
C．－ eq \f(1,3) D．－ eq \f(7,11)
答案：B
解析：方法一 设等差数列{an}的公差为d，∵S5＝5a1＋10d，S10＝10a1＋45d，S5＝S10，∴5a1＋10d＝10a1＋45d，即a1＝－7d.∵a5＝a1＋4d＝1，∴d＝－ eq \f(1,3)，∴a1＝－7d＝ eq \f(7,3).故选B.
方法二 ∵S5＝S10，∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，∴5a8＝0，∴a8＝0.
∵a5＝1，a8＝0，∴公差d＝－ eq \f(1,3)，则a1＝a5－4d＝ eq \f(7,3)，故选B.
16．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取最大值，则d的取值范围是________．
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(7,8)))
解析：方法一 由于Sn＝7n＋ eq \f(n（n－1）,2)d＝ eq \f(d,2)n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7－\f(d,2)))n，
设f(x)＝ eq \f(d,2)x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7－\f(d,2)))x，则其图象的对称轴为直线x＝ eq \f(1,2)－ eq \f(7,d).当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，故7.5＜ eq \f(1,2)－ eq \f(7,d)＜8.5，解得－1＜d＜－ eq \f(7,8).
方法二 由题意，得a8＞0，a9＜0，所以7＋7d＞0，且7＋8d＜0，即－1＜d＜－ eq \f(7,8).