2023绍兴奉化区高一下学期期末数学试题含解析

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奉化区2022学年第二学期期末试题
高一数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解作答.
【详解】因为向量，，则
故选：C
2. 复数是纯虚数的充分不必要条件是（ ）
A. 且 B. C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用纯虚数的定义，结合充分条件，、与必要条件的定义即可求得结果.
【详解】因为复数是纯虚数的充要条件是且，
又因为且是且的充分不必要条件，
所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.
故选：C.
3. 水平放置的有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直观图和原图面积比的关系，即得解
【详解】由题意，.
且
故
故选：C
4. 某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则这两件产品都不是合格品的概率为（ ）
A. 2% B. 30% C. 72% D. 26%
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.
【详解】依题意，甲厂产品的不合格率是10%，乙厂产品的不合格率是20%，
任意购买甲、乙厂各一件电子产品，这两件产品都不是合格品的概率为.
故选：A
5. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. ，则 B. ，则
C. ，则 D. ，则
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明判断ABC；利用线面垂直的性质判断D作答.
【详解】对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线，
显然满足，而，此时不成立，A错误；

对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，
显然满足，而，此时不成立，B错误；
对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，
显然满足，而，此时不成立，C错误；
对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确.
故选：D
6. 若数据、、、的平均数是，方差是，数据、、、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】设数据、、、的平均数为，标准差为，利用方差公式和平均数公式可求得结果.
【详解】设数据、、、的平均数为，标准差为，
则，可得，
，可得，
由方差公式可得
，

，解得.
故选：A.
7. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得，推出，则,结合锐角三角形确定B的范围，继而将不等式恒成立转化为恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由可得，
结合,
可得，即，
由于在锐角中，，
故，则,
则,
又，所以恒成立，即恒成立，
即恒成立，
因为，故，令，
则函数在内单调递增，故，
即，
故，
故选：C
【点睛】方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.
8. 均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，求得向量，的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解
【详解】设，
以的方向为正方向，所在直线为轴，垂直于所在直线为 轴，建立平面直角坐标系
均为单位向量，且它们的夹角为45°，则 ，
，设
满足
，设
,故 ，
则，则 的最小值为圆上的点到直线 距离的最小值
其最小值为
故选:C.
【点睛】向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 若复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B.
C. D. 的共轭复数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数的几何意义、复数模的公式、复数的四则运算及共轭复数的定义求解即可.
【详解】由，
在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
的共轭复数，故D正确.
故选：AD.
10. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）

A. 这10天的日均值的80%分位数为60
B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C. 这10天的日均值的中位数为41
D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
【答案】BD
【解析】
【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.
【详解】个数据为：，
，故80%分位数为，A选项错误.
5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确.
中位数是，C选项错误.
根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确.
故选：BD
11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ）
A. 为钝角三角形 B. 为最大的内角
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，根据同角三角函数和两角和与差的余弦公式即可判断；对B和C，利用正弦定理即可判断；对D，利用反证法即可.
【详解】对A，由，得A，C均为锐角，
则，，
因为
，
所以B为锐角，为锐角三角形，A错误.
由，得，
，根据正弦定理得，则，
所以C为最大的内角，故B正确；
对C，根据正弦定理有， 故C正确；
对D，若，，则，，不符合题意，故D错误.
故选：BC.
12. 如图，在多面体中，，，两两垂直，四面体是正四面体，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. 平面 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用勾股定理判断A，将多面体补形成如图所示的正方体，利用正方体的性质判断B，C，连接，即可证明平面，从而判断D.
【详解】对于A：由，，两两垂直，四面体是正四面体，
可得，所以，所以A正确.
将多面体补形成如图所示的正方体，

对于B：因为，分别为，的中点，所以由正方体的性质可得，故B正确.
对于C：易知，平面，所以与平面不平行，故C错误.
对于D：连接，易知，，因为，平面，
所以平面，又平面，所以，故D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 现有三张卡片，分别写有“1”､“2”､“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是奇数的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】计算出三位数个数和其中奇数个数，根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】解：三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：个，其中奇数有：个，
该三位数是奇数的概率：
故答案为：.
14. 如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小值，在中，由余弦定理能求出的值．
【详解】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示：

则即为的周长的最小值，
在中，，，
由余弦定理得：．
故答案为：.
15. 体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，， ，，则球的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出底面三角形的面积，求出的长度后利用余弦定理可求的长，从而可求底面外接圆的半径，再根据公式可求外接球的半径，从而可求外接球的表面积.
【详解】设底面外接圆的半径为，圆心为，连接，则平面.
又，故，
所以，所以，故
由余弦定理可得，故，
所以，故，
取中点为，连接，则，
因为平面，故，而平面，故.
在矩形中，外接圆，
故球的表面积为，
故答案为：.

【点睛】方法点睛：求三棱锥外接球的半径，关键是球心位置的确定，一般地，球心在过底面三角形的外心且垂直于底面的直线上，如果球心的位置不易确定，则可以补体来确定外接球半径满足的关系.
16. 德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，，，
∴，
∴


令，，则，
当时，，
，
，
∴存，使，即，
∴当时，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数.
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据实部为零，虚部不为零列式计算即可；
（2）直接根据实部大于零，虚部小于零列不等式计算即可；
【小问1详解】
，且复数为纯虚数，
，
解得；
【小问2详解】
复数在复平面内对应的点在第四象限，
，
解得.
18. 在中，角所对的边分别，且
（1）求角A的值；
（2）已知在边上，且，求的面积的最大值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化结合和差角关系可得，即可得，进而可求，
（2）根据向量的线性表示以及模长公式可得，结合不等式即可求解最值成立的条件,由面积公式即可求解.
【小问1详解】
在中因为．
由正弦定理得，
所以，
因为，所以．故
又是的内角，所以．从而．
而A为的内角，所以；
【小问2详解】
因为所以,所以，
从而，
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
故的面积的最大值为.
19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，G为中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直判定及性质定理证明即可；
（2）利用线面角的定义，作出线面角，然后在直角三角形中求解即可.
【小问1详解】
因为四边形为正方形，故CD⊥AD，
因为平面，平面，所以，
又平面，故平面，
平面，故CD⊥AG，由知，G为中点，故，
又平面，所以平面；
【小问2详解】
连接，

由（1）可知是在平面内的射影，
所以是与平面所成的角.因为平面，所以.
在中，，，则，
所以，所以，即直线与平面所成角为.
20. 根据空气质量指数（AQI，为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
AQI






级别
一级
二级
三级
四级
五级（A）
五级（B）
现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个AQI数据（每个数据均不同），统计绘得频率分布直方图如图所示．

（1）请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数；
（2）若从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一级”和“五级（B）”数据恰均被选中的概率；
（3）假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与AQI（记为）的关系式为．若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的概率．
【答案】（1）150；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算作答；
（2）对一级和五级（B）的5个数据编号，利用列举法结合古典概率计算作答；
（3）求出经济损失S不超过600元对应值出现的天数即可求解作答.
【小问1详解】
依题意，该城市这30天AQI的平均数为：
．
【小问2详解】
一级有2个数据，记为P、Q，五级（B）有3个数据，记为C、D、E，
从中选取两个有PQ、PC、PD、PE、QC、QD、QE、CD、CE、DE，共10种可能，
一级和五级（B）数据恰均被选中有PC、PD、PE、QC、QD、QE，共6种可能．
记“一级和五级（B）数据恰均被选中”为事件M，则．
【小问3详解】
设“在本月30天中随机抽取一天，该天经济损失不超出600元”为事件N，分两种情况：
当时，，此时概率为；
当时，由，得，
此时概率为．
综上，由互斥事件的概率公式可得．
所以估计这天的经济损失S不超过600元的概率为．
21. 如图，为测量鼓浪屿郑成功雕像的高度及取景点与之间的距离（､､､在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且､､三点共线），某校研究性学习小组同学在､､三点处测得顶点的仰角分别为､､，若，米.

（1）求雕像的高度；
（2）求取景点与之间的距离.
【答案】（1）雕像高度为16米；（2）观景点与之间的距离为32米.
【解析】
【分析】（1）设，在中，由正弦定理得求建筑物的高度；
（2）在中，求出，在中，求出，在中，设，由余弦定理得：，即可求取景点与之间的距离．
【详解】解（1）设，在中，∵，∴
∴
在中，
∴
∴
答：雕像高度为16米
（2）在中，∵，∴
在中，∵，∴，∴
在中，设，∵
∴由余弦定理
∴，∴
，∴，（负数舍去）
答：观景点与之间的距离为32米.
22. 如图，直四棱柱的底面是菱形，是的中点，为线段上一点，，，．

（1）证明：当时，∥平面；
（2）若 ，求二面角的余弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件可证得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）作FMAD于点M，作交于点，连接 ，则可证得为所求二面角的平面角，记为，然后在中求解即可.
【小问1详解】
证明：在矩形中，是的中点，
所以∥ ， ，
又因为为中点，所以∥，，
所以∥， ，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
又因为 平面，平面，
所以∥平面，
【小问2详解】
过作于点，过作交于点，连接 ，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以
所以为所求二面角的平面角，记为，
直四棱柱中，，为的中点，
所以，，同理可得，
在中，，所以，，
又因为，所以∥，
在菱形中，，
所以为等边三角形，取AD中点H，则，
，且
所以所以 ，
在中，，
所以
所以二面角的余弦值为