统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练11函数与方程文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练11函数与方程文，共6页。


[基础强化]
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A.－1和 eq \f(1,6) B．1和－ eq \f(1,6)
C. eq \f(1,2)和 eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,2)和－ eq \f(1,3)
2．方程lg4x＋x＝7的根所在区间是( )
A.(1，2) B．(3，4)
C.(5，6) D．(6，7)
3．[2023·山东莱芜高三测试]函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,lg x－1，x>0))的所有零点之和为( )
A.7 B．5
C.4 D．3
4．设函数f(x)＝ eq \f(1,3)x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A.在区间( eq \f(1,e)，1)，(1，e)内均有零点
B.在区间( eq \f(1,e)，1)，(1，e)内均无零点
C.在区间( eq \f(1,e)，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D.在区间( eq \f(1,e)，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
5．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点位于( )
A.(1，2) B．(2，3)
C.(3，4) D．(4，5)
6．[2023·衡阳八中高三测试]方程lg3x＋x－3＝0的解所在的区间是( )
A.(0，1) B．(1，2)
C.(2，3) D．(3，4)
7．函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )
A.2 B．3
C.4 D．5
8．[2023·山西康杰中学高三测试]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A.{1，3} B．{－3, －1，1，3}
C.{2－ eq \r(7)，1，3} D．{－2－ eq \r(7)，1，3}
9．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx＋2，x≤0，,ln x，x>0))(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k满足( )
A.k≤2 B．－1C.－2≤k<－1 D．k≤－2
二、填空题
10．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
11．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x－2，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(x0)＝1，则x0＝________.
12．已知偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－lga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2023·山西省高三模拟]设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|lg2（x－2）|，2＜x≤4,（x－5）2，x＞4))，若f(x)＝a有四个实数根x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则 eq \f(（x3＋x4）x1,5)＋ eq \f(1,x2－1)的取值范围是( )
A.( eq \f(16,3)， eq \f(13,2)) B．(4， eq \f(13,2))
C.(3， eq \f(17,4)) D．(3，＋∞)
14．[2021·全国乙卷]设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A.a＜b B．a＞b
C.ab＜a2 D．ab＞a2
15．[2023·江西省南昌市高三模拟]已知f(x)＝ eq \f(x,x－1)(x＞1)，若α，β分别是方程f(x)＝ex，f(x)＝ln x的根，则下列说法：①α＋β＞4；②e＜αβ＜2e2；③α＋β＝αβ，其中正确的个数为( )
A.0 B．1
C.2 D．3
16．已知λ∈R，函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.))
当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
专练11 函数与方程
1．B 由题意得x2－ax＋b＝0有两根2，3.
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝b，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝6.))
由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，
得x＝－ eq \f(1,6)或x＝1.
2．C 令f(x)＝lg4x＋x－7，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)<0，所以函数f(x)＝lg4x＋x－7的零点所在的区间为(5，6)，即方程lg4x＋x＝7的根所在区间是(5，6).故选C.
3．A 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3＝0，,x≤0，))得x1＝－3，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg x－1＝0，,x>0，))得x2＝10，
∴函数f(x)的所有零点之和为10－3＝7.
4．D ∵f( eq \f(1,e))＝ eq \f(1,3e)＋1>0，
f(1)＝ eq \f(1,3)>0，f(e)＝ eq \f(e,3)－1<0，
∴f(x)在( eq \f(1,e)，1)内无零点，在(1，e)内有零点．
5．B ∵f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上单调递增，
又f(2)＝ln 2＋4－6<0，f(3)＝ln 3>0，
∴f(x)的零点位于(2，3).
6．C 令f(x)＝lg3x＋x－3，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝lg32－1<0，f(3)＝lg33＋3－3＝1>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)即方程的解所在的区间为(2，3).
7．B 由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin x cs x＝2sin x·(1－cs x)＝0得sin x＝0或cs x＝1，
∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，
∴x＝0，π，2π，即零点有3个．
8．D 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，
∴g(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≥0，,－x2－4x＋3，x<0，))
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3＝0，,x≥0，))得x＝1或x＝3；
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2－4x＋3＝0，,x<0，))得x＝－2－ eq \r(7).
9．D 由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数图像只有一个公共点，所以k<0，f(x)＝kx＋2恒过点(0，2)，要使y＝|f(x)|与y＝－k的图像有三个公共点(如图所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．
10．答案：( eq \f(1,3)，1)
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1，1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得 eq \f(1,3)11．答案：±1
解析：由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x0－2＝1，,x0≤0))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x0)＝1，,x0>0，))
得x0＝±1.
12．答案：(3，5)
解析：∵偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，
∴函数f(x)的周期为2.在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－lga(x＋2)有3个零点等价于f(x)的图像与y＝lga(x＋2)的图像在区间[－1，3]内有3个交点．当01且lga(1＋2)<1，lga(3＋2)>1，解得a∈(3，5).
13．A 作出函数f(x)的图像如图所示：
由图可知，当0＜a＜1时，直线y＝a与函数f(x)的图像有四个交点，且交点的横坐标分别为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，
由图可知，点(x3，a)、(x4，a)关于直线x＝5对称，则x3＋x4＝10，
由图可知，2＜x1＜3，3＜x2＜4，
由f(x1)＝f(x2)可得－lg2(x1－2)＝lg2(x2－2)，所以x1－2＝ eq \f(1,x2－2)，
所以可得x1＝ eq \f(1,x2－2)＋2，
所以 eq \f(（x3＋x4）x1,5)＋ eq \f(1,x2－1)＝2x1＋ eq \f(1,x2－1)＝ eq \f(2,x2－2)＋ eq \f(1,x2－1)＋4，
易知函数g(x)＝ eq \f(2,x－2)＋ eq \f(1,x－1)＋4在(3，4)上为减函数，且g(3)＝ eq \f(13,2)，g(4)＝ eq \f(16,3)，故 eq \f(（x3＋x4）x1,5)＋ eq \f(1,x2－1)＝ eq \f(2,x2－2)＋ eq \f(1,x2－1)＋4∈( eq \f(16,3)， eq \f(13,2)).
14．D 通解 函数f(x)＝a(x－a)2 (x－b)＝(x－a)2(ax－ab)，求导得f′(x)＝2(x－a)(ax－ab)＋a(x－a)2＝a(x－a)(3x－a－2b).令f′(x)＝0，结合a≠0可求得x＝a或x＝ eq \f(a＋2b,3).
(1)当a>0时，
①若 eq \f(a＋2b,3)>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a， eq \f(a＋2b,3))上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意；
②若 eq \f(a＋2b,3)＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；
③若 eq \f(a＋2b,3)(2)当a<0时，
①若 eq \f(a＋2b,3)>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a， eq \f(a＋2b,3))上单调递增，所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意；
②若 eq \f(a＋2b,3)＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意；
③若 eq \f(a＋2b,3)综上可知：当a>0且b>a时满足题意，当a<0且ba2成立．
优解 当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2(x－2)，作出该函数的图像(图略)，观察可知x＝1为函数的极大值点，满足题意．所以根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误．
当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，作出该函数的图像(图略)，观察可知x＝－1为函数的极大值点，满足题意．所以根据a＝－1，b＝－2可知选项A错误．
光速解 当a>0时，根据题意作出函数f(x)的大致图像如图1所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意作出函数f(x)的大致图像如图2所示，观察可知a>b.
综上可知，必有ab>a2成立．
15．D f(x)＝ eq \f(x,x－1)＝ eq \f(x－1＋1,x－1)＝1＋ eq \f(1,x－1)(x＞1)，
因为x＞1，所以x－1＞0，
所以f(x)＞1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
α，β分别是方程f(x)＝ex，f(x)＝ln x的根，
因为y＝ex与y＝ln x互为反函数，
所以y＝ex与y＝ln x的图像关于直线y＝x对称，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(x,x－1)（x＞1）,y＝x))，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝2))，
画出函数y＝ex，y＝ln x和f(x)＝ eq \f(x,x－1)(x＞1)的图像，
由图可得1＜α＜2，
因为当x＝3时，ln 3＝ln eq \r(9)＜ln eq \r(e3)＝ eq \f(3,2)＝ eq \f(3,3－1)，
当x＝4时，ln 4＝ln eq \r(3,43)＞ln eq \r(3,e4)＝ eq \f(4,3)＝ eq \f(4,4－1)，
所以3＜β＜4，
所以4＜α＋β＜6，所以①正确，
对于②，由图可得1＜ln β＜2，所以e＜β＜e2，
因为1＜α＜2，所以e＜αβ＜2e2，所以②正确，
对于③，因为f(x)＝ eq \f(x,x－1)＝ eq \f(x－1＋1,x－1)＝1＋ eq \f(1,x－1)(x＞1)的图像关于直线y＝x对称，
因为y＝ex和y＝ln x互为反函数，
所以(α， eq \f(α,α－1))与(β， eq \f(β,β－1))关于直线y＝x对称，
所以α＝ eq \f(β,β－1)或β＝ eq \f(α,α－1)，化简得α＋β＝αβ，所以③正确．
16．答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
解析：当λ＝2时，不等式f(x)<0等价于
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥2，,x－4<0))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<2，,x2－4x＋3<0，))
即2≤x<4或1故不等式f(x)<0的解集为(1，4).
易知函数y＝x－4(x∈R)有一个零点x1＝4，
函数y＝x2－4x＋3(x∈R)有两个零点x2＝1，x3＝3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图像(图略)，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ>4.②两个零点为1，4，由图可知，此时1<λ≤3.
综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞).