2023绍兴高二下学期期末数学试题含解析

绍兴市2022学年第二学期高中期末调测

高二数学

注意事项：

1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.

2.全卷满分150分，考试时间120分钟.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知（i是虚数单位），则

A.  B.  C.  D. 2

3. 已知单位向量与互相垂直，且，记与的夹角为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（    ）

A. 9.46倍 B. 31.60倍 C. 36.40倍 D. 47.40倍

5. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名至第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的情况有（    ）

A. 18种 B. 36种 C. 54种 D. 120种

6. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在棱长为正方体中，是侧面内的点，到和的距离分别为和，过点且与平行的直线交正方体表面于另一点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数的定义域为R，且，为奇函数，，则（    ）

A  B.  C. 0 D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：

甲  68  71  72  72  82

乙  66  70  72  78  79

则（    ）

A. 甲组数据的极差小于乙组数据的极差

B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数

C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差

D. 甲组数据的第60百分位数等于乙组数据的第60百分位数

10. 函数的最小正周期为，若，且是图象的一条对称轴，则（    ）

A.  B. 是函数的一个零点

C. 在有个极值点 D. 直线是一条切线

11. 在正三棱台中，是的中心，，，，则（    ）

A.

B. 正三棱台的体积为

C. 正三棱台的外接球的表面积为

D. 侧面所在平面截正三棱台外接球所得截面的面积为

12. 已知，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知，则的最小值是________；

14. 的展开式中的系数是______.（用数字作答）

15. 甲乙两个盒子中装有大小、形状相同红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为______.

16. 已知正顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是______.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17 已知，，.

（1）若，求；

（2）设，求的单调递增区间.

18. 中国电动汽车重大科技项目的研发开始于年，经过一系列的科技攻关以及奥运、世博、“十城千辆”示范平台等应用拉动，中国电动汽车建立起了具有自主知识产权的全产业链技术体系.汽车工业协会的最新数据显示，年中国电动汽车销量达万辆，是年的多倍.某人打算购买一款国产电动汽车，调查了辆该款车的续航里程，得到频率分布表如下：

（1）在图中作出频率分布直方图；

（2）根据（1）中作出的频率分布直方图估计该款车续航里程的众数与平均数.

（同一组中的数据以该组区间的中间值为代表）

19. 在中，内角A，，所对的边分别是，，，且.

（1）求；

（2）若，，且为边的中点，求.

20. 如图，在正四棱锥中，，过点向平面作垂线，垂足为.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值.

21. 为加快绍兴制造强市建设，《中国制造绍兴实施方案》指出，到年，制造业重点领域全面实现智能化，基本实现“绍兴制造”向“绍兴智造”转型升级.某试点企业对现有的生产设备进行技术升级改造，为监测改造效果，近期每天从生产线上随机抽取件产品，并分析某项质量指标.根据长期经验，可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正态分布.

（1）记表示一天内抽取的件产品质量指标在之外的件数，求；

附：若随机变量服从正态分布，则，

（2）下面是一天内抽取的件产品的质量指标：

若质量指标大于被认定为一等品，现从以上件产品中随机抽取件，记为这件产品中一等品的件数，求的分布列和数学期望.

22. 已知函数有两个极值点，.

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：存在实数使得.