专题7-2 基本不等式归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

这是一份专题7-2 基本不等式归类-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版），共26页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练22等内容，欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 基础型1
\l "_Tc26924" 【题型二】 “1”的代换型2
\l "_Tc12217" 【题型三】 “和”与“积”互消型3
\l "_Tc30563" 【题型四】 以分母为主元构造型5
\l "_Tc30563" 【题型五】 构造分母：待定稀释型6
\l "_Tc30563" 【题型六】 分离分子型8
\l "_Tc30563" 【题型七】 反解代入型消元法9
\l "_Tc30563" 【题型八】 因式分解10
\l "_Tc30563" 【题型九】 均值用两次11
\l "_Tc30563" 【题型十】 换元型题13
\l "_Tc30563" 【题型十一】“和”与索取和系数不一致型14
\l "_Tc30563" 【题型十二】“均值裂项”凑配型15
\l "_Tc30563" 【题型十三】整体化同乘方程型17
\l "_Tc30563" 【题型十四】三元最值型18
\l "_Tc30563" 【题型十五】恒成立求参数型19
\l "_Tc30563" 【题型十六】超难压轴小题20
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练22
【题型一】基础型
【典例分析】
在下列函数中,最小值是2的是
A. B. C.D.
【答案】D
【解析】A.,当时,不符合题意;
B.===,当时取等号,不符合题意;
C.==,∵,∴,∴,∴不符合题意;
D.,当且仅当时取等号,符合题意.故选D．
【提分秘籍】
基本规律
1.基本公式
2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。
【变式演练】
1.已知关于x的不等式的解集为，则的最小值是______．
【答案】
【详解】由于，故一元二次方程的判别式：，
由韦达定理有：，则：，
当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是.
2.若都是正数，则的最小值为( ).
A.5B.7C.9D.13
【答案】C
【详解】因为都是正数，所以，（当且仅当时取等号），故本题选C.
3.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，使 恒成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】恒成立，即，设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以问题转化为，即，所以在区间上随机地取一个数时，使恒成立的概率是，故选择A.
【题型二】 “1”的代换型
【典例分析】
已知x，y均为正实数，且，则x+3y的最小值为__________
【详解】x，y均为正实数,, 当时等号成立.故答案为：2.
【提分秘籍】
基本规律
“1”代换是基本型，要注意
1.一正二定三相等
2.见分子想分母，见分子想分子。
【变式演练】
1.已知，，，则的最小值为（ ）
A．20B．24C．25D．28
【答案】C
【分析】凑配出积为定值后用基本不等式求最小值．
【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立．故选：C．
2.已知，，，则的最小值为（ ）
A．13B．19C．21D．27
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27。故选：D
3.已知正实数，b满足＋b＝1，则的最小值为_____
【详解】因为，且都是正实数.所以当且仅当时，等号成立.所以的最小值为
【题型三】 “和”与“积”互消型
【典例分析】
已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_________．
【答案】18.
【分析】
根据基本不等式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到的范围，求出答案.
【详解】因为，且，所以，（当且仅当时，取等号）
即，解得，所以得，
所以的最大值是.此时，.故答案为：18.
【提分秘籍】
基本规律
1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1
2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析
3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2
授课时，注意这类求和时，基本所求和与原式和系数“一致”，不一致，则可以用反解代入消参等方法
【变式演练】
1.已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.
【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A
2.已知，且，则的最小值为___________．
【答案】6
【分析】利用基本不等式有，再利用一元二次不等式的解法，由求解.【详解】
由，得，又，，
，即，解得：或，
又，，当且仅当，即时取等号．故答案为：6．
3.已知，，，则（ 多选题 ）
A．的最大值为2B．的最小值为4
C．的最小值为3D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A选项：由均值不等式得，则，
令，，解得，即，，
当且仅当，时，等号成立，故A正确；对于B选项：由均值不等式得，又，
∴，解得，（舍），
当且仅当，时，等号成立，故B正确；
对于C，D选项：令，，则，
则可化为，整理，
∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），故C错误，D正确.
故选：ABD.
【题型四】 以分母为主元构造型
【典例分析】
已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．10D．16
【答案】B
【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.
【详解】由，可得，
当且仅当取等号，故选：B
【提分秘籍】
基本规律
构造分母型：
1.以分母为主元构造，对于普通学生，也可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析
2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式2
3.变式3是三项构造，且无条件等式。
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．
【答案】A
【详解】，，又，且，，
当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9．故选：A．
2.已知正数、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】已知正数、满足，则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：C.
3.设，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解
【详解】，，
，当且仅当，
即时取等号故选：A
【题型五】 构造分母：待定系数
【典例分析】
已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
将4x+3y=4变形为含2x+1和3y+2的等式,即2(2x+1)+(3y+2)=8,再将式子换元,由基本不等式换“1”法求解即可
【详解】
由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.
所求
当且仅当时取等号，所以答案为.故选:A.
【提分秘籍】
基本规律
特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”
方法：直观凑配或者分母换元
【变式演练】
1.知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
设，可得，解得，
所以，
.当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.故选：A.
2.已知，，，则取到最小值为 ．
【答案】．
【解析】试题分析：令，∴，∴
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是．
【题型六】 分子含参型：分离分子型
【典例分析】
若，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】因为，则，
，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.故答案为：.
【提分秘籍】
基本规律
1.分离分子原理题，如典例分析
2.分子二次型换元分离，如变式2
3.分子二次型凑配构造分离，如变式3
【变式演练】
1.已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】，因为，
所以，因为，所以，
因此，
因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），故选：A
2.若，且，则的最小值为_________
【答案】
【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解.
【详解】令，则，则，即，
则
，当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.故答案为：.
3.若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_____．
【答案】
【题型七】 反解代入型:消元法
【典例分析】
已知正数，满足，则的最大值为______．
【答案】
【详解】由，得，由，得，所以
，当且仅当，即时等号成立，、
所以的最大值为.故答案为：.
【提分秘籍】
基本规律
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。
【变式演练】
1.已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，因为，，所以，得，
所以，记，所以，
所以，且，所以
，当且仅当即等号成立，此时 ， .
2.若正数，满足，则的最小值是______，此时______.
【答案】2 2
【分析】先由求出，再根据基本不等式求解即可．
解：，，，因为、，所以，即
，
即，当且仅当，即时取等号，故答案为：2；2．
3.若正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】由且知：，∴当且仅当时等号成立，即时等号成立.故答案为：
【题型八】 因式分解型
【典例分析】
非负实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据题意化简得,结合基本不等式求得，即可求得的最小值.
【详解】由题意，非负实数满足，可得,
又由，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，所以或，所以，
即时，的最小值为.故答案为：.
【提分秘籍】
基本规律
特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值等于_______．
【答案】
【详解】，且，即有 ，
即 ，可得 ，
当且仅当 时，上式取得等号，即有的最小值为.故答案为：
2.已知，且，则的最小值是___．
【答案】
【解析】原式可变形为，两边同时乘以2，得，所以，即x+2y，当且仅当时等号成立。填
3.已知a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，则3a+4b的最小值等于_______．
【答案】62−1
【详解】a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，即有（a+b）（a+2b+1）=9 ，
即（2a+2b）（a+2b+1）=18 ，可得3a+4b+1=（2a+2b）+（a+2b+1）≥22a+2ba+2b+1=62 ，
当且仅当2a+2b=a+2b+1 时，上式取得等号，即有3a+4b的最小值为62−1.故答案为：62−1
【题型九】 均值用两次
【典例分析】
是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为a，b均为正实数，则
，
当且仅当，且取等，即取等号，
即则的最大值为，故选：A．
【提分秘籍】
基本规律
两次均值，逐次消去，取等条件一致
【变式演练】
1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）A．B．C．D．
【详解】．A
设，则
所以

当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A
2.已知，，则的最小值为___________.
【答案】2
【分析】由可得答案.
【详解】因为，，所以，，
当且仅当时等号成立，所以最小值为2.故答案为：2.
3.已知正实数，，满足，则的最小值为______.
【答案】
【详解】因为，即，所以
，上述两个不等式均是当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：．
【题型十】 换元型
【典例分析】
已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为
A.2B.4C.D.
【答案】B详解：将化为，令，
则，
又，所以，即．
【提分秘籍】
基本规律
1.二次配方型，可以三角换元
2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元，如变式1
3.齐次分式同除型，可以代数换元，如变式3
【变式演练】
1.若a,b∈R，且a2+2ab−3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
【详解】5+14由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a=x+3y4，b=x−y4，
所以a2+b2＝（x+3y4）2+（x−y4）2=x2+5y2+28≥25x2y2+28=5+14，当且仅当x2=5，y2=55时取等．故答案为5+14．
2.已知x2−23xy+5y2=1，x,y∈R，则x2+y2的最小值为____.
【答案】3−72
【详解】因为x2−23xy+5y2=(x−3y)2+(2y)2=1，所以令x−3y=csθ,2y=sinθ，
解得x=62sinθ+csθ,y=22sinθ，所以x2+y2=(62sinθ+csθ)2+(22sinθ)2=1+sin2θ+6sinθcsθ
=32+62sin2θ−12cs2θ=32+72sin(2θ−φ).因为−1≤sin(2θ−φ)≤1，所以x2+y2的最小值为3−72.
3.已知为正实数，则的最小值为_________.
【答案】
【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为.
【题型十一】 “和”与所求和系数不一致型
【典例分析】
1、已知，，且，则的最小值为
A．B．C．5D．9
【详解】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A.
【提分秘籍】
基本规律
1.可以简单的反解代入消去，如典例分析
2.可以整体配凑构造（换元），如变式1
3.可以“无中生有”构造消去，如变式2
4.也可以因式分解，参考专题八
【变式演练】
1.若正实数，满足，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】根据题意，若，则
；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；
即的最小值是，故答案为.
2.
3.
【题型十二】 “均值裂项”凑配型
【典例分析】
已知实数，，不全为，则的最小值是___，最大值是___．
【答案】
【分析】根据不等式求最值.
【详解】由，当且仅当时取等号，
得，当且仅当时取等号；
又，当且仅当，时等号成立.
故答案为：，.
【提分秘籍】
基本规律
利用轮换和对称特征，适当的裂项构造均值。
【变式演练】
1.不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．
【答案】1
【分析】由条件转化为求的最大值，再解不等式，即可求解.
【详解】因为，当时取等号，所以
的最大值是，即，
解得，所以a的最大值是1．
故答案为：
2.已知实数满足，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由题设条件，化简得，，再利用，得到不等式，即可求解．
【详解】由题意，实数满足，可得，
由，可得，
所以，
又由，得，
即，解得．
故答案为：．
3.已知，，，且，则的最小值为___________．
【答案】
由，先将变形为，运用基本不等式可得最小值，再求的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.
【详解】解：因为，，，且，
所以
因为，所以，
当且仅当时，取等号，
所以
。令，则，
令，则，所以函数在上单调递增，
所以所以
则所求最小值为故答案为：
【题型十三】 整体化同乘方程型
【典例分析】
已知实数，满足，且.则的最大值为_____．
【答案】9
【分析】将已知等式变形为 ，对等式两边同乘，构造关于所求式子的不等式，进行求解即可.
【详解】由，得 ，
则
，当且仅当，
即时成立，令，则有，
解得，故的最大值为.故答案为9.
【提分秘籍】
基本规律
求谁设谁，构造方程用均值
【变式演练】
1.已知正数满足，则的最大值为________．
【答案】
【详解】试题分析：由已知得，，变形为，
因为，由基本不等式得，，故，解得.
2.已知为正数，且，则的最大值为 ．
【答案】
试题分析：因为，所以，所以，即，令，则
，而，所以，即，故应填．
【题型十四】 三元最值型
【典例分析】
已知实数满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：
即，
由，，，
所以，
即，当且仅当时取等号，
综上所述，的取值范围是.
故答案选
【变式演练】
1.若实数、、，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以 ，所以=，当且仅当时，等号成立. 故选D.
点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为.
2.已知，且，则的最大值是_______，的最大值是________．
【答案】 10
【分析】直接利用均值不等式得到答案；变换得到，代入数据计算得到答案.
【详解】根据均值不等式：，，，
故，当且仅当时取等号；
又因为，，
，
令，即，
故此时有，即，
当且仅当时取等号．
故答案为：10；.
3.若正实数满足，则的最大值为________.
【答案】
由题设，由结合基本不等式可得，从而可得的最大值.
【详解】因为，所以，
而，故，所以，
当且仅当等号成立，故的最大值为.
故答案为：.
【题型十五】 恒成立求参数型
【典例分析】
对任意正实数不等式恒成立，则（ ）
A．实数有最小值1B．实数有最大值1
C．实数有最小值D．实数有最大值
【答案】C
【分析】化简得到，考虑和两种情况得到，根据均值不等式得到最值得到答案.
【详解】，故，，
当时，不等式恒成立；
当时，，
，时等号成立，，故，故.
故选：C.
【变式演练】
1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设，则
所以

当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.故选A
2.正数满足若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
当且仅当时取等号
因此不等式对恒成立，即对恒成立，
令，则，即， 故选：C
3.设都是正数，且使，求实数的最大值.
【答案】.
【详解】由题意得．，．，，
．．∴．当且仅当时，k的最大值为.
【题型十六】 超难压轴小题
【典例分析】
设为正实数，若则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据，可得，进而，有，而，令，得到，再用导数法求解，
【详解】因为，所以，
所以，所以，所以，
令，，所以，
当时，，当时，所以当时，取得最大值，
又，所以取值范围是，
故答案为：
【变式演练】
1.若，均为正实数，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】将所求式子变为，利用基本不等式可求得，则可知当时，可求得最小值.
【详解】当，即时
取得最小值为：
本题正确结果：成立的条件.
2.已知a,b∈[0,1]，则S(a,b)=a1+b+b1+a+(1−a)(1−b)的最小值为________．
【答案】13−552
【详解】试题分析：∵a,b∈[0,1]，∴S(a,b)=a1+b+b1+a+(1−a)(1−b)=1+a+b+a2b2(1+a)(1+b)=1−ab(1−ab)(1+a)(1+b)，
令T=ab(1−ab)(1+a)(1+b),x=ab，则T=ab(1−ab)1+a+b+ab≤ab(1−ab)1+2ab+ab=x2(1−x2)(1+x)2=x2(1−x)x+1，令f(x)=x2(1−x)x+1,x∈[0,1]，可得f'(x)=−2x(x2+x−1)(x+1)2,x∈[0,1]，所以f(x)在[0,5−12)上单调递增，在(5−12,1]上单调递增减；所以f(x)max=f(5−12)=55−112，所以S(a,b)得最小值为1−f(x)max=1−55−112=13−552．
3.已知，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】设，
则原式
，
以上两个等号当且仅当且，即时同时成立．
所以所求的最小值为6．答案：6
1.已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．9D．10
【详解】∵，，，∴，当且仅当
时，即时取“”.
2.已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】将变形为，再用基本不等式和解不等式即可.
【详解】因为，，且，所以，所以，
所以，即当且仅当，即，时等号成立，故的最小值．
故选：B.
3.已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．7D．6

【答案】D
【分析】根据条件利用均值不等式构造不等式，解二次不等式即可求解.
【详解】,
,当且仅当，即时等号成立，
解得或（舍去），的最小值为6故选：D
4.、设，且，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【详解】D因为，∴，又由，所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值是，故选D.
5.若实数x，y满足x＞y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为______．

【答案】25/3
6.已知的最小值为 。

【答案】3
【解析】
试题分析：根据题意，由于
则根据均值不等式可知，故可知答案为.
7.已知正数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．

【答案】B
【分析】已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】，因为，所以，
因此
，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），所以.
故选：B.
8.若实数x，y满足，且，则的最小值是_______________.

【答案】4
解：，满足，且，则，当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值4．故答案为：4．
9.已知x>0,y>0,z>0,x−y+2z=0，则的 ( )
A． 最大值为18 B． 最小值为18 C． 最大值为8 D． 最小值为8

【答案】A
【详解】由题意知x>0,y>0,z>0,x−y+2z=0，则y=x+2z，又由xzy2=xz(x+2z)2=xzx2+4xz+4z2=1xz+4zx+4≤12xz×4zx+4=18，
当且仅当xz=4zx，即x=2z时等号成立，所以xzy2最大值为18，故选A.
10.知，，，则＋的最小值为____．

【答案】
【分析】将原等式化为，从而可得，利用换元法和基本不等式可求最值.
【详解】可化为，
因为，，故，故，所以.
设，故且，故
又，
因为，故即，当且仅当时等号成立，
故的最小值为4，故的最小值为.故答案为：.
11.若，则的最小值为____________．

【答案】
【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.
12.已知实数x,y满足，则的取值范围是__ _
答案：
13.已知，且满足，则的最小值为

【答案】试题分析：∵，且满足，∴，
=，
当且仅当时，的最小值为。
14.已如，则的最小值为______.

【答案】7
【分析】根据条件换元与放缩，再根据基本不等式求最值.
【详解】设，则，
所以
当且仅当时取等号，即的最小值为
15.若实数满足，则的最大值为________.

【答案】
已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由，得，设，其中.
则，从而，
记，则，不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.