统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练12变化率与导数导数的计算文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练12变化率与导数导数的计算文，共4页。

[基础强化]
一、选择题
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( )
A.2 B．0 C．－2 D．－4
2．[2023·陕西省西安中学高三四模]某旅游者爬山的高度h(单位：m)是时间t(单位：h)的函数，关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是( )
A.500 m/h B．1 000 m/h
C.400 m/h D．1 200 m/h
3．[2023·江西省九江市第二次高考模拟]曲线f(x)＝ eq \f(\r(3),3)x3－1在x＝1处的切线倾斜角是( )
A. eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(5π,6) D． eq \f(2π,3)
4．[2023·全国甲卷(文)]曲线y＝ eq \f(ex,x＋1)在点(1， eq \f(e,2))处的切线方程为( )
A.y＝ eq \f(e,4)x B．y＝ eq \f(e,2)x
C.y＝ eq \f(e,4)x＋ eq \f(e,4) D．y＝ eq \f(e,2)x＋ eq \f(3e,4)
5．已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A.a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
6．已知曲线y＝ eq \f(x2,4)－3ln x的一条切线的斜率为－ eq \f(1,2)，则切点的横坐标为( )
A.3 B．2 C．1 D． eq \f(1,2)
7．f′(x)是f(x)＝sin x＋a cs x的导函数，且f′( eq \f(π,4))＝ eq \f(\r(2),4)，则实数a的值为( )
A. eq \f(2,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,4) D．1
8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与二次曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a等于( )
A.－2 B．0 C．1 D．8
9.过函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )
A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4))) B．[0， eq \f(π,2))∪[ eq \f(3π,4)，π)
C.[ eq \f(3π,4)，π) D．( eq \f(π,2)， eq \f(3π,4)]
二、填空题
10．曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________________．
11．[2023·江西省赣州市高三期末]设曲线y＝ eq \f(1,2)x2在点A(1， eq \f(1,2))处的切线与曲线y＝x ln x在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为________．
12．[2023·安徽省高三一模]过坐标原点且与曲线y＝－x ln x－1相切的直线方程为________．
[能力提升]
13．已知a>0，曲线f(x)＝2ax2－ eq \f(1,ax)在点(1，f(1))处的切线的斜率为k，则当k取最小值时a的值为( )
A. eq \f(1,2) B． eq \f(2,3)
C.1 D．2
14．已知直线y＝kx－2与曲线y＝x ln x相切，则实数k的值为( )
A.ln 2 B．1
C.1－ln 2 D．1＋ln 2
15．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图像在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
16．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________．
专练12 变化率与导数、导数的计算
1．D ∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，
∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋2，
∴f′(1)＝－2，
∴f(x)＝－4x＋x2，
∴f′(x)＝－4＋2x，∴f′(0)＝－4.
2．C h′(t)＝－200t＋800，∴h′(2)＝－200×2＋800＝400 (m/h).
3．B 设曲线f(x)＝ eq \f(\r(3),3)x3－1在x＝1处的切线倾斜角为α，因为f′(x)＝ eq \r(3)x2，则f′(1)＝ eq \r(3)，因为0≤α≤π，因此，α＝ eq \f(π,3).
4．C 由题意可知y′＝ eq \f(ex（x＋1）－ex·1,（x＋1）2)＝ eq \f(xex,（x＋1）2)，则曲线y＝ eq \f(ex,x＋1)在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线斜率k＝y′|x＝1＝ eq \f(e,4)，所以曲线y＝ eq \f(ex,x＋1)在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y－ eq \f(e,2)＝ eq \f(e,4)(x－1)，即y＝ eq \f(e,4)x＋ eq \f(e,4)，故选C.
5．D ∵y′＝aex＋ln x＋1，当x＝1时，y′＝ae＋1，
∴2＝ae＋1，∴a＝e－1. 故切点坐标为(1，1)，
将切点坐标(1，1)代入y＝2x＋b，
得1＝2＋b, ∴b＝－1.
6．B 令y′＝ eq \f(2x,4)－ eq \f(3,x)＝－ eq \f(1,2)，解得x＝－3(舍去)或x＝2.故切点的横坐标为2.
7．B ∵f′(x)＝cs x－a sin x，
∴f′( eq \f(π,4))＝ eq \f(\r(2),2)－ eq \f(\r(2),2)a＝ eq \f(\r(2),4)，得a＝ eq \f(1,2).
8．D 由y＝x＋ln x，得y′＝1＋ eq \f(1,x)，
∴当x＝1时，y′＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,y＝ax2＋（a＋2）x＋1，))
得ax2＋ax＋2＝0，
由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≠0，,Δ＝a2－8a＝0，))得a＝8.
9．B f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切线的倾斜角的范围是[0， eq \f(π,2))∪[ eq \f(3,4)π，π).
10．答案：y＝2x
解析：设该切线的切点坐标为(x0，y0)，由y＝ln x＋x＋1得y′＝ eq \f(1,x)＋1，则在该切点处的切线斜率k＝ eq \f(1,x0)＋1，即 eq \f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，∴该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
11．答案：(1，0)
解析：设P(x0，y0)，因为y＝ eq \f(1,2)x2的导数为y′＝x，所以曲线y＝ eq \f(1,2)x2在点A(1， eq \f(1,2))处的切线的斜率为1，因为y＝x ln x的导数为y′＝1＋ln x，曲线y＝x ln x在点P处的切线斜率为1＋ln x0，所以1＋ln x0＝1，解得x0＝1，代入y＝x ln x可得y0＝0，故P(1，0).
12．答案：x＋y＝0
解析：设切线的切点为(x0，－x0ln x0－1)，对函数y＝－x ln x－1求导得y′＝－ln x－1，则切线的斜率为k＝－1－ln x0，所以切线方程为y＋x0ln x0＋1＝(－ln x0－1)(x－x0)，
将原点的坐标代入切线方程可得x0＝1，则k＝－1，
因此，所求切线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
13．A ∵f′(x)＝4ax＋ eq \f(1,ax2)，
∴k＝f′(1)＝4a＋ eq \f(1,a)≥2 eq \r(4a·\f(1,a))＝4，
当且仅当4a＝ eq \f(1,a)，即a＝ eq \f(1,2)时等号成立．
14．D 设切点(x0，x0ln x0)，∵y′＝ln x＋1，由题意得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x0＋1＝k，,x0ln x0＝kx0－2，))得ln x0＋ eq \f(2,x0)＝ln x0＋1，
∴x0＝2.k＝1＋ln 2.
15．答案：1
解析：∵f′(x)＝a－ eq \f(1,x)，∴f′(1)＝a－1，
又f(1)＝a，∴切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)，
令x＝0，y＝1，
∴l在y轴上的截距为1.
16．答案：1－ln 2
解析：直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln (x＋1)均相切，
设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝ln x＋2得y′＝ eq \f(1,x)，
由y＝ln (x＋1)得y′＝ eq \f(1,x＋1)，
∴k＝ eq \f(1,x1)＝ eq \f(1,x2＋1)，
∴x1＝ eq \f(1,k)，x2＝ eq \f(1,k)－1，
∴y1＝－ln k＋2，y2＝－ln k.
即A( eq \f(1,k)，－ln k＋2)，B( eq \f(1,k)－1，－ln k)，
∵A、B在直线y＝kx＋b上，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－ln k＝k·\f(1,k)＋b，,－ln k＝k·（\f(1,k)－1）＋b))⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1－ln 2，,k＝2.))