2021绍兴高一下学期期末调测数学试题含答案

绍兴市2020学年第二学期高中期末调测

高一数学

注意事项：

1．请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上．本卷答案必须做在答卷相应位置上．

2．全卷满分100分，考试时间120分钟．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则与的关系是（    ）

A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等

3．已知向量，，则（    ）

A．与同向  B．与反向

C．  D．

4．袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，，则

6．如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A．0 B． C． D．

7．若满足，的有且只有一个，则边的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知向量，满足，，l，则在上的投影向量的模长为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）

9．已知是虚数单位，复数，则（    ）

A．的实部为  B．的共轭复数是

C．  D．

10．如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，（    ）

A．若甲、乙射击成绩的平均数分别为，，则

B．若甲、乙射击成绩的方差分别为，，则

C．乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数

D．乙比甲的射击成绩稳定

11．在正方体中，是线段上动点，是的中点，则（    ）

A．平面

B．

C．直线与平面所成角可以是

D．二面角的平面角是

12．在中，，分别是，的中点，且，，则（    ）

A．面积最大值是12 B．

C．不可能是5 D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是________．

14．已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值是________．

15．已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在软件的控制平台，输入“（0：999，20，）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．

16．已知四面体的所有棱长均为4，点满足，则以为球心，为半径的球与四面体表面所得交线总长度为________．

四、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分8分）

已知向量，．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若，求实数的值．

18．（本题满分8分）

如图，在长方体中，，．

（Ⅰ）求长方体的表面积；

（Ⅱ）若是棱的中点，求四棱锥的体积．

19．（本题满分8分）

甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．

（Ⅰ）求甲两次都没有击中目标的概率；

（Ⅱ）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．

20．（本题满分8分）

用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；

（Ⅱ）在区间和内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；

（Ⅲ）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．

21．（本题满分10分）

在中，内角，，的对边分别为，，，且，．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，求的面积；

（Ⅲ）求的最大值．

22．（本题满分10分）

如图，四棱台的底面是矩形，，，，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

2020学年第二学期高中期末调测

高一数学参考答案

一、单项选择题（每小题3分，共24分）

二、多项选择题（每小题全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错或不选的得0分，共12分）

三、填空题（每小题3分，共12分）

13．17      14．      15．      16．

四、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分8分）

解：（Ⅰ）因为，所以，

所以．

（Ⅱ）因为，

所以，

所以，所以，所以．

18．（本题满分8分）

解：（Ⅰ）因为，，

又，

所以，

所以，长方体的表面积为．

（Ⅱ）因为平面，

所以到平面的距离等于到平面的距离，

所以四棱锥的体积为

．

19．（本题满分8分）

解：（Ⅰ）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，

则．

因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件，

所以，所求的概率为

．

（Ⅱ）解法一：设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，

则．

所以，事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为

，

所以，所求的概率为

．

解法二：设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，

则．

所以，甲恰好击中一次目标的概率为

，

乙恰好击中一次目标的概率为

所以，事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标的”概率为．

20．（本题满分8分）

解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在内的成绩占比为70%，在内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于内．

因为，

所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．

（Ⅱ）在区间和内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点个数为

．

记事件 “调查对象来自不同分组”，

则事件包含的样本点个数为，

所以．

（Ⅲ）设男生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，方差为；女生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，方差为；总样本的平均数为，方差为．

由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，

得．

因为

，

又，

同理，所以

．

所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．

21．（本题满分10分）

解：（1）因为，又，

所以，

所以，

所以，

因为，，所以，．

（Ⅱ）因为，所以，

所以，

所以的面积为．

（Ⅲ）由得，

因为，所以，

所以（当且仅当时取等号）．

设，则，且，所以．

设，

则在区间上单调递增，所以的最大值为．

所以，的最大值为．

22．（本题满分10分）

（Ⅰ）证明：因为底面是矩形，所以，

又，，所以平面，

又因为，

所以平面．

（Ⅱ）解：在四棱台中，

延长，，，交于．

因为，，

所以直线，相交，设交点为，连结，．

因为，平面，

又，平面，

所以平面平面，

又，所以平面平面．

过点作，垂足为，连结．

因为平面，平面，

所以平面平面，又平面平面，

所以平面，所以直线与平面所成的角为．

当与重合时，；

当与不重合时，在中，．

所以，，

又因为，

所以，在中，．

所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围是．