湖南省名校联考联合体2021-2022学年高二数学上学期期末考试试题（Word版附解析）

名校联考联合体2022年高二元月期末联考

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集、补集运算可得选项.

【详解】解：∵全集，，∴，

又集合，∴，

故选：D.

2. 双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于（    ）

A. 9 B. 17

C. 18 D. 34

【答案】B

【解析】

【分析】利用双曲线的定义直接求解即可

【详解】由，得，

设点P与双曲线另一个焦点的距离为，由定义，得，

故选：B.

3. “”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的几何意义求出实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，

因为，

因此，“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充分不必要条件.

故选：A.

4. 如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2，水面宽4，那么水下降1后，水面宽为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立直角坐标系，利用代入法，结合抛物线的方程进行求解即可.

【详解】如图，以拱顶为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，则该拋物线方程为，依题点在其上，所以，，拋物线方程为.设，则，，所以水面宽为，

故选：D.

5. 如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（    ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量模公式，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.

【详解】∵，∴

，∴，，

故选：C

6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性和对数函数的单调性进行判断即可.

【详解】，，则，

又，∴，

故选：D

7. 如图是最小正周期为的函数的部分图象，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的最小正周期为，求得，再根据函数过点求解.

【详解】因为函数的最小正周期为，即，

所以，

又因为函数过点，

所以，

又因为，

所以，

故选：C.

8. 已知F为抛物线的焦点，过点F作两条直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，若，则四边形ADBE面积的最小值为（    ）

A. 48 B. 32 C. 16 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】依题意，，设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立方程，结合抛物线定义得到两段弦长，进而表示面积，利用均值不等式求最值即可.

【详解】依题意，，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，，，，直线，直线.

联立消去y整理得，

所以，

同理，

从而，当且仅当时等号成立，

故选:B.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知平面上三条直线，，不能构成三角形，则实数k的值可以为（    ）

A.  B.  C. 0 D. 1

【答案】ABC

【解析】

【分析】即找三直线其中两条平行或三线交于一点时实数k的值,

【详解】依题：三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交，

①当直线经过直线与直线的交点时，

，解得.

②当直线与直线平行时，，解得；

当直线与直线平行时，可得，

综上：或或.

故选:ABC.

10. 在正方体中，E，F分别是和的中点，则下列结论错误的是（    ）

A. 平面CEF

B. 平面CEF

C.

D. 点D与点到平面CEF距离相等

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项，线线平行证明线面平行；B选项，建立空间直角坐标系，利用向量解决线面关系；C选项，利用空间向量计算验证；D选项，得到点D与点中点O在，从而证明点D与点的中点O不在平面CEF，进而证明出点D与点到平面CEF的距离不相等.

【详解】对选项A，因为E，F分别是和的中点，故，且平面CEF，平面CEF，故∥平面CEF成立.

选项B，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为2，则，.故.故，不互相垂直.又平面CEF，故平面CEF不成立；

对选项C，利用B选项建立的空间直角坐标系有，，故成立，

选项D，若点D与点到平面CEF的距离相等，则点D与点的中点O在平面CEF上，连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点中点O在上，故点O不在平面CEF上，故D不成立.

故选：BD

11. 已知双曲线经过点，并且它的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则下列结论正确的是（    ）

A. C的离心率为

B. C的渐近线为

C. C的方程为

D. 直线与C有两个公共点

【答案】AC

【解析】

【分析】由已知结合圆的弦长公式及点到直线的距离可知，，再利用双曲线的性质依次判断各个选项.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

圆心到渐近线距离为，

则点到渐近线的距离为，于是，，

对于A，双曲线C的离心率，故A正确；

对于B，由，所以C的渐近线为，故B错误；

对于C，由，双曲线C化为，又点在双曲线上，

所以，所以，.所以双曲线方程为，故C正确；

对于D，联立，消去x得，因为，故D错误.

故选：AC

12. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（    ）

A. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

B. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2

C. 曲线关于直线对称的曲线方程为

D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为

【答案】BCD

【解析】

【分析】A，曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0）；

B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，即可判定；

C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程；

D，利用x2≥y2，比较直线y＝kx的斜率即可判定；

【详解】解：对于A，令，解得：或或，当时，无解.所以曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0），故A错；

对于B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故B正确；

对于C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为（x2+y2）2＝4（y2﹣x2），故C正确；

对于D，据据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知x2≥y2，可得若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故D正确；

故选：BCD．

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，，若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由求得x，再利用求模公式求解.

【详解】因为，

解得，

所以，，

所以.

故答案为：

14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的负半轴上，则该圆的标准方程为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，确定圆经过的三个顶点，设圆心为 ，半径为r,利用点在圆上求解.

【详解】由题意得：圆经过，

设圆心为 ，半径为r，

则 ，

解得 ，

所以圆的方程为.

故答案为：

15. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.

【答案】

【解析】

【分析】求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．

【详解】圆x2+y2+6x+5＝0的圆心为A（﹣3，0），半径为2；

圆x2+y2﹣6x﹣91＝0的圆心为B（3，0），半径为10；

设动圆圆心为M（x，y），半径为x；

则MA＝2+r，MB＝10﹣r；

于是MA+MB＝12＞AB＝6

所以，动圆圆心M的轨迹是以A（﹣3，0），B（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．

a＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；

所以M的轨迹方程为

故答案为

【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆定义的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．

16. 某公司购置了一台价值220元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5％，设备将报废，则d的取值范围为____．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可知，问题可看作一个递减的等差数列，只需保证用了10年还正常，用了11年就报废.

【详解】由题意，该设备的价值是以220为首项，为公差的等差数列，由题意可知：

故答案为：

四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 高考数学特别强调要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（试卷满分为分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了名学生的成绩，按照成绩为、、、分成了组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于分）.

（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的三组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有人被抽到的概率.

【答案】（1），平均数为分，位数为分；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值；

（2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为、、，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【小问1详解】

解：由已知可得，解得，

所抽取的名学生成绩的平均数为（分），

由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，

所以，中位数，由题意可得，解得（分）.

【小问2详解】

解：由（1）可知，后三组中的人数分别为、、，故这三组中所抽取的人数分别为、、，

记成绩在这组的名学生分别为、、，成绩在这组的名学生分别为、，成绩在这组的名学生为，

则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种.

其中后两组中至少有人被抽到包含种结果，故所求概率为.

18. 已知函数.

（1）判断函数的奇偶性并加以证明；

（2），不等式成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）奇函数，证明见解析   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据奇偶性的定义证明，先判断函数定义域，再判断与的关系；（2）将不等式转化为，再根据复合函数单调性的判断方法判断出函数为上的增函数，根据函数的单调性求解不等式，再转化为一元二次不等式恒成立问题求解.

【小问1详解】

函数是奇函数.

证明如下：函数的定义域为，∵，

∴，

所以函数是上的奇函数.

【小问2详解】

由（1）知，等价于，

因为为上的增函数，所以，

即恒成立，所以，解得，所以a的取值范围为.

【点睛】利用函数单调性求解不等式时，一般需要注意先利用奇偶性将不等式变形，再判断对应函数的定义域与单调性，从而化简不等式求解.

19. 在数列中，首项，且满足，其前n项和为.

（1）证明数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式，并判断n，，是否成等差数列？

【答案】（1）证明见解析；   

（2），n，，成等差数列.

【解析】

【分析】（1）根据等比数列的定义，结合已知递推公式进行证明即可；

（2）结合（1）的结论，根据等比数列的通项公式、前n项和公式，利用等差数列的性质进行求解即可.

【小问1详解】

∵，，

又，

∴是首项为，公比为2的等比数列；

【小问2详解】

由（1）知，，∴，∴，

∴，∴.

即n，，成等差数列.

20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）若，的面积为，求a；

（2）若，求C.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；

（2）根据正弦定理，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.

【小问1详解】

∵的面积，

∴，，

由余弦定理：，

∴.

【小问2详解】

由已知，

由正弦定理得，

即，

可得.

由于，所以，

故，.

21. 如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，､，，，PC与AD相交于O，现沿着AD折成四棱锥（如图2）.

（1）当四棱锥的体积最大时，求点B到平面PCD的距离；

（2）在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；   

（2）存在，.

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间距离公式进行求解即可；

（2）利用空间夹角公式进行求解即可.

【小问1详解】

在图1中，在中，，，∴.

易知四边形ABCO为正方形，∴，即O为AD的中点，

在图2中，当四棱锥的体积最大时，

侧面底面ABCD，此时平面ABCD，

以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，

∴，，.

设平面PCD的一个法向量为，

则

取，得.

则B点到平面PCD的距离.

【小问2详解】

假设存在，且设.

∵，∴，∴，

∴.

设平面CAQ的一个法向量为，又，，

则

取，得.

又易知平面CAD的一个法向量为，

∵二面角的余弦值为，

∴，

整理化简，得，解得或（舍去）.

∴线段PD上存在满足题意的点Q，且.

22. 已知椭圆经过点，离心率.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为，证明：直线l过定点.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）点的坐标代入方程，结合离心率椭圆基本量关系，可得解.

（2）设，代入椭圆方程，运用韦达定理及斜率关系找到的关系即可.

【小问1详解】

由，，

椭圆C的方程可化为：，

又，在C上，所以，解得.

故C的方程为.

【小问2详解】

设直线PA与直线PB的斜率分别为，，

如果l与x轴垂直，设l：，由题设知，且，

可得A，B的坐标分别为，.

则，得，不符合题设.

从而可设，设，，

将代入，得，

由题设可知.

则，.

而

.

由题设，故

即.

解得，代入，解得，

此时，即.

所以l过定点.