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2022-2023学年湖南省名校联考联合体高一（下）入学数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省名校联考联合体高一（下）入学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={1,2,3}，B={x|−2 2A. {−2,−1,0,1,2,3}B. {−2,−1,0,1,2}
C. {1,2,3}D. {1,2}
2.已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是( )
A. 1B. 4C. 2D.
3.函数y=lga(x−4)+2(a>0且a≠1)恒过定点( )
A. (4,2)B. (4,0)C. (5,0)D. (5,2)
4.函数f(x)=(12)x−sinx在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.为了得到函数y=csx5，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y=csx，x∈R上所有的点的( )
A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D. 纵坐标伸长到原来的15倍，横坐标不变
6.福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(ωx+φ)+k，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A. 5B. 6C. 8D. 10
7.已知函数f(x)满足f(2x)=lg2x，则f(16)=( )
A. −1B. 1C. 2D. 4
8.已知函数f(x)=(1−2a)x+3a,x<12x−1,x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A. [0,12)B. (−∞,12)C. (−∞,0)D. [0,2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若幂函数f(x)=(m2+m−11)xm−1在(0,+∞)上单调递减，则( )
A. m=3B. f(−1)=1C. m=−4D. f(−1)=−1
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则下列说法正确的是( )
A. f(0)=0
B. f(x)为奇函数
C. f(x)在区间[m,n]上有最大值f(n)
D. f(x−1)+f(x2−1)>0的解集为{x|−211.关于函数f(x)=lgx2+1|x|(x≠0)，有下列结论，其中正确的是( )
A. 其图象关于y轴对称
B. f(x)的最小值是lg2
C. 当x>0时，f (x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数
D. f(x)的增区间是 (−1,0)，(1,+∞)
12.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯.则函数y=sinx+12sin2x+13sin3x的周期不可能为( )
A. πB. 2πC. 23πD. π2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.ln1e+20= ______ ．
14.如果csα=15，且α是第四象限的角，那么sin2α= ______ ．
15.已知f(x)=ex−e−x+2022，若f(a)=2，则f(−a)= ______ ．
16.在R上定义运算：a⊗b=(a−1)(b+1).已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m−x)⊗(m+x)<0成立，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知不等式
的解集是集合A，函数f(x)=lg[x2−(2a+1)x+a2+a]的定义域是集合B．
(1)分别求集合A，B；
(2)若x∈B是x∈A成立的必要不充分条件，试求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m−1)2xm2−4m+2在(0,+∞)上单调递增．
(1)求m的值；
(2)若a>0，b>0，且a+b=m+1，求ba+4b的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−2x．
(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
(2)若对∀x∈(−∞,0)，不等式f(2x)≤m⋅2x−5恒成立，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知f(x)=x2−4|x−a|+5是定义在R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)若关于x的方程f(x)+m=0有2个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万元，G(x)=240−3x,025．
(1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式(利润=销售收入−成本)；
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．
22.(本小题12分)
如图，一质点在以O为圆心，2为半径的圆周上逆时针匀速运动，角速度为ω(ω>0)，初始位置为P0，∠P0OT=π12，x秒后转动到点P(a,b).设f(x)= 3a+b．
(1)求f(x)的解析式，并化简为最简形式；
(2)如果曲线y=f(x)与直线y=2 3的两个相邻交点间的距离为4π3，求ω的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={1,2,3}，B={x|−2 2则A∩B={1,2}．
故选：D．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基本知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据扇形的面积公式，解得θ=4．
故选：B．
直接利用扇形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：扇形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
3.【答案】D
【解析】解：由于lga1=0(a>0且a≠1)，
则函数y=lga(x−4)+2(a>0且a≠1)恒过定点(5,2)．
故选：D．
由对数函数的性质即可得解．
本题考查对数函数的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：令f(x)=0，则(12)x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数
y=(12)x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：
由图知交点个数是2．
故选：B．
利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．本题先由已知条件转化为确定f(x)的解析式，再利用数形结合的方法判断方程根的个数．
5.【答案】A
【解析】【分析】
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，由横坐标伸缩变换，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
【解答】
解：将函数y=csx图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y=cs15x的图象．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：从图象可以看出，函数y=3sin(ωx+φ)+k最小值为2，
即当sin(ωx+φ)=−1时，函数取得最小值，即−3+k=2，解得：k=5，
所以y=3sin(ωx+φ)+5，
当sin(ωx+φ)=1时，函数取得最大值，ymax=3+5=8，这段时间水深(单位：m)的最大值为8m．
故选：C．
从图象中的最小值入手，求出k=5，进而求出函数的最大值，即为答案．
本题主要考查三角函数最值的求解，利用图象求出三角函数的解析式是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)满足f(2x)=lg2x，且f(16)=f(24)，
∴f(16)=f(24)=lg24=2，
故选：C．
根据16=24，代入求解即可．
本题主要考查函数值的求解，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为y=2x−1在[1,+∞)上单调递增，
所以当x≥1时，y=2x−1≥20=1，
若函数f(x)的值域为R，
则1−2a>01−2a+3a≥1，
解得0≤a<12．
故选：A．
先求出y=2x−1在[1,+∞)上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．
本题考查分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】CD
【解析】解：因为幂函数f(x)=(m2+m−11)xm−1在(0,+∞)上单调递减，
所以，m2+m−11=1m−1<0，
解得m=−4，
故f(x)=x−5，
所以f(−1)=−1．
故选：CD．
根据幂函数的定义和性质可得m2+m−11=1m−1<0，解之即可．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A选项，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，可得f(0)=2f(0)，解得f(0)=0，A选项正确；
对于B选项，由于函数f(x)的定义域为R，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，
所以f(−x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取x1，x2∈R，且x10，
所以f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，
则函数f(x)在R上为减函数，所以f(x)在区间[m,n]上有最小值f(n)，C选项错误；
对于D选项，由f(x−1)+f(x2−1)>0，可得f(x2−1)>−f(x−1)=f(1−x)，
又函数f(x)在R上为减函数，则x2−1<1−x，
整理得x2+x−2<0，解得−2故选：AB．
令x=y=0可判断A选项；
令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，得到f(−x)=−f(x)可判断B选项；
任取x1，x2∈R，且x10，根据单调性的定义得到函数f(x)在R上的单调性，可判断C选项；
由f(x−1)+f(x2−1)>0可得f(x2−1)>−f(x−1)=f(1−x)，结合函数f(x)在R上的单调性可判断D选项．
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性及利用这些性质解不等式，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=lgx2+1|x|(x≠0)，是偶函数，所以A正确；
函数f(x)=lgx2+1|x|=lg(|x|+1|x|)≥lg(2 |x|⋅1|x|)=lg2.当且仅当x=1时，取得最小值，所以B正确；
函数的单调增区间为：(−1,0)，(1,+∞)．
所以C不正确，D正确；
故选：ABD．
判断函数的奇偶性，结合基本不等式，求解单调区间，即可判断结果．
本题考查命题的真假的判断，函数的单调性求解函数的奇偶性的应用，是基本知识的考查．
12.【答案】ACD
【解析】解：由y=f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x，
对A：f(x+π)=sin(x+π)+12sin[2(x+π)]+13sin[3(x+π)]≠f(x)，故A不可能；
对B：f(x+2π)=sin(x+2π)+12sin[2(x+2π)]+13sin[3(x+2π)]=sinx+12sin2x+13sin3x=f(x)，故B可能；
对C：f(x+23π)=sin(x+23π)+12sin[2(x+23π)]+13sin[3(x+23π)]≠f(x)，故C不可能；
对D：f(x+π2)=sin(x+π2)+12sin[2(x+π2)]+13sin[3(x+π2)]≠f(x)，故D不可能；
故选：ACD．
函数的周期性可由f(x+T)=f(x)，结合选项和诱导公式一一验证即可求解．
本题主要考查三角函数的周期，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】0
【解析】解：原式=lne−1+1=−1+1=0．
故答案为：0．
进行对数和指数的运算即可．
本题考查了对数和指数的运算，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】−4 625
【解析】解：由于csα=15，且α是第四象限的角，则sinα=− 1−cs2α=−2 65，
所以sin2α=2sinαcsα=2×(−2 65)×15=−4 625．
故答案为：−4 625．
根据给定条件，利用同角公式及二倍角正弦公式计算作答．
本题考查同角三角函数的平方关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
15.【答案】4042
【解析】解：∵f(x)=ex−e−x+2022，
∴f(x)+f(−x)=ex−e−x+2022+e−x−ex+2022=4044，
又f(a)=2，
∴f(−a)=4044−2=4042．
故答案为：4042．
依题意，得f(x)+f(−x)=4044，由f(a)=2，可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查整体思想与运算能力，属于基础题．
16.【答案】(−3,3)
【解析】解：由定义知，存在1≤x≤2，(m−x)⊗(m+x)<0成立，
即(m−x−1)(m+x+1)<0，
即(x−m+1)(x+m+1)>0，
即存在1≤x≤2，使得x2+2x+1>m2成立，
因为函数y=x2+2x+1在1≤x≤2上单调递增，
所以当x=2时y有最大值等于ymax=9，所以9>m2，
即m2−9<0，解得−3故答案为：(−3,3)．
根据题中给出的新定义得到一元二次不等式，根据不等式能成立的含义求解．
本题考查不等式的解法及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵，即，解得x>2或x≤−1，
∴A={x|x≤−1或x>2}，
∵函数g(x)=lg[x2−(2a+1)x+a2+a]的定义域是集合B，
∴B={x|x2−(2a+1)x+a2+a>0}={x|xa+1}；
(2)∵A={x|x≤−1或x>2}，B={x|xa+1}，
由x∈B是x∈A成立的必要不充分条件，得A⊆B，
∴，解得−1∴实数a的取值范围是(−1,1]．
【解析】(1)结合不等式的解法，求出集合A，由函数g(x)=lg[x2−(2a+1)x+a2+a]的定义域能求出集合B．
(2)根据已知条件，推得A⊆B，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的定义域、子集等基础知识，是基础题．
18.【答案】解．(1)由幂函数的定义得：(m−1)2=1，⇒m=0或m=2，
当m=2时，f(x)=x−2在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当m=0时，f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增，符合题意；
综上可知：m=0．
(2)a+b=m+1=1，
ba+4b=ba+4(a+b)b=ba+4ab+4≥2 4+4=8
当且仅当ba=4ab且a+b=1时，即a=13b=23时，ba+4b的最小值为8．
【解析】(1)由幂函数的定义和性质能求出m．
(2)a+b=m+1=1，ba+4b=ba+4(a+b)b=ba+4ab+4，利用基本不等式能求出ba+4b的最小值．
本题考查幂函数的定义和性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)证明：设0因为00，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
(2)f(2x)≤m⋅2x−5即为2x−22x≤m⋅2x−5，
化为m−1≥5−2⋅2−x2x=−2(2x)2+52x在x<0时恒成立，
由y=−2(2x)2+52x=−2(12x−54)2+258，当2x=45，即x=lg245<0时，y取得最大值258．
所以m−1≥258，即m≥338，
则m的取值范围是[338,+∞)．
【解析】本题考查函数的单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
(1)由单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、下结论等步骤；
(2)运用参数分离和指数函数的值域、配方法和二次函数的最值求法，可得所求取值范围．
20.【答案】解：(1)由偶函数性质可得f(x)=f(−x)，
故x2−4|x−a|+5=(−x)2−4|−x−a|+5，即|x−a|=|x+a|，故a=0．
(2)由(1)可得f(x)=x2−4|x|+5=x2−4x+5,x≥0x2+4x+5,x<0，
且当x=±2时，f(x)取得最小值22−4×2+5=1，且f(0)=5．
故若关于x的方程f(x)+m=0，即f(x)=−m有2个不相等的实数根，
则−m=1或−m>5，即m=−1或m<−5．
故实数m的取值范围为(−∞,−5)∪{−1}．
【解析】(1)根据偶函数满足f(x)=f(−x)求解即可；
(2)数形结合分析f(x)=−m的根为2时的情况即可．
本题考查函数性质的综合运用以及函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)当0当x>25时，S=x(70+3000x−9000x2)−30−80x=−10x−9000x+2970，
∴年利润S=−3x2+160x−30,025；
(2)当0所以S在(0,25]上单调递增，
所以当x=25时，Smax=−3×252+160×25−30=2095；
当x>25时，S=−10x−9000x+2970≤2970−2 10x⋅9000x=2370，
当且仅当x=30时，等号成立，此时Smax=2370，
因为2370>2095，所以x=30，Smax=2370，
故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元．
【解析】本题主要考查分段函数模型及其应用，函数最值的求解等知识，属于中等题．
(1)根据利润=销售收入−成本，即可得解；
(2)分025两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的S的最大值，再比较大小，即可得解．
22.【答案】解：(1)由题意知，a=2cs(ωx−π12)，b=2sin(ωx−π12)，
所以f(x)= 3a+b=2 3cs(ωx−π12)+2sin(ωx−π12)
=4sin(ωx−π12+π3)=4sin(ωx+π4).
(2)由f(x)=4sin(ωx+π4)=2 3，得sin(ωx+π4)= 32，
所以ωx+π4=2kπ+π3，k∈Z或ωx+π4=2kπ+2π3，k∈Z，
即x=2kπω+π12ω或x=2kπω+5π12ω，k∈Z
由5π12ω−π12ω=4π3，得ω=14；
由π12ω+2πω−5π12ω=4π3，得ω=54，
综上，ω=14或54．
【解析】本题考查三角函数的综合，熟练掌握正弦函数的图象与性质，三角函数的定义，辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)由三角函数的定义表示出a和b，代入f(x)的解析式中，并利用辅助角公式进行化简，即可；
(2)令f(x)=4sin(ωx+π4)=2 3，求得x，再分5π12ω−π12ω=4π3和π12ω+2πω−5π12ω=4π3，两种情况求解即可．
1.已知集合A={1,2,3}，B={x|−2 2
C. {1,2,3}D. {1,2}
2.已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是( )
A. 1B. 4C. 2D.
3.函数y=lga(x−4)+2(a>0且a≠1)恒过定点( )
A. (4,2)B. (4,0)C. (5,0)D. (5,2)
4.函数f(x)=(12)x−sinx在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.为了得到函数y=csx5，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y=csx，x∈R上所有的点的( )
A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D. 纵坐标伸长到原来的15倍，横坐标不变
6.福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(ωx+φ)+k，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A. 5B. 6C. 8D. 10
7.已知函数f(x)满足f(2x)=lg2x，则f(16)=( )
A. −1B. 1C. 2D. 4
8.已知函数f(x)=(1−2a)x+3a,x<12x−1,x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A. [0,12)B. (−∞,12)C. (−∞,0)D. [0,2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若幂函数f(x)=(m2+m−11)xm−1在(0,+∞)上单调递减，则( )
A. m=3B. f(−1)=1C. m=−4D. f(−1)=−1
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则下列说法正确的是( )
A. f(0)=0
B. f(x)为奇函数
C. f(x)在区间[m,n]上有最大值f(n)
D. f(x−1)+f(x2−1)>0的解集为{x|−2
A. 其图象关于y轴对称
B. f(x)的最小值是lg2
C. 当x>0时，f (x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数
D. f(x)的增区间是 (−1,0)，(1,+∞)
12.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯.则函数y=sinx+12sin2x+13sin3x的周期不可能为( )
A. πB. 2πC. 23πD. π2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.ln1e+20= ______ ．
14.如果csα=15，且α是第四象限的角，那么sin2α= ______ ．
15.已知f(x)=ex−e−x+2022，若f(a)=2，则f(−a)= ______ ．
16.在R上定义运算：a⊗b=(a−1)(b+1).已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m−x)⊗(m+x)<0成立，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知不等式
的解集是集合A，函数f(x)=lg[x2−(2a+1)x+a2+a]的定义域是集合B．
(1)分别求集合A，B；
(2)若x∈B是x∈A成立的必要不充分条件，试求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m−1)2xm2−4m+2在(0,+∞)上单调递增．
(1)求m的值；
(2)若a>0，b>0，且a+b=m+1，求ba+4b的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−2x．
(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
(2)若对∀x∈(−∞,0)，不等式f(2x)≤m⋅2x−5恒成立，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知f(x)=x2−4|x−a|+5是定义在R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)若关于x的方程f(x)+m=0有2个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万元，G(x)=240−3x,0
(1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式(利润=销售收入−成本)；
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．
22.(本小题12分)
如图，一质点在以O为圆心，2为半径的圆周上逆时针匀速运动，角速度为ω(ω>0)，初始位置为P0，∠P0OT=π12，x秒后转动到点P(a,b).设f(x)= 3a+b．
(1)求f(x)的解析式，并化简为最简形式；
(2)如果曲线y=f(x)与直线y=2 3的两个相邻交点间的距离为4π3，求ω的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={1,2,3}，B={x|−2 2
故选：D．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基本知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据扇形的面积公式，解得θ=4．
故选：B．
直接利用扇形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：扇形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
3.【答案】D
【解析】解：由于lga1=0(a>0且a≠1)，
则函数y=lga(x−4)+2(a>0且a≠1)恒过定点(5,2)．
故选：D．
由对数函数的性质即可得解．
本题考查对数函数的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：令f(x)=0，则(12)x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数
y=(12)x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：
由图知交点个数是2．
故选：B．
利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．本题先由已知条件转化为确定f(x)的解析式，再利用数形结合的方法判断方程根的个数．
5.【答案】A
【解析】【分析】
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，由横坐标伸缩变换，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
【解答】
解：将函数y=csx图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y=cs15x的图象．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：从图象可以看出，函数y=3sin(ωx+φ)+k最小值为2，
即当sin(ωx+φ)=−1时，函数取得最小值，即−3+k=2，解得：k=5，
所以y=3sin(ωx+φ)+5，
当sin(ωx+φ)=1时，函数取得最大值，ymax=3+5=8，这段时间水深(单位：m)的最大值为8m．
故选：C．
从图象中的最小值入手，求出k=5，进而求出函数的最大值，即为答案．
本题主要考查三角函数最值的求解，利用图象求出三角函数的解析式是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)满足f(2x)=lg2x，且f(16)=f(24)，
∴f(16)=f(24)=lg24=2，
故选：C．
根据16=24，代入求解即可．
本题主要考查函数值的求解，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为y=2x−1在[1,+∞)上单调递增，
所以当x≥1时，y=2x−1≥20=1，
若函数f(x)的值域为R，
则1−2a>01−2a+3a≥1，
解得0≤a<12．
故选：A．
先求出y=2x−1在[1,+∞)上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．
本题考查分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】CD
【解析】解：因为幂函数f(x)=(m2+m−11)xm−1在(0,+∞)上单调递减，
所以，m2+m−11=1m−1<0，
解得m=−4，
故f(x)=x−5，
所以f(−1)=−1．
故选：CD．
根据幂函数的定义和性质可得m2+m−11=1m−1<0，解之即可．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A选项，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，可得f(0)=2f(0)，解得f(0)=0，A选项正确；
对于B选项，由于函数f(x)的定义域为R，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，
所以f(−x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取x1，x2∈R，且x1
所以f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，
则函数f(x)在R上为减函数，所以f(x)在区间[m,n]上有最小值f(n)，C选项错误；
对于D选项，由f(x−1)+f(x2−1)>0，可得f(x2−1)>−f(x−1)=f(1−x)，
又函数f(x)在R上为减函数，则x2−1<1−x，
整理得x2+x−2<0，解得−2
令x=y=0可判断A选项；
令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，得到f(−x)=−f(x)可判断B选项；
任取x1，x2∈R，且x1
由f(x−1)+f(x2−1)>0可得f(x2−1)>−f(x−1)=f(1−x)，结合函数f(x)在R上的单调性可判断D选项．
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性及利用这些性质解不等式，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=lgx2+1|x|(x≠0)，是偶函数，所以A正确；
函数f(x)=lgx2+1|x|=lg(|x|+1|x|)≥lg(2 |x|⋅1|x|)=lg2.当且仅当x=1时，取得最小值，所以B正确；
函数的单调增区间为：(−1,0)，(1,+∞)．
所以C不正确，D正确；
故选：ABD．
判断函数的奇偶性，结合基本不等式，求解单调区间，即可判断结果．
本题考查命题的真假的判断，函数的单调性求解函数的奇偶性的应用，是基本知识的考查．
12.【答案】ACD
【解析】解：由y=f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x，
对A：f(x+π)=sin(x+π)+12sin[2(x+π)]+13sin[3(x+π)]≠f(x)，故A不可能；
对B：f(x+2π)=sin(x+2π)+12sin[2(x+2π)]+13sin[3(x+2π)]=sinx+12sin2x+13sin3x=f(x)，故B可能；
对C：f(x+23π)=sin(x+23π)+12sin[2(x+23π)]+13sin[3(x+23π)]≠f(x)，故C不可能；
对D：f(x+π2)=sin(x+π2)+12sin[2(x+π2)]+13sin[3(x+π2)]≠f(x)，故D不可能；
故选：ACD．
函数的周期性可由f(x+T)=f(x)，结合选项和诱导公式一一验证即可求解．
本题主要考查三角函数的周期，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】0
【解析】解：原式=lne−1+1=−1+1=0．
故答案为：0．
进行对数和指数的运算即可．
本题考查了对数和指数的运算，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】−4 625
【解析】解：由于csα=15，且α是第四象限的角，则sinα=− 1−cs2α=−2 65，
所以sin2α=2sinαcsα=2×(−2 65)×15=−4 625．
故答案为：−4 625．
根据给定条件，利用同角公式及二倍角正弦公式计算作答．
本题考查同角三角函数的平方关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
15.【答案】4042
【解析】解：∵f(x)=ex−e−x+2022，
∴f(x)+f(−x)=ex−e−x+2022+e−x−ex+2022=4044，
又f(a)=2，
∴f(−a)=4044−2=4042．
故答案为：4042．
依题意，得f(x)+f(−x)=4044，由f(a)=2，可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查整体思想与运算能力，属于基础题．
16.【答案】(−3,3)
【解析】解：由定义知，存在1≤x≤2，(m−x)⊗(m+x)<0成立，
即(m−x−1)(m+x+1)<0，
即(x−m+1)(x+m+1)>0，
即存在1≤x≤2，使得x2+2x+1>m2成立，
因为函数y=x2+2x+1在1≤x≤2上单调递增，
所以当x=2时y有最大值等于ymax=9，所以9>m2，
即m2−9<0，解得−3
根据题中给出的新定义得到一元二次不等式，根据不等式能成立的含义求解．
本题考查不等式的解法及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵，即，解得x>2或x≤−1，
∴A={x|x≤−1或x>2}，
∵函数g(x)=lg[x2−(2a+1)x+a2+a]的定义域是集合B，
∴B={x|x2−(2a+1)x+a2+a>0}={x|x
(2)∵A={x|x≤−1或x>2}，B={x|x
由x∈B是x∈A成立的必要不充分条件，得A⊆B，
∴，解得−1
【解析】(1)结合不等式的解法，求出集合A，由函数g(x)=lg[x2−(2a+1)x+a2+a]的定义域能求出集合B．
(2)根据已知条件，推得A⊆B，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的定义域、子集等基础知识，是基础题．
18.【答案】解．(1)由幂函数的定义得：(m−1)2=1，⇒m=0或m=2，
当m=2时，f(x)=x−2在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当m=0时，f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增，符合题意；
综上可知：m=0．
(2)a+b=m+1=1，
ba+4b=ba+4(a+b)b=ba+4ab+4≥2 4+4=8
当且仅当ba=4ab且a+b=1时，即a=13b=23时，ba+4b的最小值为8．
【解析】(1)由幂函数的定义和性质能求出m．
(2)a+b=m+1=1，ba+4b=ba+4(a+b)b=ba+4ab+4，利用基本不等式能求出ba+4b的最小值．
本题考查幂函数的定义和性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)证明：设0
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)
(2)f(2x)≤m⋅2x−5即为2x−22x≤m⋅2x−5，
化为m−1≥5−2⋅2−x2x=−2(2x)2+52x在x<0时恒成立，
由y=−2(2x)2+52x=−2(12x−54)2+258，当2x=45，即x=lg245<0时，y取得最大值258．
所以m−1≥258，即m≥338，
则m的取值范围是[338,+∞)．
【解析】本题考查函数的单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
(1)由单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、下结论等步骤；
(2)运用参数分离和指数函数的值域、配方法和二次函数的最值求法，可得所求取值范围．
20.【答案】解：(1)由偶函数性质可得f(x)=f(−x)，
故x2−4|x−a|+5=(−x)2−4|−x−a|+5，即|x−a|=|x+a|，故a=0．
(2)由(1)可得f(x)=x2−4|x|+5=x2−4x+5,x≥0x2+4x+5,x<0，
且当x=±2时，f(x)取得最小值22−4×2+5=1，且f(0)=5．
故若关于x的方程f(x)+m=0，即f(x)=−m有2个不相等的实数根，
则−m=1或−m>5，即m=−1或m<−5．
故实数m的取值范围为(−∞,−5)∪{−1}．
【解析】(1)根据偶函数满足f(x)=f(−x)求解即可；
(2)数形结合分析f(x)=−m的根为2时的情况即可．
本题考查函数性质的综合运用以及函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)当0
∴年利润S=−3x2+160x−30,0
(2)当0
所以当x=25时，Smax=−3×252+160×25−30=2095；
当x>25时，S=−10x−9000x+2970≤2970−2 10x⋅9000x=2370，
当且仅当x=30时，等号成立，此时Smax=2370，
因为2370>2095，所以x=30，Smax=2370，
故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元．
【解析】本题主要考查分段函数模型及其应用，函数最值的求解等知识，属于中等题．
(1)根据利润=销售收入−成本，即可得解；
(2)分0
22.【答案】解：(1)由题意知，a=2cs(ωx−π12)，b=2sin(ωx−π12)，
所以f(x)= 3a+b=2 3cs(ωx−π12)+2sin(ωx−π12)
=4sin(ωx−π12+π3)=4sin(ωx+π4).
(2)由f(x)=4sin(ωx+π4)=2 3，得sin(ωx+π4)= 32，
所以ωx+π4=2kπ+π3，k∈Z或ωx+π4=2kπ+2π3，k∈Z，
即x=2kπω+π12ω或x=2kπω+5π12ω，k∈Z
由5π12ω−π12ω=4π3，得ω=14；
由π12ω+2πω−5π12ω=4π3，得ω=54，
综上，ω=14或54．
【解析】本题考查三角函数的综合，熟练掌握正弦函数的图象与性质，三角函数的定义，辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)由三角函数的定义表示出a和b，代入f(x)的解析式中，并利用辅助角公式进行化简，即可；
(2)令f(x)=4sin(ωx+π4)=2 3，求得x，再分5π12ω−π12ω=4π3和π12ω+2πω−5π12ω=4π3，两种情况求解即可．
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