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第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册章末强化提优训练(含解析)
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2022-2023学年苏科版九年级数学上《第一章一元二次方程》章末强化提优训练
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
4．若关于x的方程x2+2x﹣3＝0与＝有一个解相同，则a的值为（ ）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
5．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a≤2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
6.一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程x(x-9)-13(x-9)=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 20 B. 20或24 C. 9和13 D. 24
7.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1=0有一个根是0，则m取值为（ ）A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D.0
8.已知a，b是方程x2+2023x+1=0的两个根，则（1+2025a+a2）（1+2025b+b2）的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )
A. x2－6＝(10－x)2 B. x2－62＝(10－x)2 C. x2＋6＝(10－x)2 D. x2＋62＝(10－x)2
10. 关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二．填空题(30分)
11. 定义新运算®：对于任意实数a、b都有：a®b=a2+ab，如果3®4=32+3×4=9+12=21，那么方程x®2=0的解为________.
12. 受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2022年6月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，8月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为_______．
13. 若实数a、b满足|b-1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_____________.
14．已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝ ．
15．已知a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，则a+b+c的值是 ．
16．已知（x2+y2）2+6（x2+y2）﹣7＝0，则x2+y2的值为 ．
17. 已知x1和x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3=0的两实数根，x12+x22=22， 则m的值是_________.
18. 方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于______.
19. 设a、b为x2+x﹣2021=0的两个实根，则a3+a2+3a+2024b=________ ．
20.如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________（写出所有正确说法的序号）．
①方程 x2?x?2=0 是倍根方程；②若 (x?2)(mx+n)=0 是倍根方程，则 4m2+5mn+n2=0 ；③若点 在反比例函数 y=2x 的图像上，则关于 x 的方程 px2+3x+q=0 是倍根方程；④若方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线 y=ax2+bx+c 上，则方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 54 ．
三。解答题（60分）
21．（9分）解下列方程：
(1)x2＋2x－3＝0(用配方法)； (2)2x2＋5x－1＝0(用公式法)； (3)x(x－3)＝x－3.
22. （6分）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
23．（6分）如图，学校要用长24米的篱笆围成一个长方形生物园ABCD，EF是ABCD内用篱笆做成的竖直隔断．为了节约材料，场地的一边CD借助原有的一面墙，墙长为12米，长方形生物园ABCD的面积为45平方米，求长方形场地的边AD的长．
24. （9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
25.（8分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
26．（10分）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]
＝[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n＝n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）＝300
整理这个方程，得：n2+n﹣600＝0
解方程得：n1＝24，n2＝﹣25
根据问题中未知数的意义确定n＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
27．（12分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，在1≤x＜15范围内，求第几天时销售利润为368元？
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润至少为221元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
教师样卷
一．选择题(30分）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ A ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ B ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（ D ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
4．若关于x的方程x2+2x﹣3＝0与＝有一个解相同，则a的值为（ C ）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
5．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ B ）
A．a＞2 B．a≤2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
6.一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程x(x-9)-13(x-9)=0的根，则这个三角形的周长是（ A ）
A. 20 B. 20或24 C. 9和13 D. 24
7.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1=0有一个根是0，则m取值为（ B ）A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D.0
8.已知a，b是方程x2+2023x+1=0的两个根，则（1+2025a+a2）（1+2025b+b2）的值为（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：∵a，b是方程x2+2023x+1=0的两个根，∵a+b=﹣2023，ab=1．∴（1+2025a+a2）（1+2025b+b2），=（ab+2025a+a2）（ab+2025b+b2），=a（b+a+2025）b（a+b+2025），
=ab（2025﹣2023）（2025﹣2023），=4ab=4．故选D
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(D)
A. x2－6＝(10－x)2 B. x2－62＝(10－x)2 C. x2＋6＝(10－x)2 D. x2＋62＝(10－x)2
10. 关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ D ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解：设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴这两个方程的根都是负根，①正确；②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均为负整数，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均为负整数，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．综上所述：成立的结论有①②③．故选D．
二．填空题(30分)
11. 定义新运算®：对于任意实数a、b都有：a®b=a2+ab，如果3®4=32+3×4=9+12=21，那么方程x®2=0的解为________.
【答案】x1=0，x2=-2 【详解】方程x®2=0化为x2+2x=0，则x（x+2）=0，所以x1=0，x2=-2．
故答案为x1=0，x2=-2
12. 受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2022年6月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，8月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为_______．
【答案】100（1+x）2=169
13. 若实数a、b满足|b-1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_____________.
【答案】k≤4且k≠0
14．已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝ ．
【答案】﹣2和2． 解：∵关于x的一元二次方程的两个根为±3，∴关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，解得y＝﹣2和2．故答案为：﹣2和2．
15．已知a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，则a+b+c的值是 ．
【答案】0 解：∵a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，∴a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a＝﹣18+7﹣27，整理得：（a2﹣6a+9）+（b2﹣4b+4）+（c2+10c+25）＝0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c+5）2＝0，∵（a﹣3）2≥0，（b﹣2）2≥0，（c+5）2≥0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，c+5＝0，解得：a＝3，b＝2，c＝﹣5 ∴a+b+c＝0
16．已知（x2+y2）2+6（x2+y2）﹣7＝0，则x2+y2的值为 ．
【答案】1 解：设x2+y2＝z，则原方程换元为 z2+6z﹣7＝0，∴（z﹣1）（z+7）＝0，
解得：z1＝1，z2＝﹣7，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝1故答案为：1．
17. 已知x1和x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3=0的两实数根，x12+x22=22， 则m的值是_________.
【答案】2【解析】：根据根与系数的关系得：x1＋x2＝2(m＋1)，x1•x2＝m2＋3，
∵x12＋x22＝22，∴(x1＋x2)2－2x1•x2＝22，4(m＋1)2－2(m2＋3)＝22，
解得：m1＝－6，m2＝2，当m＝－6时，方程为x2＋10x＋39＝0，△＝102－4×1×39＜0，方程无实数解，即m＝－6舍去；当m＝2时，方程为x2－6x＋7＝0，△＝(－6)2－4×1×7＞0，方程有实数解，
18. 方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于_______
【答案】2【解析】：2x2－6x＋3＝0，这里a＝2，b＝－6，c＝3，∵△＝36－24＝12，
∴x＝＝，即p＝；2x2－2x－1＝0，这里a＝2，b＝－2，c＝－1，
∵△＝4＋8＝12，∴x＝＝，即q＝；则p＋q＝＋＝2．
19. 设a、b为x2+x﹣2021=0的两个实根，则a3+a2+3a+2024b=________ ．
【答案】﹣2014【解析】：∵a为x2＋x－2021＝0的根，∴a2＋a－2021＝0，∴a2＋a＝2021，
∴a3＋a2＋3a＋2024b＝a（a2＋a）＋3a＋2024b＝2021a＋3a＋2024b＝2024（a＋b），
∵a、b为x2＋x－2021＝0的两个实根，∴a＋b＝－1，∴a3＋a2＋3a＋2024b
＝2024（a＋b）＝－2024．故答案为：－2014．
20.如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________（写出所有正确说法的序号）．
①方程 x2?x?2=0 是倍根方程；②若 (x?2)(mx+n)=0 是倍根方程，则 4m2+5mn+n2=0 ；③若点 在反比例函数 y=2x 的图像上，则关于 x 的方程 px2+3x+q=0 是倍根方程；④若方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线 y=ax2+bx+c 上，则方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 54 ．
【答案】②③ 【解析】研究一元二次方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程的一般性结论，设其中一根为 t ，则另一个根为 2t ，因此 ax2+bx+c=a(x?t)(x?2t)=ax2?3atx+2t2a ，所以有 b2?92ac=0 ；我们记 K=b2?92ac ，即 K=0 时，方程 ax2+bx+c=0 为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①， K=b2?92ac=10 ，因此本不符合题意；对于②， mx2+(n?2m)x?2n=0 ，而 K=(n?2m)2?92m(?2n)=0 ，∴ 4m2+5mn+n2=0 ，因此本不符合题意；对于③，显然 pq=2 ，而 K=32?92pq=0 ，因此本不符合题意；对于④，由 ， 知 ?b2a=1+t+4?t2=52 ，∴ b=?5a ，由倍根方程的结论知 b2?92ac=0 ，从而有 c=509a ，所以方程变为： ax2?5ax+509a=0 ，∴ 9x2?45x+50=0 ，∴ x1=103 ， x2=53 ，因此本不符合题意．故答案为：②③．
三。解答题（60分）
21．（9分）解下列方程：
(1)x2＋2x－3＝0(用配方法)； (2)2x2＋5x－1＝0(用公式法)； (3)x(x－3)＝x－3.
解：(1)x2＋2x－3＝0，x2＋2x＝3，x2＋2x＋1＝4，(x＋1)2＝4，x＋1＝±2，
解得x1＝1，x2＝－3；
(2)2x2＋5x－1＝0，x＝，则x1＝，x2＝；
(3)x(x－3)＝x－3，x(x－3)－(x－3)＝0，(x－3)(x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝1.
22. （6分）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
【答案】(1) k=;(2)﹣1≤k＜或＜k≤2．
【详解】（1）由(1﹣2k)x2﹣2x﹣1＝0一元一次方程，得1﹣2k＝0，
解得k＝；
（2）由(1﹣2k)x2﹣2x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得△＝(2)2﹣4(1﹣2k)×(﹣1)≥0，且1﹣2k≠0，k＋1≥0，4k＋4＋4(1﹣2k)≥0，﹣4k≥﹣8，k≤2，
即﹣1≤k＜或＜k≤2，此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围﹣1≤k＜或＜k≤2．
23．（6分）如图，学校要用长24米的篱笆围成一个长方形生物园ABCD，EF是ABCD内用篱笆做成的竖直隔断．为了节约材料，场地的一边CD借助原有的一面墙，墙长为12米，长方形生物园ABCD的面积为45平方米，求长方形场地的边AD的长．
解：设AD长为x米，则AB长为（24﹣3x）米，根据题意得：x（24﹣3x）＝45，
化简得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，24﹣3x＝15＞12，（不符合题意，舍去）；当x＝5时，24﹣3x＝9．答：长方形场地ABCD的一边AD的长为5米．
24. （9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【详解】（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．
25.（8分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）20+2x；40-x （2）解：依题可得：（20+2x）（40-x）=1200，
∴x2-30x+200=0，∴（x-10）（x-20）=0，∴x1=10，x2=20，
答：每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元．
（3）解：（20+2x）（40-x）=2000，∴x2-30x+600=0，∴△=b2-4ac=（-30）2-4×1×600=-1500<0，
∴原方程无解.答：不可能平均每天赢利2000元.
26．（10分）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]
＝[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n＝n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）＝300
整理这个方程，得：n2+n﹣600＝0
解方程得：n1＝24，n2＝﹣25
根据问题中未知数的意义确定n＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
解：（1）由题意可得：＝600，整理得n2+n﹣1200＝0，此方程无正整数解，
所以，三角点阵中前n行的点数的和不可能是600；
（2）由题意可得：2+4+6+…+2n＝2（1+2+3+…+n）＝2×＝n（n+1）；依题意，得n（n+1）＝600，整理得n2+n﹣600＝0，（n+25）（n﹣24）＝0，∴n1＝﹣25，n2＝24，∵n为正整数，∴n＝24．故n的值是24．
27．（12分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，在1≤x＜15范围内，求第几天时销售利润为368元？
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润至少为221元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2＝8.1，
x＝10%或x＝190%（舍去），答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）＝9，由题意368＝（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣17.7x+352，解得x＝﹣0.9＜0（不合题意舍弃）当9≤x＜15时，由题意：368＝（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400），解得x＝12或﹣8（舍弃），
答：第12天时销售利润为368元
（3）设第15天在第14天的价格基础上可降a元，
由题意得：221≤（8.1﹣4.1﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），221≤105（4﹣a）﹣115，a≤0.8，答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.8元．
2022-2023学年苏科版九年级数学上《第一章一元二次方程》章末强化提优训练
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
4．若关于x的方程x2+2x﹣3＝0与＝有一个解相同，则a的值为（ ）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
5．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a≤2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
6.一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程x(x-9)-13(x-9)=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A. 20 B. 20或24 C. 9和13 D. 24
7.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1=0有一个根是0，则m取值为（ ）A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D.0
8.已知a，b是方程x2+2023x+1=0的两个根，则（1+2025a+a2）（1+2025b+b2）的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )
A. x2－6＝(10－x)2 B. x2－62＝(10－x)2 C. x2＋6＝(10－x)2 D. x2＋62＝(10－x)2
10. 关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二．填空题(30分)
11. 定义新运算®：对于任意实数a、b都有：a®b=a2+ab，如果3®4=32+3×4=9+12=21，那么方程x®2=0的解为________.
12. 受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2022年6月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，8月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为_______．
13. 若实数a、b满足|b-1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_____________.
14．已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝ ．
15．已知a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，则a+b+c的值是 ．
16．已知（x2+y2）2+6（x2+y2）﹣7＝0，则x2+y2的值为 ．
17. 已知x1和x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3=0的两实数根，x12+x22=22， 则m的值是_________.
18. 方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于______.
19. 设a、b为x2+x﹣2021=0的两个实根，则a3+a2+3a+2024b=________ ．
20.如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________（写出所有正确说法的序号）．
①方程 x2?x?2=0 是倍根方程；②若 (x?2)(mx+n)=0 是倍根方程，则 4m2+5mn+n2=0 ；③若点 在反比例函数 y=2x 的图像上，则关于 x 的方程 px2+3x+q=0 是倍根方程；④若方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线 y=ax2+bx+c 上，则方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 54 ．
三。解答题（60分）
21．（9分）解下列方程：
(1)x2＋2x－3＝0(用配方法)； (2)2x2＋5x－1＝0(用公式法)； (3)x(x－3)＝x－3.
22. （6分）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
23．（6分）如图，学校要用长24米的篱笆围成一个长方形生物园ABCD，EF是ABCD内用篱笆做成的竖直隔断．为了节约材料，场地的一边CD借助原有的一面墙，墙长为12米，长方形生物园ABCD的面积为45平方米，求长方形场地的边AD的长．
24. （9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
25.（8分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
26．（10分）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]
＝[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n＝n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）＝300
整理这个方程，得：n2+n﹣600＝0
解方程得：n1＝24，n2＝﹣25
根据问题中未知数的意义确定n＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
27．（12分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，在1≤x＜15范围内，求第几天时销售利润为368元？
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润至少为221元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
教师样卷
一．选择题(30分）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ A ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ B ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（ D ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
4．若关于x的方程x2+2x﹣3＝0与＝有一个解相同，则a的值为（ C ）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
5．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ B ）
A．a＞2 B．a≤2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
6.一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程x(x-9)-13(x-9)=0的根，则这个三角形的周长是（ A ）
A. 20 B. 20或24 C. 9和13 D. 24
7.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1=0有一个根是0，则m取值为（ B ）A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D.0
8.已知a，b是方程x2+2023x+1=0的两个根，则（1+2025a+a2）（1+2025b+b2）的值为（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：∵a，b是方程x2+2023x+1=0的两个根，∵a+b=﹣2023，ab=1．∴（1+2025a+a2）（1+2025b+b2），=（ab+2025a+a2）（ab+2025b+b2），=a（b+a+2025）b（a+b+2025），
=ab（2025﹣2023）（2025﹣2023），=4ab=4．故选D
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(D)
A. x2－6＝(10－x)2 B. x2－62＝(10－x)2 C. x2＋6＝(10－x)2 D. x2＋62＝(10－x)2
10. 关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ D ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解：设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴这两个方程的根都是负根，①正确；②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均为负整数，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均为负整数，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．综上所述：成立的结论有①②③．故选D．
二．填空题(30分)
11. 定义新运算®：对于任意实数a、b都有：a®b=a2+ab，如果3®4=32+3×4=9+12=21，那么方程x®2=0的解为________.
【答案】x1=0，x2=-2 【详解】方程x®2=0化为x2+2x=0，则x（x+2）=0，所以x1=0，x2=-2．
故答案为x1=0，x2=-2
12. 受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2022年6月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，8月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为_______．
【答案】100（1+x）2=169
13. 若实数a、b满足|b-1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_____________.
【答案】k≤4且k≠0
14．已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝ ．
【答案】﹣2和2． 解：∵关于x的一元二次方程的两个根为±3，∴关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，解得y＝﹣2和2．故答案为：﹣2和2．
15．已知a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，则a+b+c的值是 ．
【答案】0 解：∵a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，∴a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a＝﹣18+7﹣27，整理得：（a2﹣6a+9）+（b2﹣4b+4）+（c2+10c+25）＝0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c+5）2＝0，∵（a﹣3）2≥0，（b﹣2）2≥0，（c+5）2≥0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，c+5＝0，解得：a＝3，b＝2，c＝﹣5 ∴a+b+c＝0
16．已知（x2+y2）2+6（x2+y2）﹣7＝0，则x2+y2的值为 ．
【答案】1 解：设x2+y2＝z，则原方程换元为 z2+6z﹣7＝0，∴（z﹣1）（z+7）＝0，
解得：z1＝1，z2＝﹣7，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝1故答案为：1．
17. 已知x1和x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3=0的两实数根，x12+x22=22， 则m的值是_________.
【答案】2【解析】：根据根与系数的关系得：x1＋x2＝2(m＋1)，x1•x2＝m2＋3，
∵x12＋x22＝22，∴(x1＋x2)2－2x1•x2＝22，4(m＋1)2－2(m2＋3)＝22，
解得：m1＝－6，m2＝2，当m＝－6时，方程为x2＋10x＋39＝0，△＝102－4×1×39＜0，方程无实数解，即m＝－6舍去；当m＝2时，方程为x2－6x＋7＝0，△＝(－6)2－4×1×7＞0，方程有实数解，
18. 方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于_______
【答案】2【解析】：2x2－6x＋3＝0，这里a＝2，b＝－6，c＝3，∵△＝36－24＝12，
∴x＝＝，即p＝；2x2－2x－1＝0，这里a＝2，b＝－2，c＝－1，
∵△＝4＋8＝12，∴x＝＝，即q＝；则p＋q＝＋＝2．
19. 设a、b为x2+x﹣2021=0的两个实根，则a3+a2+3a+2024b=________ ．
【答案】﹣2014【解析】：∵a为x2＋x－2021＝0的根，∴a2＋a－2021＝0，∴a2＋a＝2021，
∴a3＋a2＋3a＋2024b＝a（a2＋a）＋3a＋2024b＝2021a＋3a＋2024b＝2024（a＋b），
∵a、b为x2＋x－2021＝0的两个实根，∴a＋b＝－1，∴a3＋a2＋3a＋2024b
＝2024（a＋b）＝－2024．故答案为：－2014．
20.如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________（写出所有正确说法的序号）．
①方程 x2?x?2=0 是倍根方程；②若 (x?2)(mx+n)=0 是倍根方程，则 4m2+5mn+n2=0 ；③若点 在反比例函数 y=2x 的图像上，则关于 x 的方程 px2+3x+q=0 是倍根方程；④若方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线 y=ax2+bx+c 上，则方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 54 ．
【答案】②③ 【解析】研究一元二次方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程的一般性结论，设其中一根为 t ，则另一个根为 2t ，因此 ax2+bx+c=a(x?t)(x?2t)=ax2?3atx+2t2a ，所以有 b2?92ac=0 ；我们记 K=b2?92ac ，即 K=0 时，方程 ax2+bx+c=0 为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①， K=b2?92ac=10 ，因此本不符合题意；对于②， mx2+(n?2m)x?2n=0 ，而 K=(n?2m)2?92m(?2n)=0 ，∴ 4m2+5mn+n2=0 ，因此本不符合题意；对于③，显然 pq=2 ，而 K=32?92pq=0 ，因此本不符合题意；对于④，由 ， 知 ?b2a=1+t+4?t2=52 ，∴ b=?5a ，由倍根方程的结论知 b2?92ac=0 ，从而有 c=509a ，所以方程变为： ax2?5ax+509a=0 ，∴ 9x2?45x+50=0 ，∴ x1=103 ， x2=53 ，因此本不符合题意．故答案为：②③．
三。解答题（60分）
21．（9分）解下列方程：
(1)x2＋2x－3＝0(用配方法)； (2)2x2＋5x－1＝0(用公式法)； (3)x(x－3)＝x－3.
解：(1)x2＋2x－3＝0，x2＋2x＝3，x2＋2x＋1＝4，(x＋1)2＝4，x＋1＝±2，
解得x1＝1，x2＝－3；
(2)2x2＋5x－1＝0，x＝，则x1＝，x2＝；
(3)x(x－3)＝x－3，x(x－3)－(x－3)＝0，(x－3)(x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝1.
22. （6分）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
【答案】(1) k=;(2)﹣1≤k＜或＜k≤2．
【详解】（1）由(1﹣2k)x2﹣2x﹣1＝0一元一次方程，得1﹣2k＝0，
解得k＝；
（2）由(1﹣2k)x2﹣2x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得△＝(2)2﹣4(1﹣2k)×(﹣1)≥0，且1﹣2k≠0，k＋1≥0，4k＋4＋4(1﹣2k)≥0，﹣4k≥﹣8，k≤2，
即﹣1≤k＜或＜k≤2，此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围﹣1≤k＜或＜k≤2．
23．（6分）如图，学校要用长24米的篱笆围成一个长方形生物园ABCD，EF是ABCD内用篱笆做成的竖直隔断．为了节约材料，场地的一边CD借助原有的一面墙，墙长为12米，长方形生物园ABCD的面积为45平方米，求长方形场地的边AD的长．
解：设AD长为x米，则AB长为（24﹣3x）米，根据题意得：x（24﹣3x）＝45，
化简得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，24﹣3x＝15＞12，（不符合题意，舍去）；当x＝5时，24﹣3x＝9．答：长方形场地ABCD的一边AD的长为5米．
24. （9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【详解】（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．
25.（8分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）20+2x；40-x （2）解：依题可得：（20+2x）（40-x）=1200，
∴x2-30x+200=0，∴（x-10）（x-20）=0，∴x1=10，x2=20，
答：每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元．
（3）解：（20+2x）（40-x）=2000，∴x2-30x+600=0，∴△=b2-4ac=（-30）2-4×1×600=-1500<0，
∴原方程无解.答：不可能平均每天赢利2000元.
26．（10分）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]
＝[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n＝n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）＝300
整理这个方程，得：n2+n﹣600＝0
解方程得：n1＝24，n2＝﹣25
根据问题中未知数的意义确定n＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
解：（1）由题意可得：＝600，整理得n2+n﹣1200＝0，此方程无正整数解，
所以，三角点阵中前n行的点数的和不可能是600；
（2）由题意可得：2+4+6+…+2n＝2（1+2+3+…+n）＝2×＝n（n+1）；依题意，得n（n+1）＝600，整理得n2+n﹣600＝0，（n+25）（n﹣24）＝0，∴n1＝﹣25，n2＝24，∵n为正整数，∴n＝24．故n的值是24．
27．（12分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，在1≤x＜15范围内，求第几天时销售利润为368元？
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润至少为221元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2＝8.1，
x＝10%或x＝190%（舍去），答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）＝9，由题意368＝（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣17.7x+352，解得x＝﹣0.9＜0（不合题意舍弃）当9≤x＜15时，由题意：368＝（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400），解得x＝12或﹣8（舍弃），
答：第12天时销售利润为368元
（3）设第15天在第14天的价格基础上可降a元，
由题意得：221≤（8.1﹣4.1﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），221≤105（4﹣a）﹣115，a≤0.8，答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.8元．
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