统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练42直线平面平行的判定与性质理

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[基础强化]
一、选择题
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线都不相交
2．[2023·宁波模拟]下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是( )
A．平面BEM∥平面ACN
B．AF∥CN
C．BM∥平面EFD
D．BE与AN相交
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
6．[2023·杭州模拟]已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有( )
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于点B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或 eq \f(24,5) C．14 D．20
9．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
二、填空题
10．[2023·福建泉州高三测试]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．
11．[2023·湖南高三测试]
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
12．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
[能力提升]
13．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
14．[2023·陕西省西安中学三模]如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱AA1，CC1，C1D1的中点，则下列各选项正确的是( )
A．直线BC1与平面EFG平行，直线BD1与平面EFG相交
B．直线BC1与平面EFG相交，直线BD1与平面EFG平行
C．直线BC1、BD1都与平面EFG平行
D．直线BC1、BD1都与平面EFG相交
15．[2023·福州检测]如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是( )
A．直线BQ∥平面EFG
B．直线A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
16．[2023·合肥市第一中学模拟]正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2)))B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(3,2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
专练42 直线、平面平行的判定与性质
1．D 由线面平行的定义可知，当a∥α时，a与平面α内的任意一条直线都不相交．
2．D A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．
3．B ∵当α∥β，m⊂α时，m∥β即：α∥β⇒m∥β，
当m⊂α，m∥β时，α与β可能相交，也可能平行，
即：m∥βD⇒/α∥β，∴m∥β是α∥β的必要不充分条件．
4．A 还原正方体易知AN∥BM，AC∥EM且AN∩AC＝A，
所以平面ACN∥平面BEM，故选A.
5．B
如图，由题意EF∥BD，且EF＝ eq \f(1,5)BD，HG∥BD，且HG＝ eq \f(1,2)BD，所以EF∥HG，且EF≠HG，又HG⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形，故选B.
6．D ∵平面α∥平面ABC，
∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，
又PA′∶AA′＝2∶3，
∴PA′∶PA＝2∶5，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
7．B 如图E，F，G，H是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH中，故有EF，FG，GH，HE，FH，EG共6条直线．
8．B 设BD＝x，由α∥β⇒AB∥CD⇒△PAB∽△PCD⇒ eq \f(PB,PA)＝ eq \f(PD,PC).
①当点P在两平面之间时，
如图1， eq \f(x－8,6)＝ eq \f(8,9－6)，
∴x＝24；
②当点P在两平面外侧时，
如图2， eq \f(8－x,6)＝ eq \f(8,9＋6)，
∴x＝ eq \f(24,5).
9．A A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中心，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，
∴AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.故选A.
10．平行
解析：连结BD，交AC于O点，
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴O为BD的中点，又E为DD1的中点，∴EO∥BD1，
又EO⊂面AEC，BD1⊄平面AEC，
∴BD1∥面AEC.
11. eq \r(2)
解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2 eq \r(2).又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝ eq \f(1,2)AC＝ eq \r(2).
12．点M在线段FH上(或点M与点H重合)
解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
13．C
如图所示，EFGH为平行四边形，
则EF∥GH，又EF⊄面BCD，
HG⊂面BCD，
∴EF∥面BCD，
又面BCD∩面ACD＝CD，
∴EF∥CD，
∴CD∥面EFGH，同理可得AB∥面EFGH.
14．A 取AB的中点H，则BH∥C1G，BH＝C1G，从而四边形BC1GH为平行四边形，
所以BC1∥HG.易知EH∥GF，FH＝GE，则四边形EGFH为平行四边形，
从而GH⊂平面EFG.又BC1⊄平面EFG，所以BC1∥平面EFG.
易知BF∥ED1，BF＝ED1，则四边形BFD1E为平行四边形，从而BD1与EF相交，所以直线BD1与平面EFG相交．
15．B 过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；
∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，
∴A1B∥平面EFG，故B正确；
AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．
16．B
取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF的中点O，连接A1O，如图所示，
∵点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，
∴AM∥A1E，MN∥EF，
∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，AM，MN⊂平面AMN，A1E，EF⊂平面A1EF，
∴平面AMN∥平面A1EF，
∵动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，
且PA1∥平面AMN，
∴点P的轨迹是线段EF，
∵A1E＝A1F＝ eq \r(12＋（\f(1,2)）2)＝ eq \f(\r(5),2)，
EF＝ eq \f(1,2) eq \r(12＋12)＝ eq \f(\r(2),2)，
∴A1O⊥EF，
∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O，
A1O＝ eq \r(（\f(\r(5),2)）2－（\f(\r(2),4)）2)＝ eq \f(3\r(2),4)，
当P与E(或F)重合时，PA1的长度取最大值A1E或A1F，A1E＝A1F＝ eq \f(\r(5),2).
∴PA1的长度范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).