专题11-2 不等式选讲归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

这是一份专题11-2 不等式选讲归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版），共32页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练27等内容，欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 解不等式：含参1
\l "_Tc26924" 【题型二】 绝对值恒成立（存在）求参1:公式法“和”型3
\l "_Tc12217" 【题型三】 绝对值恒成立（存在）求参2:公式法“差”型4
\l "_Tc30563" 【题型四】 绝对值恒成立（存在）求参3:给解集（或子集)6
\l "_Tc30563" 【题型五】 绝对值恒成立（存在）求参4:利用单调性求参8
\l "_Tc30563" 【题型六】 绝对值恒成立（存在）求参5:形如技巧型10
\l "_Tc30563" 【题型七】 绝对值和均值型13
\l "_Tc30563" 【题型八】 证明不等式1：柯西型公式“定位法”16
\l "_Tc30563" 【题型九】 证明不等式2：柯西型公式“分子分母配对”17
\l "_Tc30563" 【题型十】 证明不等式3：柯西取等与“圆系凑配”型20
\l "_Tc30563" 【题型十一】证明不等式4：三元不等式证明22
\l "_Tc30563" 【题型十二】证明不等式5：分析法与综合法25
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练27
【题型一】 解不等式：含参
【典例分析】
已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)；（2）.
【解析】试题解析：（1）∵，∴，
∵的解集为，∴，∴.
（2）∵，…8分∵，使得成立，
∴，即，解得，或，
∴实数的取值范围是.
【提分秘籍】
基本规律
基本公式法
1.
2.
【变式演练】
1.已知函数
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）当且时，解关于的不等式
【答案】（I）（Ⅱ）
试题解析：（1）因为所以
（2）时等价于当所以舍去
当成立当成立
所以，原不等式解集是-----10分
2.设函数,其中．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集;
（Ⅱ）若不等式的解集为,求的值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
试题解析：（Ⅰ）当时，可化为．
由此可得 或．故不等式的解集为．
( Ⅱ) 由得 此不等式化为不等式组或
即 或 8分因为，所以不等式组的解集为，
由题设可得，故．
3.已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）由题意得解得.
可化为，解得.不等式的解集为，
，解得，满足.．
（2）依题意得， .又，
∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为， ， ，
，解得.∴实数的取值范围为．
【题型二】 绝对值恒成立（存在）求参1：公式法“和”
【典例分析】
已知函数．（1）若，解不等式；（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或.
试题解析：（1）当时，，即，解得；
（2），若恒成立，只需，
即或，解得或.
【提分秘籍】
基本规律
利用公式|a±b|≤|a|+|b|
【变式演练】
1.设
（1）当，求 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的取值范围；
（2）若对任意x∈R，恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1），即依题意： 由此得a的取值范围是
（2）
当且仅当时取等号解不等式得.故实数a的最小值为.
2.已知不等式|x+3|<2x+1的解集为{x|x>m}.
（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x-t|+|x+|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值.
【答案】（1）2,（2 t=±1.
试题解析：（Ⅰ）由|x3|2x1得，或，解得x=2，依题意m=2.
（Ⅱ）因为m=2=|x-t|+|x-|≥|x-t-（x+）|=|t+|，
当且仅当（x-t）（x+）≤0时，等号成立∵m=2， ∴需要|t|+≤2，
另一方面，|t|+≥2，当且仅当|t|=时，等号成立，∴只有|t|=即t=±1
3.已知．
（ = 1 \* ROMAN I）解不等式；
（ = 2 \* ROMAN II）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】（ = 1 \* ROMAN I）；（ = 2 \* ROMAN II）.
试题解析： （ = 1 \* ROMAN I）当时，由解得，
当时，不成立.当时，解得，
综上有的解集是.
（ = 2 \* ROMAN II）因为，所以的最小值为3.
要使得关于的不等式对任意的恒成立，
只需解得，故的取值范围是.
【题型三】 绝对值恒成立（存在）求参2：公式法“差”
【典例分析】
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求实的取值范围．
【答案】（1）（2）
试题解析：（4-3不等式）（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|， 1分
当x≥3时，，即为，即成立，则有x≥3；
当x≤2时，即为，即，解得x∈∅；
当2＜x＜3时，即为，解得，，则有． 4分
则原不等式的解集为 即为 ； 5分
（2）由绝对值不等式的性质可得
||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|， 7分
即有的最大值为|a﹣3| 8分
若存在实数x，使得不等式成立，则有． 9分
即或，即有a∈∅或a≤．所以的取值范围是 10分
【提分秘籍】
基本规律
利用公式||a|-|b||≤|a±b|
【变式演练】
1.已知函数.
（1）若,解不等式；
（2）若存在实数 , 使得不等式成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）不等式化为,则或,或,解得,所以不等式的解集为.
（2）不等式等价于,即,由基本不等式知,若存在实数,使得不等式成立, 则, 解得,所以实数的取值范围是.
2.已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求实的取值范围．
【答案】（１）（２）
试题解析：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，
当x≥3时，，即为，即成立，则有x≥3；
当x≤2时，即为，即，解得x∈∅；
当2＜x＜3时，即为，解得，，则有．
则原不等式的解集为 即为 ；
（2）由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，
即有的最大值为|a﹣3|．
若存在实数x，使得不等式成立，则有
即或，即有∈∅或≤．所以的取值范围是
3.已知函数.
（1）解不等式；
（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1） ；（2）.
试题解析： （1）当时， ，∴
当时， ，∴解为当时， ，∴
综上可得不等式的解集为.
（2）
由，只需.
【题型四】 绝对值恒成立（存在）求参3：给解集（或子集）
【典例分析】
已知函数，；
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意的，，求的取值范围．
【答案】（1）不等式的解集为；（2）的取值范围为．
试题解析：（1）原不等式等价于或或
解得或或．即不等式的解集为．
（2）①当时，易知成立：当时，
即在时恒成立．因为，所以当且仅当时，取到最小值3，
故，即．
②当时，即在时恒成立；
因为，所以当且仅当时取到最小值3，故，即，
综上可知，的取值范围为．
【提分秘籍】
基本规律
一般情况下，通过所给解集（或子集范围）可去掉式子中不分绝对值
【变式演练】
1.已知函数=,=.
(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;
(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.
【答案】当=-2时,不等式<化为,
设函数=,=, 其图像如图所示
从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.
(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,
∴对∈[,)都成立,故,即≤, ∴的取值范围为(-1,].
2.已知函数
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若的解集包含,求的取值范围.
【解析】(1)当时,
或或 或
(2)原命题在上恒成立 在上恒成立
在上恒成立
3.已知函数．
（1）若求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）当时，，即或或，
解得或，不等式的解集为；
（2）原命题等价于在上恒成立，即
在上恒成立，即在上恒成立，即，实数的取值范围为．
【题型五】 绝对值恒成立（存在）求参4：利用单调性求参
【典例分析】
已知函数
求a=1时，f（x）3的解集。
若f（x）有最小值，求a的取值范围，并写出相应的最小值。

解析：（1）当时,
当时解得
当时恒成立，
当时解得
综上可得解集………………5分
（2）
当,即时,无最小值；
当,即时,有最小值；
当且,即时,
当且,即时,
综上：当时,无最小值；
当时,有最小值；
当时,
当时,
【提分秘籍】
基本规律
分类讨论去掉绝对值，所得分段函数单调性讨论点，主要在于“斜率”
【变式演练】
1.已知函数已知函数
(1).当m=3时，求不等式f（x）4的解集。
(2)若

解：（1）当时，，
原不等式等价于 或 或，
解得：或无解或，
所以，的解集为．
（2）．
则
所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．
所以当x=12时，f(x)取得最小值，．
因为对任意恒成立，所以.
又因为，所以，解得 （不合题意）．所以的最小值为1．
2.设函数．
（1）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）由绝对值的性质得：，
∵对任意恒成立，∴，解得，
∵，∴实数的取值范围是
当时，， 若关于的不等式有解，则函数的图象与直线有两个交点， ∴，解得，． ∴实数取值范围是
【题型六】 绝对值恒成立（存在）求参5：形如技巧型
【典例分析】
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）不等式对于任意实数x恒成立，转化为对于任意实数x恒成立，记，
将写成分段函数形式，判断函数的单调性，依据单调性求得的最小值，从而可得可得的范围.
解：（1）当时，当时，，解得；
当时，不等式无解；
当时，，解得.
综上，不等式的解集为.
（2）由题意知，，所以.记，
则，当时，，
则， 又当时，，所以，
所以，所以实数m的取值范围为.
【提分秘籍】
基本规律
1.可以配凑绝对值不等式来放缩。
2.可以通过分参构造形如来求解
【变式演练】
1. 设．
（1）求的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
试题解析：（1）由得：或或
解得∴的解集为．
（2）
当且仅当时，取等号．由不等式对任意实数恒成立，可得，解得：或．故实数的取值范围是．
2. 已知都是实数，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若对满足条件的所有都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；
【解析】解：（1），由得或，
解得或，故所求实数的取值范围为
（2）由且得，，
又∵，∴，
3.已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】(1) 当时，求出分段函数，然后可以选择数形结合求解或选择解不等式组；
(2)当时，化简分段函数得

可以得到函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出参数的最小值.
【详解】
（1）当时，，即，
解法一：作函数的图象，它与直线的交点为，
所以，的解集的解集为．
解法2：原不等式等价于 或 或，
解得：或无解或， 所以，的解集为．
（2）．
则
所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得最小值，．
因为对，恒成立，所以．又因为，
所以，解得 （不合题意）．所以的最小值为1．
【题型七】 绝对值和均值型
【典例分析】
函数.
（1）求不等式的解集;
（2）已知函数的最小值为，正实数满足证明:
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）解含绝对值的不等式，先要去掉绝对值号，将函数写为分段函数，然后再在各个区间求解，取并集.
（2）求出函数的最小值，即得出，结合所要证明的不等式，联想到基本不等式进行求解.
【详解】
(1)解:由题可得，
所以
即或或
解得或
所以不等式的解集为.
证明:，则
则，
故
当且仅当时取等号.
【提分秘籍】
基本规律
和均值不等式常规求解结合
【变式演练】
1.已知函数．
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【分析】
（Ⅰ）利用绝对值的性质，用分类讨论思想进行求解即可；
（Ⅱ）根据基本不等式，利用已知，求出代数式的最大值，最后利用绝对值的性质进行求解即可.
【详解】
解：（Ⅰ）原不等式为，
当时，得，得，所以．
当时，得成立，所以，
当时，，
所以．综上得不等式的解集为．
（Ⅱ）因为为正实数，并且，当时取等号，
当时等号成立，所以的最大值．又因为，
当时取到等号，要使恒成立，只需．
所以或．
2.已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，正实数，，满足，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分，，讨论求解.
（2）由，得到，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】
（1）①当时，，无解
②当时，，解得
③当时，，无解
综上：不等式的解集为；
（2）因为，
所以，
所以，，
，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
3.已知函数．
（1）解不等式；
（2）已知的最小值为，且正实数，满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）通过去绝对值，得分段函数的解析式，然后分类讨论三种情况下的解集；（2）根据题意得，，利用均值不等式可得，再利用柯西不等式得，代入计算即可.
【详解】
解：（1）由题意知，由，可得或或，
所以所求不等式的解集为．
（2）由（1）可知，，则．因为，所以可得．
当且仅当时，取等号；由柯西不等式得，
当且仅当时，取等号；因为，
所以当且仅当时，的最小值为．
【题型八】 证明不等式1：柯西型“定位法”
【典例分析】
已知，求的最小值.
【思路分析】由以及的形式，联系柯西不等式，可以构造作为一个因式而解决问题.
【解】根据柯西不等式，有，
所以，即当且仅当，即时，取最小值
【提分秘籍】
基本规律
位置1和2是等价齐次。否则就是需要凑配
具体可以用下边推论来待定系数配凑
【变式演练】
1.已知a，b，c eq \(\s\up1(),∈)R，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值．
解：由柯西不等式，得[a2＋(eq \R(,2)b)2＋(eq \R(,3)c)2][12＋(eq \F(1,eq \R(,2)))2＋(eq \F(1,eq \R(,3)))2]≥(a＋b＋c)2．……8分
因为a2＋2b2＋3c2＝6，所以(a＋b＋c)2≤11，所以－eq \R(,11)≤a＋b＋c≤eq \R(,11)．
所以a＋b＋c的最大值为eq \R(,11)，当且仅当a＝2b＝3c＝ eq \f(6 eq \r(11),11)． ……10分
2.已知关于的不等式的解集为．
（I）求实数，的值；
（II）求的最大值．
【答案】（I），；（II）．
【解析】试题解析：（I）由，得则解得,
（II）
当且仅当，即时等号成立，故.
3.已知不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．
【答案】≤a≤
解：因为已知x，y，z是实数，且x+y+z=1，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2
故有（x2+2y2+3z2）（1++）≥（x+y+z）2故x2+2y2+3z2≥，当且仅当x=，y=，z=时取等号，
∵不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，
∴|a﹣2|≤，∴≤a≤．
【题型九】 证明不等式2：柯西“分母分子配对”型
【典例分析】
已知都是正数，且则的最小值是 .
答案:
方法一：柯西不等式
=>(1++1)=
方法二：构造均值不等式
【提分秘籍】
基本规律
具有分子和分母这类特性，相乘可以消去，那么可使用柯西证明（较简单），也可以用展开用均值证明。
【变式演练】
1.已知，，为非负实数，函数.
（1）若，，，求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为2，证明：.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【分析】
（1）当，，时，不等式化简得，结果分类讨论用分段函数表示即可；
（2）由绝对值三角不等式可得，得到，接下来解法不唯一，可将原式先拼凑为
，借鉴柯西不等式进行放缩即可求解；也可直接在第一步的基础上，借鉴基本不等式的形式进行化简，两两组合，再进一步放缩即可
【详解】
（1）当，，时，不等式，
化简得：，采用零点讨论法，设，
当时，；
当时，；
当时，；
故，
由，解得：或，
所以，不等式的解集为.或
（2）因为，
∵函数的最小值为2，∴.
证法一：根据柯西不等式可得：

当且仅当：，即，，时等式成立.
综上，
证法二：
，当且仅当，，等式成立.
综上，
已知
求 的最小值；
【答案】 . ：根据柯西不等式，[ ](1+1+1)≥[(x+2y+3z)+ ]=[3+]
=[3+]≥(3+)²=
所以≥，的最小值为。
3.若关于的不等式在实数范围内有解.
（1）求实数的取值范围；
（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明
【分析】（Ⅰ）不等式在实数范围内有解，也即是成立，求出最大值即可；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，因此，展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式来证明.
解：（Ⅰ）因为所以
又因为
所以
（Ⅱ）由（1）可知，,则
方法一：

方法二：利用柯西不等式
【题型十】 证明不等式3：柯西取等与“圆系凑配”型
【典例分析】
设,,,,,是正数，且++=10, ++=40, ++=20,则=（ ）
【答案】1/2
由柯西不等式得
当且仅当时等号成立，,
等号成立故答案选
【提分秘籍】
基本规律
属于整体化配凑思维，一般情况下，平方内是整体，需要凑配平方数形式（还有两个地方，也是这个思维：根号下，与分母位置）
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值是
【答案】36
由于 ，所以，当且仅当，即时取等号．故选C．
2.已知a，b，c为实数且.
(1)若a，b，c均为正数，当时，求的值；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式，由，，，再利用不等式的基本性质求解；.
（2）由，利用柯西不等式证明；
(1)解：（1）由基本不等式得：，，.
以上三个式子相加得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，，，所以.
(2)，
当且仅当即，，时，等号成立.
3.已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数f（x）的最小值为m.若a，b，c均为正实数，且a+b+2c＝2m，若成立，证明：或.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据绝对值的性质将函数写成分段函数，接着分段求解不等式即可；
（2）由（1）值，即，利用柯西不等式证明即可.
【详解】
解：（1），故等价于或或，
解得或或，即或，∴所求不等式的解集为.
（2）证明：由（1）值，，
∴，则，
，
∴，∴，解得或，即得证.
【题型十一】 证明不等式4：三元不等式证明
【典例分析】
已知都是正数，且，用表示的最大值，.
（1）证明；
（2）求M的最小值.
【答案】(1)见解析；（2）.
【分析】1由已知，利用“1的代换”结合基本不等式证明；
2由题意，，，，把三个式子平方作和，再由均值不等式求最值．
【详解】1证明：，

，
当且仅当时等号成立，故；
2解：由题意，，，，

，
当且仅当时上式等号成立．，即M的最小值为．
【提分秘籍】
基本规律
三元形式不等式较难，具有明显的“对称特性”可参考用柯西，较复杂的，需要用分析法综合法，构造均值来证明。
【变式演练】
1.已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1.
（1）证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）每个式子通分后把1用代换后分子应用基本不等式可证结论；
（2）变形，三个分式中分子提取出来并变为，再用柯西不等式可证得结论．
【详解】（1）
，
当且仅当“a=b=c”时取等号；
（2）
，
当且仅当“a=b=c”时取等号.
【点睛】
2.已知正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)证明：．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）由三个正数的基本不等式进行求解；（2）凑项后利用基本不等式进行证明.
(1)
由，当且仅当时，取得等号．
又，所以．
故当且仅当时，取得最大值1．
(2)
证明：要证，需证．
因为
，
即，当且仅当时取得等号．故．
3.已知、、，且．
（1）求的最小值；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用基本不等式可求得的最小值；
（2）由可得，等式两边平方，即可证得所证不成立成立.
【详解】（1）由，得，即，
又因为
，
所以，故，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
（2）由，得，两边平方，
得．
由此得
，
所以．
【题型十二】 证明不等式5：分析法与综合法
【典例分析】
已知，，为正数，且满足.
（1）证明：.
（2）证明：.
【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；
【分析】(1)用均值定理直接证明；(2) 用分析法证明．
【详解】证明：（1）因为，为正数，所以，
同理可得，，
所以，
当且仅当时，等号成立
故.
（2）要证，只需证
即证，
即证，
即证.
因为，，，
所以，
当且仅当，，时，等号成立，从而得证.
【变式演练】
1.已知，，，
求证：（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【分析】（Ⅰ）由题意，因为，利用基本不等式，求得，进而得到，即可得到证明；
（Ⅱ）由,化简可得,根据，即可作差证明．
【详解】（Ⅰ）由题意，因为，且，
所以，当且仅当时，取“=”，
所以，所以．
（Ⅱ）由,
所以
,
,所以，
所以，所以，
所以．
2.已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由可得出，不等式两边平方化简即可得解；
（2）利用绝对值三角不等式结合基本不等式可证得原不等式成立.
(1)解：由可得出，所以，，解得，
故不等式的解集为.
(2)解：∵，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，因为，则，又因为，则，，
所以，，当且仅当时等号成立，因此，成立.
3.设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.
(1)求集合A；
(2)若a，b，c∈A，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】(1)令，去绝对值符号化函数为分段函数，解不等式即可作答.
(2)根据给定条件利用分析法即可证得不等式成立.
(1)由已知，令，则原不等式等价于，即，
当时，，不等式无解，
当时，，解得，则，
当时，，不等式无解，
综上得：.
(2)要证>1，只需证，
只需证，只需证，
只需证，由a，b，c∈A，得，，
于是得恒成立，而上述推理过程可逆，所以.
1.已知函数f(x)=x−m−3，且f(x)≥0的解集为(−∞ ， −2]∪[4 ， +∞)
（1）求m的值；
（2）若∃x∈R，使得f(x)≥t+2−x成立，求实数t的取值范围.

【答案】（1）m=1;（2）t≤−2.
试题解析：（1）不等式x−m−3≥0的解集为(−∞ ， m−3]∪[3+m ， +∞)
又∵f(x)=x−m−3≥0的解集为(−∞ ， −2]∪[4 ， +∞)∴m+3=4，m−3=−2∴m=1
（2）∵∃x∈R，使得f(x)≥t+2−x成立∴∃x∈R，使得x−1−3≥t+2−x∴∃x∈R，x−1−x−2≥t+3
令g(x)=x−1−x−2=−1 x≤12x−3 12∴∃x∈R，x−1−x−2≥t+3
∴t+3≤g(x)max=1∴t≤−2.
2.已知函数（其中）.
(Ⅰ) 当时，求不等式的解集；
(Ⅱ) 若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 或；(Ⅱ) .
试题解析：(Ⅰ) 当时，即.
①当时，得，解得；
②当时，得，不成立，此时；
③当时，得成立，此时.
综上，不等式的解集为或
(Ⅱ) 因为＝，由题意，即或,
解得或，即的取值范围是.
3.设函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
试题解析：（Ⅰ）∵

综上，不等式的解集为：
（Ⅱ）存在使不等式成立 由（Ⅰ）知，时，
时， ∴实数的取值范围为
4. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）不等式的解集中的整数有且仅有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
试题解析：（1）由题知：的解集为.
（2）由题意知，代入得解得或或，
又.
①当时，，所以恒成立， 解集为空集，不合题意；
②当时，由（1） 可知解集为，符合题意；
③当时，，所以恒成立， 解集为空集，不合题意；
综上所述，当时，不等式的解集中的整数有且仅有.
5. 已知函数，．
（1）解不等式；
（2）对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由题意不等式可化为，分类讨论，即可解不等式；（2）由不等式，可得，分离参数，得，所以，即可求出实数的最小值．
试题解析：（1）由题意不等式可化为，
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即
综上所述，不等式的解集为或．
（2）由不等式可得，
分离参数，得，∴
∵，∴，故实数的最小值是．
6. 已知函数，（）．
（1）当时，解不等式；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
试题解析：（1）当时，，即，
得或或，
解得或或，∴不等式的解集为．
（2）令，∴当时，
当时，当时，
∴的最小值为或，则解得或．
7.已知函数．
（1）解不等式；
（2）已知的最小值为，且正实数，满足，求的最小值．

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）通过去绝对值，得分段函数的解析式，然后分类讨论三种情况下的解集；（2）根据题意得，，利用均值不等式可得，再利用柯西不等式得，代入计算即可.
【详解】
解：（1）由题意知，由，可得或或，
所以所求不等式的解集为．
（2）由（1）可知，，则．因为，所以可得．
当且仅当时，取等号；由柯西不等式得，
当且仅当时，取等号；因为，
所以当且仅当时，的最小值为．
8.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若正数，，满足，求的最小值.

【答案】（1）（2）
【分析】(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可；
(2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可.
【详解】（1）化简得.
①当时，，由，即，
解得，又，所以；
②当时，，由，即，
解得，又，所以；
③当时，不满足，此时不等式无解；
综上，不等式的解集为：.
（2）由于，故，
∴，∵，∴由柯西不等式：
上式
.
当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.
9. 已知函数，不等式的解集为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若三个实数，，，满足.证明：.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）由的解集为知：可求，由且，讨论即可求.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，应用柯西不等式即可证结论.
【详解】
（Ⅰ）由题意知：且，，
∴，可得，即，∴，
当时，，解得(舍)；
当时，，解得；∴综上，有，.
（Ⅱ）由，则，
∴证即可，而
，∴，
即得证.
10.设函数的最小值为.
（1）求；
（2）设，且，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.
（1）利用“零点讨论法”将绝对值函数表示为分段函数的形式，求分段函数的最值即可；
（2）由（1）易构造出，利用柯西不等式即可得结果.
【详解】
（1）∵，
∴时，，且时 ，，∴，∴；
（2）由（1）知，∴，
∵
，
∴，当且仅当取等号.
11.已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）设，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）所求不等式即为|2x+1|+|x﹣1|>3，然后分类讨论，去掉绝对值符号，解不等式即可；
（2）利用分析法可知，即证(b﹣a)2<(ab﹣1)2，结合a，b∈M易得证.
【详解】（1）由f(x)+f(2x+2)>3得|2x+1|+|x﹣1|>3，
当时，原不等式可化为﹣(2x+1)﹣(x﹣1)>3，解得x<﹣1；
当时，原不等式可化为(2x+1)﹣(x﹣1)>3，解得x>1，此时无解；
当x>1时，原不等式可化为(2x+1)+(x﹣1)>3，解得x>1；
综上，所求不等式的解集为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)；
（2）证明：要证，只需证，即证，
即证|b﹣a|<|ab﹣1|，即证(b﹣a)2<(ab﹣1)2，
而(ab﹣1)2﹣(b﹣a)2=a2b2﹣a2﹣b2+1=(a2﹣1)(b2﹣1)，由a，b∈M，得a2>1，b2>1，
∴(a2﹣1)(b2﹣1)>0，即得证.
12.已知函数，不等式的解集为A.
（1）求A；
（2）当a，时，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）讨论自变量取值范围去掉绝对值求解不等式即可；
（2）通过分析法逐步证明最后只需证明一个明显成立的不等式即可．
【详解】（1）当时，，解得(舍)；
当时，，解得；
当时，，解得.
综上可知；
（2）要证：只要证：只要证：
只要证：只要证：
，，，成立，
所以原命题成立．