湖南省名校联考联合体2022-2023学年高一下学期6月期末联考数学试题

湖南省名校联考联合体2022-2023学年高一下学期6月期末联考数学试题

一、单选题

1．若复数z的虚部小于0，且，则（　　）

A． B． C． D．

2．某学校高一年级、高二年级、高三年级分别有学生800人、950人、1050人，学校为了调研学情，用分层抽样的方法从中抽取56人，则高三年级应该抽取的人数为（　　）

A．21 B．19 C．16 D．18

3．已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（　　）

A． B．

C． D．

4．令圆锥的底面半径为r，母线长为l，若，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（　　）

A． B． C． D．

5．在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．

6．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“圆罂测雨”法是下雨时用一个由上下两个等高的圆台吻合而成的圆罂器皿收集雨水，已知数据如图（注：1尺＝10寸），平地的降雨量的近似值是（　　）

注意：，

A．6寸 B．9寸 C．12寸 D．18寸

7．在三角形中，若D，E分别为边，上的点，且，，与交于点O，则以下结论错误的是（　　）

A． B．

C． D．

8．一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．若复数z满足：，则（　　）

A．z的实部为0 B．z的虚部为任意一个实数

C． D．

10．铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（　　）

A．铁棍的长度的极差为

B．铁棍的长度的众数为

C．铁棍的长度的中位数为

D．铁棍的长度的第80百分位数为

11．在三角形中，令，，若，，，，则（　　）

A．，的夹角为

B．，

C．

D．三角形的边上的中线长为

12．在长方体中，已知，，P，Q分别为，的中点，S为棱的三等分点，，过P，Q，S三点作一个平面与，，分别交于点R，M，N，即得到一个截面，则（　　）

A．

B．

C．与平面所成的角的正切值为

D．点A到截面的距离为1

三、填空题

13．某大学天文台随机调查了该校100位天文爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图，则估计该校100名天文爱好者的平均岁数为　     　.

14．若，，则在上投影向量的坐标为　          　.

15．从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数a，b，则的概率为　     　．

16．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为　     　.

四、解答题

17．在复平面内，已知对应的复数，对应的复数.

（1）判断：是否成立？并说明理由；

（2）若对应的复数为z，且，求点P所在区域的面积.

18．如图，在四棱锥中，，E，F分别为，的中点，连接，.

（1）证明：当点G为上一点，且不与点P、点C重合时，平面；

（2）证明：当时，.

19．某公司最近10年的盈利依次记为，，…，（单位：万元），，分别表示平均值与方差.

（1）若，，，求，的值；

（2）若，，求的平均值.

20．在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c.

（1）若，，，求的周长；

（2）若点D是边上一点，且，，，求的长.

21．在正六棱柱中，底面棱长为，高为，分别为，的中点，连接.

（1）求所成角的余弦值；

（2）过点作直线，设点是直线上一点，记平面与平面所成角为，求的取值范围.

22．某学校组织人工智能知识竞赛，在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的4个问题中随机抽取3题作答，每答对1题得20分，答错得0分；第二轮从B类分值分别为10，20，30的3个问题中随机抽取2题作答，每答对1题该题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为，乙只能答对3个问题；在B类3个分值分别为10，20，30的问题中，甲答对的概率分别为1，，，乙答对的概率分别为，，.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.

（1）分别求甲、乙在第一轮得最高分的概率；

（2）谁晋级复赛的概率更大？请说明理由.

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】解：设复数，因为，

所以，所以，

所以.

故答案为：B.

【分析】设复数，然后根据，解得，即可得结果.

2．【答案】A

【知识点】分层抽样方法

【解析】【解答】解：高三年级应该抽取的人数为.

故答案为：A.

【分析】根据分层抽样的性质列式计算求解.

3．【答案】A

【知识点】空间向量基本定理

【解析】【解答】解：若 ， ，不能构成 一组空间基底 ，则， ，共面，
所以存在唯一实数，使得，
对A：因为，则，

整理得，所以，无解.

即， ，不共面，所以与构成一个基底，故A正确；

对B：因为，所以，故B错误；

对C：因为，所以，故C错误；

对D：因为 ，所以，故D错误.

故答案为：A.

【分析】根据题意结合空间向量基底的概念和共面向量的性质逐项分析判断.

4．【答案】C

【知识点】扇形的弧长与面积

【解析】【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，

由题意可得：，解得，

所以圆锥的侧面展开图的圆心角为.

故答案为：C.

【分析】根据圆锥的侧面展开图，结合弧长公式运算求解.

5．【答案】B

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】【解答】解：设正方体的棱长为2，点E到平面的距离h，直线与平面所成的角为，

可得，
因为，则，解得，

所以.  

故答案为：B.

【分析】利用等体积法求点E到平面的距离，进而求得直线与平面所成角的正弦值.

6．【答案】D

【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征

【解析】【解答】解：由题意可知：圆罂器皿的上底面半径为寸，下底面半径为寸，

则计算得雨水平面的半径为寸，

所以平地的降雨量为

，
所以 平地的降雨量的近似值是 18寸.

故答案为：D.

【分析】根据题意求出雨水平面的半径，结合圆台的体积公式运算求解.

7．【答案】C

【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理

【解析】【解答】解：对A：因为 ，， 则，，
可得，
所以，故A正确；

对B：过点E作，交DB于点F，则，
 

因为 ，则，所以，即，

所以，故B正确；

对D：因为，

所以

，故D正确；

对C：因为，，

所以，则，

所以，可得，

所以，故C错误.

故答案为：C.

【分析】对A：根据题意结合三角形的面积公式分析判断；对B：过点E作，交DB于点F，根据平行线的性质分析判断；对C、D：根据题意结合向量的线性运算分析判断.

8．【答案】A

【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式

【解析】【解答】解：开关A，B所在的分支不通电的概率为，

开关C，D所在的分支不通电的概率为，

所以灯亮的概率为.

故答案为：A.

【分析】先根据题意求出灯不亮的概率，再结合对立事件运算求解.

9．【答案】A,C

【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数

【解析】【解答】解：设，则，

因为，即，

整理得，则，解得，
则，

所以，故A，C正确，B，D错误.

故答案为：AC.

【分析】设，根据复数的相等和相关运算可得，进而逐项分析判断.

10．【答案】A,B,C

【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征

【解析】【解答】解：将数据从小到大排序依次为3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65（单位：cm），

对A：极差为cm，故A正确；

对B：众数为3.62cm，故B正确；

对C：中位数为cm，故C正确；

对D：因为，所以铁棍的长度的第80百分位数为从小到大排列的第7个数，是3.64cm，故D错误.

故答案为：ABC.

【分析】先将数据从小到大排序，利用极差、众数、中位数、百分位数的概念逐项分析判断.

11．【答案】A,B,D

【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量数量积的性质；数量积表示两个向量的夹角

【解析】【解答】解：对A：设的夹角为，则，
且，所以，故A正确；

对B：因为，解得，故B正确；

对C：若 ，则存在唯一实数，使得，即，

因为不共线，所以，这样的不存在，故C错误；

对D：设D为AB的中点，则，

所以，故D正确.

故答案为：ABD.

【分析】对A：根据题意结合平面向量夹角公式进行求解；对B：根据题意列式解出；对C：根据向量平行的判定定理分析运算；对D：根基向量的线性运算可得，结合模长公式运算求解.

12．【答案】A,B,C

【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质

【解析】【解答】解：对于A：因为平面平面，平面平面，平面平面，

所以，故A正确；

对于B：因为点P与点Q和点M与点S分别关于平面对称，可得，故B正确；

延长SM与DA的延长线交于E，再连接PE，PE与交点为N，同理确定R，
 

因为，则，

因为，则，

因为，点P为的中点，所以，

同理可得，，所以，
因为平面ABCD，可知MN与平面ABCD所成的角为，

又因为，所以MN与平面ABCD所成的角的正切值为，故C正确；

对于D：取EM的中点为G，连接AG，NG，过A作于点H，
因为，所以，

又因为，且平面NAG，所以平面NAG，

因为平面EMN，所以平面平面NAG，

又因为，平面NAG，且平面平面，

所以平面EMN，

又由，利用等面积法可得，故D错误.

故答案为：ABC.

【分析】对A：根据面面平行的性质定理分析判断；对B：根据对称性分析判断；对C：延长SM与DA的延长线交于E，再连接PE，PE与交点为N和R，所以MN与平面ABCD所成的角为；对D：取EM的中点为G，连接AG，NG，过A作于点H，证得平面EMN，利用等面积法运算求解.

13．【答案】21.4

【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数

【解析】【解答】解：由题意可得：各组的频率依次为，
可得估计该校100名天文爱好者的平均岁数为：.

故答案为：21.4.

【分析】先得各组的频率，根据平均数的计算公式运算求解即可.

14．【答案】

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量

【解析】【解答】解：由题意可得：

所以在上投影向量.

故答案为：.

【分析】先根据向量的坐标运算，再根据投影向量求解公式运算求解.

15．【答案】

【知识点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】解：由题意可知：取出的6组数分别为，
其中满足的有3组，
所以的概率为．

故答案为：.

【分析】先列举所有的基本事件，根据古典概型的概率计算公式运算求解.

16．【答案】

【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体

【解析】【解答】解：如图所示，将三棱锥补形为长方体，可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

设，则，解得，

则长方体的对角线，即长方体的外接球的半径为，

即三棱锥的外接球半径为，则三棱锥外接球的体积为，

又因为三棱锥的体积为，

所以三棱锥的外接球与三棱锥的体积之比为，

故答案为：.

【分析】将三棱锥补形为长方体，进而可求长方体的长，宽，高，以及外接球半径，结合体积公式运算求解.

17．【答案】（1）解：因为，所以，

，

所以，，

因为，

所以不成立

（2）解：因为，

因为，所以，

所以点P所在区域的面积为

【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用；复数在复平面中的表示；复数的模；平面向量垂直的坐标表示

【解析】【分析】(1)先根据复数的四则运算可得，再根据复数的几何意义可得的坐标，然后计算判断即可；
(2)先根据（1）中结果求出对应的复数，再由可求出的范围，结合几何意义运算求解.

18．【答案】（1）证明：因为E，F分别为，的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面

（2）证明：因为，E为的中点，所以，

因为，，

所以平面，

因为平面，

所以.

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质

【解析】【分析】(1)根据三角形中位线可得，进而结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据线面垂直的判定定理证明平面PDC，再根据线面垂直的性质可得.

19．【答案】（1）解：，

（2）解：因为

，

即，所以，

因为，，所以，

所以的平均值为

【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差

【解析】【分析】(1)根据题意结合平均数、方差的公式运算求解；
(2)根据方差公式可得公式，进而计算即可.

20．【答案】（1）解：因为，，

所以.

由正弦定理，得，

所以

（2）解：设，在三角形与三角形中分别使用余弦定理得，

，，

即①，②，

①×2＋②得，，

因为，所以，解得，

即的长为1.

【知识点】三角函数的化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算

【解析】【分析】(1)先根据三角恒等变换求的值，再利用正弦定理求的周长；
(2)设，根据互补结合余弦定理列方程求解即可得x的值.

21．【答案】（1）解：连接，以点F为空间坐标系的原点，直线，，分别为轴、轴和轴建立空间坐标系，如图所示，

因为正六棱柱中，底面棱长为2，高为，P，Q分别为，的中点，可得，，，，

所以，，

所以，所以所成角的余弦值为

（2）解：连接，取的中点为S，连接.

由正六棱柱的几何性质得，，

又因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面，

又因为平面，为的中点，所以，

因为平面平面，所以平面，

即为平面的法向量，

由，，所以，

因为，所以，

因为，所以，

，

设平面的法向量为，则，

取，可得，所以，

所以，

令，

当，即时，；

当时，，

因为，所以，所以，

当且仅当时，，

综上所述，可得

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；异面直线；与二面角有关的立体几何综合题

【解析】【分析】(1)连接FB，以点F为空间坐标系的原点，建立空间坐标系，利用空间向量求线线夹角；
(2)连接AC，取的中点为S，连接AS，可得平面，得到为平面的法向量，设，求得平面FER的法向量为，结合向量的夹角公式结合二次函数的性质运算求解.

22．【答案】（1）解：在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为，

所以甲在第一轮得最高分（即60分）的概率为，

在A类的4个问题中，乙只能答对3个问题，

设这4个问题分别为a，b，c，d，乙只会回答其中的a，b，c，

从中随机选三个问题所得的4个样本点为：a，b，c；a，b，d；a，c，d；b，c，d，

得60分的一个样本点为a，b，c，所以乙在第一轮得最高分（即60分）的概率为.

（2）解：甲在第一轮的得分可能为0，20，40，60，乙在第一轮的得分可能为40，60.

把甲在第一轮选择的3个问题分别记为e，f，g，答对分别记为E，F，G，

所以甲在第一轮得40分的概率为

，

甲在第一轮得60分的概率为，

甲在第二轮得分分类如下：

选10分和20分的题所得分数为10分和30分，

选10分和30分的题所得分数为10分和40分，

选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，

所以甲两轮的总积分不低于90分的概率为

.

由（1）得，乙在第一轮得40分的概率为，乙在第一轮得60分的概率为，

乙在第二轮得分分类如下：

选10分和20分的题所得分数为0分、10分、20分和30分，

选10分和30分的题所得分数为0分、10分、30分和40分，

选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，

所以乙两轮的总积分不低于90分的概率为

.

因为，所以乙晋级复赛的概率更大.

【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；概率的应用；并（和）事件与交（积）事件

【解析】【分析】(1)根据相互独立事件求甲在第一轮得最高分的概率，利用古典概型求得乙在第一轮得最高分的概率；
(2)根据互斥事件和对立事件分别计算出甲和乙晋级复赛的概率，进而分析判断.