2025高考数学一轮复习-3.1-变化率与导数、导数的计算-专项训练【含解析】

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A. 若fx=xsinx−csx ,则f′x=sinx−xcsx+sinx
B. 设函数fx=xlnx ,若f′x0=2 ,则x0=e
C. 已知函数fx=3x2ex ，则f′1=12e
D. 设函数fx 的导函数为f′x ,且fx=x2+3xf′2+lnx ,则f′2=−94
2.已知函数fx 可导，则limΔx→0f2+2Δx−f22Δx= ( )
A. f′x B. f′2 C. fx D. f2
3. 已知函数fx 的导函数是f′x ,且满足fx=2xf′1+ln1x ,则f1= ( )
A. −e B. 2 C. −2 D. e
4.若曲线y=alnx+x2a>0 的切线的倾斜角的取值范围是[π3,π2) ,则a= ( )
A. 124 B. 38 C. 34 D. 32
5.已知函数fx=xx+2−mlnx 的图象在点12,f12 处的切线与直线x+2y=0 垂直，则m 的值为( )
A. 52 B. 54 C. 12 D. 74
6.函数fx 的图象与其在点P 处的切线如图所示，则f1−f′1= ( )
A. −2 B. 0 C. 2 D. 4
7.已知直线l 是曲线y=lnx 与曲线y=x2+x 的一条公切线，直线l 与曲线y=x2+x 相切于点a,a2+a ，则a 满足的关系式为( )
A. a2+1−ln2a+1=0 B. a2+1+ln2a+1=0
C. a2−1−ln2a+1=0 D. a2−1+ln2a+1=0
8.已知fx=2x3+a−2x2−3x 是奇函数，则过点P−1,2 向曲线y=fx 可作的切线条数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定
9. 已知函数fx=2e−x （e 为自然对数的底数），则曲线y=fx 在点−2,f−2 处的切线方程为 .
10. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点−e,−1 （e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .
11. 与函数fx=e2x−1 在点0,0 处具有相同切线的一个函数为 .
12.设函数y=f″x 是y=f′x 的导数，经过探究发现，任意一个三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0 的图象都有对称中心x0,fx0 ，其中x0 满足f″x0=0 .已知函数fx=2x3−3x2+9x−72 ，则f12023+f22023+f32023+…+f20222023= .
[B级 综合运用]
13. （多选）若函数y=fx 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=fx 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( )
A. y=csx B. y=lnx C. y=ex D. y=x2 14. （多选）若函数fx=x2−2ax2+lnx+1 的图象上不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是( )
A. −1 B. 3 C. 1 D. 2
15.已知函数fx=x+a2x ,若曲线y=fx 存在两条过点2,0 的切线，则实数a 的取值范围是 .
16. 已知函数fx=x2−2 ,gx=3lnx−ax ,若曲线y=fx 与曲线y=gx 在公共点处的切线相同，则实数a= .
17. 已知函数fx=x−1+aex （a∈R ,e 为自然对数的底数）.
（1） 若曲线y=fx 在点1,f1 处的切线平行于x 轴，求a 的值；
（2） 当a=1 时，若直线l:y=kx−1 与曲线y=fx 相切，求直线l 的方程.
[C级 素养提升]
18. 设点P 为函数fx=12x2+2ax 与gx=3a2lnx+2ba>0 的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( )
A. 23e34 B. 32e34 C. 43e23 D. 34e23
19.已知函数fx=x3−x ,gx=x2+a ，曲线y=fx 在点x1,fx1 处的切线也是曲线y=gx 的切线．
（1） 若x1=−1 ，求a ；
（2） 求a 的取值范围．
2025高考数学一轮复习-3.1-变化率与导数、导数的计算-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1.（多选）下列命题正确的是( BD )
A. 若fx=xsinx−csx ,则f′x=sinx−xcsx+sinx
B. 设函数fx=xlnx ,若f′x0=2 ,则x0=e
C. 已知函数fx=3x2ex ，则f′1=12e
D. 设函数fx 的导函数为f′x ,且fx=x2+3xf′2+lnx ,则f′2=−94
[解析]选BD.对于选项A，f′x=sinx+xcsx+sinx ,故选项A不正确；
对于选项B,f′x=lnx+1 ,则f′x0=lnx0+1=2 ,解得x0=e ,故选项B正确；
对于选项C,f′x=6xex+3x2ex ,则f′1=6e+3e=9e ,故选项C不正确；
对于选项D，f′x=2x+3f′2+1x ，则f′2=4+3f′2+12 ,解得f′2=−94 ,故选项D正确.故选BD.
2.已知函数fx 可导，则limΔx→0f2+2Δx−f22Δx= ( B )
A. f′x B. f′2 C. fx D. f2
[解析]选B.因为函数fx 可导，所以f′x=limΔx→0fx+Δx−fxΔx ，所以limΔx→0f2+2Δx−f22Δx=f′2 .
3. 已知函数fx 的导函数是f′x ,且满足fx=2xf′1+ln1x ,则f1= ( B )
A. −e B. 2 C. −2 D. e
[解析]选B.由题意得,f′x=2f′1+11x⋅1x′=2f′1+x⋅−1x2=2f′1−1x ,
所以f′1=2f′1−1 ,解得f′1=1 .
所以fx=2x+ln1x ,则f1=2+ln1=2 .
4.若曲线y=alnx+x2a>0 的切线的倾斜角的取值范围是[π3,π2) ,则a= ( B )
A. 124 B. 38 C. 34 D. 32
[解析]选B.由题知，y′=ax+2x≥22a ，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是[π3,π2) ,所以斜率k≥3 ,则3=22a ，解得a=38 .
5.已知函数fx=xx+2−mlnx 的图象在点12,f12 处的切线与直线x+2y=0 垂直，则m 的值为( C )
A. 52 B. 54 C. 12 D. 74
[解析]选C.由题知f′x=2x+2−mx ，因为函数fx 的图象在点12,f12 处的切线与直线x+2y=0 垂直，所以f′12=2 ，即3−2m=2 ,解得m=12 ，故选C.
6.函数fx 的图象与其在点P 处的切线如图所示，则f1−f′1= ( D )
A. −2 B. 0 C. 2 D. 4
[解析]选D.由题意，切线经过点2,0 ，0,4 ，可得切线的斜率为k=4−00−2=−2 ，即f′1=−2 .又由切线方程为y=−2x+4 ，令x=1 ，得y=2 ，即f1=2 ，
所以f1−f′1=2+2=4 .故选D.
7.已知直线l 是曲线y=lnx 与曲线y=x2+x 的一条公切线，直线l 与曲线y=x2+x 相切于点a,a2+a ，则a 满足的关系式为( C )
A. a2+1−ln2a+1=0 B. a2+1+ln2a+1=0
C. a2−1−ln2a+1=0 D. a2−1+ln2a+1=0
[解析]选C.记fx=lnx ，得f′x=1x ,记gx=x2+x ,得g′x=2x+1 .设直线l 与曲线fx=lnx 相切于点b,lnb ，由于l 是公切线，则f′b=g′a,ga−fba−b=g′a, 即1b=2a+1,a2+a−lnba−b=2a+1, 化简得a2−1−ln2a+1=0 ，故选C.
8.已知fx=2x3+a−2x2−3x 是奇函数，则过点P−1,2 向曲线y=fx 可作的切线条数是( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定
[解析]选C.由题意得f−x+fx=0 ，则2a−2x2=0 恒成立，解得a=2 ，
即fx=2x3−3x ，f′x=6x2−3 .
设过点P−1,2 向曲线y=fx 所作切线与曲线y=fx 相切的切点为Qx0,2x03−3x0 ，
而点P−1,2 不在曲线y=fx 上，则6x02−3=2x03−3x0−2x0+1 ，整理得4x03+6x02−1=0 ，
即2x0+12x02+2x0−1=0 ，解得x0=−12 或x0=−1±32 ，即符合条件的切点有3个，所以过点P−1,2 向曲线y=fx 可作的切线条数是3.故选C.
9. 已知函数fx=2e−x （e 为自然对数的底数），则曲线y=fx 在点−2,f−2 处的切线方程为2e2x+y+2e2=0 .
[解析]因为f′x=−2e−x ，f′−2=−2e2 ，f−2=2e2 ，所以所求切线方程为y−2e2=−2e2x+2 ，即2e2x+y+2e2=0 .
10. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点−e,−1 （e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是e,1 .
[解析]设Am,n ，则曲线y=lnx 在点A 处的切线方程为y−n=1mx−m .
又切线过点−e,−1 ,则n+1=1mm+e .
由n=lnm ,解得m=e ,n=1 .
故点A 的坐标为e,1 .
11. 与函数fx=e2x−1 在点0,0 处具有相同切线的一个函数为y=x2+2x （答案不唯一）.
[解析]因为f′x=2e2x ,可得在点0,0 处的切线的斜率为2，切线方程为y=2x .可取y=x2+2x ,其导数为y′=2x+2 ,在点0,0 处的切线方程为y=2x ,满足题意.
12.设函数y=f″x 是y=f′x 的导数，经过探究发现，任意一个三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0 的图象都有对称中心x0,fx0 ，其中x0 满足f″x0=0 .已知函数fx=2x3−3x2+9x−72 ，则f12023+f22023+f32023+…+f20222023= 1 011.
[解析]由fx=2x3−3x2+9x−72 可得f′x=6x2−6x+9 ，f″x=12x−6 ，令f″x=12x−6=0 可得x=12 ，f12=2×123−3×122+9×12−72=12 ,所以函数fx 图象的对称中心为12,12 ，所以f12023+f20222023=1 ,f22023+f20212023=1 ,… ,f10112023+f10122023=1 ,所以f12023+f22023+f32023+⋯+f20222023=1011×1=1011 .
[B级 综合运用]
13. （多选）若函数y=fx 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=fx 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( AD )
A. y=csx B. y=lnx C. y=ex D. y=x2
[解析]选AD.由题意，若y=fx 具有T 性质，则存在x1 ,x2 ,使得f′x1f′x2=−1 .对于A，因为f′x=−sinx ,存在x1=π2 ,x2=−π2 ,使得f′x1f′x2=−1 ，正确;对于B,因为f′x=1x>0 ,不存在x1 ,x2 ,使得f′x1f′x2=−1 ，错误;对于C，因为f′x=ex>0 ,不存在x1 ,x2 ,使得f′x1f′x2=−1 ，错误;对于D，因为f′x=2x ,存在x1=1 ,x2=−14 ，使得f′x1f′x2=4x1x2=−1 ，正确.故选AD.
14. （多选）若函数fx=x2−2ax2+lnx+1 的图象上不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是( AC )
A. −1 B. 3 C. 1 D. 2
[解析]选AC.f′x=x+1x+1−a=x+1+1x+1−a−1≥2x+1⋅1x+1−a−1=1−a ，
当且仅当x+1=1x+1 ，即x=0 时，等号成立.
因为函数fx 的图象上不存在互相垂直的切线，
所以f′xmin≥0 ，即1−a≥0 ，解得a≤1 ，故选AC.
15.已知函数fx=x+a2x ,若曲线y=fx 存在两条过点2,0 的切线，则实数a 的取值范围是{a|a<−8或a>0} .
[解析]由题得，f′x=1−a2x2 ,
设切点坐标为x0,x0+a2x0 ,则切线方程为y−x0−a2x0=1−a2x02x−x0 .由切线过点2,0 ，可得−x0−a2x0=1−a2x022−x0 ,整理得2x02+ax0−a=0 .
因为曲线y=fx 存在两条过点2,0 的切线，所以方程有两个不等实根，即Δ=a2+8a>0 ,解得a>0 或a<−8 ,所以实数a 的取值范围是{a|a<−8或a>0} .
16. 已知函数fx=x2−2 ,gx=3lnx−ax ,若曲线y=fx 与曲线y=gx 在公共点处的切线相同，则实数a= 1.
[解析]设函数fx=x2−2 与gx=3lnx−ax 的公共点为x0,y0 ，则fx0=gx0，f′x0=g′x0，
即x02−2=3lnx0−ax0，2x0=3x0−a,x0>0， 则3lnx0+x02−1=0 .
令ℎx=3lnx+x2−1 ，易得ℎx 在0,+∞ 上单调递增，由3lnx0+x02−1=0 ，解得x0=1 ，所以公共点为1,−1 ，所以−1=3ln1−a ，解得a=1 .
17. 已知函数fx=x−1+aex （a∈R ,e 为自然对数的底数）.
（1） 若曲线y=fx 在点1,f1 处的切线平行于x 轴，求a 的值；
[答案]解：f′x=1−aex ,因为曲线y=fx 在点1,f1 处的切线平行于x 轴，即f′1=1−ae=0 ,解得a=e .
（2） 当a=1 时，若直线l:y=kx−1 与曲线y=fx 相切，求直线l 的方程.
[答案]当a=1 时，fx=x−1+1ex ,f′x=1−1ex .设切点为x0,y0 ,
因为fx0=x0−1+1ex0=kx0−1 ,①
f′x0=1−1ex0=k ,②
①+②得x0=kx0−1+k ,即k−1x0+1=0 .
若k=1 ,则②式无解，
所以x0=−1 ,k=1−e ，
所以直线l 的方程为y=1−ex−1 .
[C级 素养提升]
18. 设点P 为函数fx=12x2+2ax 与gx=3a2lnx+2ba>0 的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( D )
A. 23e34 B. 32e34 C. 43e23 D. 34e23
[解析]选D.设Px0,y0 ,因为点P 为公共点，所以12x02+2ax0=3a2lnx0+2b .又点P 处的切线相同，则f′x0=g′x0 ,即x0+2a=3a2x0 ,即x0+3ax0−a=0 .又a>0 ,x0>0 ,则x0=a ,所以2b=52a2−3a2lna .设ℎx=52x2−3x2lnx ,x>0 ，则ℎ′x=2x⋅1−3lnx .当x∈0,e13 时，ℎx 单调递增；当x∈e13,+∞ 时，ℎx 单调递减.故ℎxmax=ℎe13=32e23 ,所以b 的最大值为34e23 .故选
D.
19.已知函数fx=x3−x ,gx=x2+a ，曲线y=fx 在点x1,fx1 处的切线也是曲线y=gx 的切线．
（1） 若x1=−1 ，求a ；
[答案]解：当x1=−1 时，f−1=0 ，所以切点坐标为−1,0 .
由fx=x3−x ，得f′x=3x2−1 ,
所以切线斜率k=f′−1=2 ,
所以切线方程为y=2x+1 ,即y=2x+2 .
将y=2x+2 代入y=x2+a ，得x2−2x+a−2=0 .
由切线与曲线y=gx 相切，得Δ=−22−4a−2=0 ,
解得a=3 .
（2） 求a 的取值范围．
[答案]由fx=x3−x ,得f′x=3x2−1 ，所以切线斜率k=f′x1=3x12−1 ,
所以切线方程为y−x13−x1=3x12−1x−x1 ,即y=3x12−1x−2x13 .
将y=3x12−1x−2x13 代入y=x2+a ,得x2−3x12−1x+a+2x13=0 .
由切线与曲线y=gx 相切， 得Δ=3x12−12−4a+2x13=0 ,
整理得4a=9x14−8x13−6x12+1 .
令ℎx=9x4−8x3−6x2+1 ，则ℎ′x=36x3−24x2−12x=12x3x+1x−1 ,
由ℎ′x=0 ,得x=−13 ,0 ,1 ,
ℎx ,ℎ′x 随x 的变化如下表所示：
由上表知，当x=−13 时，
ℎx 取得极小值ℎ−13=2027 ,
当x=1 时，ℎx 取得极小值ℎ1=−4 ,
易知当x→−∞ 时，ℎx→+∞ ,当x→+∞ 时，ℎx→+∞ ,
所以函数ℎx 的值域为[−4,+∞) ,
所以由4a∈[−4,+∞) ,得a∈[−1,+∞) ,
故实数a 的取值范围为[−1,+∞) .
x
−∞,−13
−13
−13,0
0
0,1
1
1,+∞
ℎ′x
-
0
+
0
-
0
+
ℎx
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗