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2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第四章 三角函数、解三角形 第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
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这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第四章 三角函数、解三角形 第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用，共24页。
第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin 2x.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
解析 (2)以y＝sin x的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象为例，“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
2.(易错题)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，4π， B.2，，
C.2，，－ D.2，4π，－
答案 C
解析 由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3.(2022·郑州模拟)人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)＝101＋25sin(160π t)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则下列说法正确的是( )
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值，舒张压高于标准值
答案 C
解析 p(t)＝101＋25sin(160πt)，
∵－1≤sin(160πt)≤1，∴p(t)∈[76，126]，
即收缩压为126 mmHg，舒张压为76 mmHg.
又知120/80 mmHg为标准值，∴收缩压高于标准值，舒张压低于标准值.
4.(易错题)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是____________.
答案 y＝3cos 2x
解析 由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝3sin 2(x＋)＝3sin(2x＋)＝3cos 2x.
5.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.
答案 －
解析 法一(五点作图法) 由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ).点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，
故f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－2cos ＝－.
法二(代点法) 由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，
所以T＝π，＝π，即ω＝2.
又点在函数f(x)的图象上，
所以2cos＝0，
所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z).
又|φ|＜，所以令k＝0，得φ＝－，
所以f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－2cos
＝－.
6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.则这段曲线的函数解析式为____________________.
答案 y＝10sin＋40，x∈[8，14]
解析 观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，
b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14].
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (经典母题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解 (1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z.
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋
π
2π
x
0
π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
描点、连线得图象：
(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象.
迁移 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
解 因为f(x)＝2sin
＝2cos＝2cos，
将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos的图象上所有的点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos图象，即为f(x)＝2sin的图象.
感悟提升 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
训练1 (2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )
A.sin B.sin
C.sin D.sin
答案 B
解析 依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝sin的图象
f（x）＝sin的图象．
考点二 由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
1．（2020·全国Ⅰ卷改编）设函数f（x）＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝cos
B．f（x）＝cos
C．f（x）＝cos
D．f（x）＝cos
答案 B
解析 由图象知π＜T＜2π，即π＜＜2π，
所以1＜|ω|＜2.
因为图象过点，
所以cos＝0，
所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝－k－，k∈Z.
因为1＜|ω|＜2，故k＝－1，得ω＝，
所以f（x）＝cos.
2.（2022·南昌模拟）函数f（x）＝sin（ω＞0）的部分图象如图所示，若△ABC的面积为，则ω＝（ ）
A. B.2 C. D.2π
答案 A
解析 由题图知|AC|＝T（T为f（x）的最小正周期），
点B的纵坐标yB＝sin ＝，
所以S△ABC＝×|AC|×yB＝×T×＝，解得T＝，所以ω＝＝.
3.函数f（x）＝2sin（ω>0，－<φ<）的部分图象如图所示，则ω＝ ，φ＝ .
答案 2 －
解析 设f（x）的最小正周期为T，
由题中图象可知T＝－，得T＝π，
则ω＝＝＝2.又图象过点，
则f＝2，即2sin＝2，
则sin＝1.
∵－<φ<，∴<φ＋<，
∴＋φ＝，∴φ＝－.
感悟提升 根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑：
（1）根据最大值或最小值求出A的值.
（2）根据周期求出ω的值.
（3）求φ的常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
考点三 三角函数图象、性质的应用
例2 （1）（2022·成都诊断）已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2021·长春模拟）已知x＝是函数f（x）＝2sin（2x＋φ）的一个极大值点，若方程f（x）＝m在上有且仅有一个实根，则实数m的取值范围是（ ）
A.[－，）∪{2} B.[0，）∪{2}
C.[－2，]∪{2} D.[，2]
答案 （1）B （2）A
解析 （1）因为函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f（x）＝sin（2x＋θ），将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到g（x）＝sin的图象.因为g（x）为偶函数，所以＋θ＝kπ＋（k∈Z），解得θ＝kπ＋（k∈Z）.
又因为－≤θ≤，所以θ＝，
所以f（x）＝sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），
解得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）.
当k＝0时，得到一个单调递减区间.
又⊆，故选B.
（2）由题意知2sin＝2，则＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝－，所以f（x）＝2sin.
方程f（x）＝m在上有且仅有一个实根，即函数y＝2sin的图象与直线y＝m有且仅有一个交点，作出y＝2sin的大致图象如图所示，由图易知－≤m＜或m＝2.
感悟提升 1.三角函数图象与性质综合问题的求解思路：
（1）将函数整理成y＝Asin（ωx＋φ）＋B（ω＞0）或y＝Acos（ωx＋φ）＋B（ω＞0）的形式；
（2）把ωx＋φ看成一个整体；
（3）借助函数y＝sin x或y＝cos x的图象与性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
训练2 （1）为使函数y＝sin ωx（ω>0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为（ ）
A.98π B.π C.π D.100π
（2）（2022·大同调研）设函数f（x）＝sin（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]上有且仅有5个零点，则ω的取值范围是 .
答案 （1）B （2）
解析 （1）由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
（2）f（x）＝sin（ω＞0），令ωx＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
由题意可得当k＝5时，x＝≤2π，
当k＝6时，x＝＞2π，
得≤ω＜，即ω∈.
考点四 三角函数模型的简单应用
例3 （2021·山东省八所重点中学联考）如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
（1）求t＝时，A，B两点间的距离；
（2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，
并求当t∈时，y的取值范围.
解 （1）连接AB，OA，OB（图略），当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，
所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，
所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
（2）依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin－2sin 2t
＝cos 2t－sin 2t
＝cos，
即函数关系式为y＝cos（t＞0），
当t∈时，2t＋∈，
所以cos∈，
故当t∈时，y∈.
感悟提升 三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键：
（1）已知函数解析式（模型），利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.
（2）函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量，如周期、振幅、初相等，然后建立模型.
训练3 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为P（x，y）.若初始位置为P0，则当秒针针尖从P0（此时t＝0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数关系可以是（ ）
A.y＝sin B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
答案 C
解析 因为函数的周期为T＝60，
所以ω＝＝，
设函数解析式为y＝sin（顺时针走动为负方向），
因为初始位置为P0，
所以t＝0时，y＝，
所以sin φ＝，所以φ可取，
所以函数解析式为y＝sin.
1.函数y＝sin在区间上的简图是（ ）
答案 A
解析 令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D项，当x∈时，－≤2x－≤－，在此区间上函数不会出现最高点，排除C项，故选A.
2.（2021·西安五校联考）将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是（ ）
A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝sin 4x D.y＝cos 4x
答案 A
解析 函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin，再向右平移个单位，得到y＝sin＝sin x.
3.为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 C
解析 因为y＝sin＝sin 2，所以要得到其图象，需把y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度.
4.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，－＜φ＜）的部分图象如图所示，则φ的值为（ ）
A.－ B. C.－ D.
答案 B
解析 由题意，得＝－＝，
所以T＝π.
由T＝，得ω＝2.
由图可知A＝1，所以f（x）＝sin（2x＋φ）.
又因为f＝sin＝0，－＜φ＜，所以φ＝.
5.（2022·东三省四市模拟）已知直线y＝－2与函数f（x）＝2sin（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 B
解析 ∵y＝－2与函数f（x）＝2sin（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，
∴函数的周期T＝π，即＝π，得ω＝2，
则f（x）＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
6.若将函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ）
A. B.
C. D.
答案 C
解析 f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝cos，将函数f（x）的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为g（x）＝cos，且该函数为偶函数，故2φ＋＝kπ（k∈Z），所以φ的最小正值为.
7.已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，则f
＝ .
答案
解析 由题图知＝2×＝，
所以ω＝2.
因为2×＋φ＝kπ＋（k∈Z），
所以φ＝kπ＋（k∈Z），
又|φ|<，所以φ＝，
这时f（x）＝Atan.
又函数图象过点（0，1），代入上式得A＝1，
所以f（x）＝tan，
所以f＝tan＝.
8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos（x＝1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为 ℃.
答案 20.5
解析 因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f（x）＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f（10）＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
9.（2022·郑州质检）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin的图象，则f（x）的解析式是 ；函数f（x）在区间上的值域是 .
答案 f（x）＝sin
解析 由题意，把y＝sin的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得y＝sin的图象，再把所得图象向右平移个单位，可得f（x）＝sin＝sin的图象.
当x∈时，2x－∈，
则sin∈.
10.已知函数f（x）＝－cos＋1－2sin2x.
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（2）先将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）图象的对称中心.
解 （1）f（x）＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下：
x
0
π
f（x）
1
2
0
－2
0
1
描点、连线，函数f（x）在区间[0，π]上的图象如图.
（2）将函数f（x）＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin[2＋]＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）＝2sin的图象.
由－＝kπ（k∈Z）得x＝2kπ＋（k∈Z），
故g（x）图象的对称中心为（k∈Z）.
11.已知函数f（x）＝Asin（A＞0，ω＞0）同时满足下列两个条件：①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和.
解 （1）由①可知A＝2，由②可知T＝π，ω＝2，所以f（x）＝2sin.
（2）因为f（x）＋1＝0，
所以sin＝－，
所以2x＋＝－＋2kπ（k∈Z）或2x＋＝＋2kπ（k∈Z），
即x＝－＋kπ（k∈Z）或x＝＋kπ（k∈Z）.
又因为x∈[－π，π]，
所以x的取值为－，，－，，
所以方程f（x）＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和为.
12.（2022·成都检测）已知锐角φ满足sin φ－cos φ＝1.若要得到函数f（x）＝－sin2（x＋φ）的图象，则可以将函数y＝sin 2x的图象（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 A
解析 因为sin φ－cos φ＝2sin＝1，
所以sin＝.
因为φ为锐角，所以φ－＝，
所以φ＝.
所以f（x）＝－sin2＝－
＝cos＝sin
＝sin＝sin，
所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数f（x）的图象.
13.（2021·厦门质检）已知函数f（x）＝sin＋cos ωx（ω＞0）在[0，π]上的值域为，则实数ω的取值范围是 .
答案
解析 f（x）＝sin＋cos ωx
＝sin ωx＋cos ωx＝sin.
因为x∈[0，π]，
所以ωx＋∈.
因为f（x）在[0，π]上的值域为，
所以≤ωπ＋≤，所以≤ω≤.
14.（2022·大庆模拟）已知函数f（x）＝sin＋＋b.
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围.
解 （1）∵函数f（x）＝sin＋＋b，
且函数f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），且ω∈[0，3]，
∴ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.
（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b.
∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；当2x＋∈，
即x∈时，函数f（x）单调递减.
又f（0）＝f，∴当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，
即sin≤－b－
故实数b的取值范围为∪.
第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin 2x.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
解析 (2)以y＝sin x的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象为例，“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
2.(易错题)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，4π， B.2，，
C.2，，－ D.2，4π，－
答案 C
解析 由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3.(2022·郑州模拟)人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)＝101＋25sin(160π t)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则下列说法正确的是( )
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值，舒张压高于标准值
答案 C
解析 p(t)＝101＋25sin(160πt)，
∵－1≤sin(160πt)≤1，∴p(t)∈[76，126]，
即收缩压为126 mmHg，舒张压为76 mmHg.
又知120/80 mmHg为标准值，∴收缩压高于标准值，舒张压低于标准值.
4.(易错题)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是____________.
答案 y＝3cos 2x
解析 由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝3sin 2(x＋)＝3sin(2x＋)＝3cos 2x.
5.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.
答案 －
解析 法一(五点作图法) 由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ).点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，
故f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－2cos ＝－.
法二(代点法) 由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，
所以T＝π，＝π，即ω＝2.
又点在函数f(x)的图象上，
所以2cos＝0，
所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z).
又|φ|＜，所以令k＝0，得φ＝－，
所以f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－2cos
＝－.
6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.则这段曲线的函数解析式为____________________.
答案 y＝10sin＋40，x∈[8，14]
解析 观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，
b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14].
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (经典母题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解 (1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z.
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋
π
2π
x
0
π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
描点、连线得图象：
(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象.
迁移 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
解 因为f(x)＝2sin
＝2cos＝2cos，
将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos的图象上所有的点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos图象，即为f(x)＝2sin的图象.
感悟提升 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
训练1 (2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )
A.sin B.sin
C.sin D.sin
答案 B
解析 依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝sin的图象
f（x）＝sin的图象．
考点二 由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
1．（2020·全国Ⅰ卷改编）设函数f（x）＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝cos
B．f（x）＝cos
C．f（x）＝cos
D．f（x）＝cos
答案 B
解析 由图象知π＜T＜2π，即π＜＜2π，
所以1＜|ω|＜2.
因为图象过点，
所以cos＝0，
所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝－k－，k∈Z.
因为1＜|ω|＜2，故k＝－1，得ω＝，
所以f（x）＝cos.
2.（2022·南昌模拟）函数f（x）＝sin（ω＞0）的部分图象如图所示，若△ABC的面积为，则ω＝（ ）
A. B.2 C. D.2π
答案 A
解析 由题图知|AC|＝T（T为f（x）的最小正周期），
点B的纵坐标yB＝sin ＝，
所以S△ABC＝×|AC|×yB＝×T×＝，解得T＝，所以ω＝＝.
3.函数f（x）＝2sin（ω>0，－<φ<）的部分图象如图所示，则ω＝ ，φ＝ .
答案 2 －
解析 设f（x）的最小正周期为T，
由题中图象可知T＝－，得T＝π，
则ω＝＝＝2.又图象过点，
则f＝2，即2sin＝2，
则sin＝1.
∵－<φ<，∴<φ＋<，
∴＋φ＝，∴φ＝－.
感悟提升 根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑：
（1）根据最大值或最小值求出A的值.
（2）根据周期求出ω的值.
（3）求φ的常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
考点三 三角函数图象、性质的应用
例2 （1）（2022·成都诊断）已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2021·长春模拟）已知x＝是函数f（x）＝2sin（2x＋φ）的一个极大值点，若方程f（x）＝m在上有且仅有一个实根，则实数m的取值范围是（ ）
A.[－，）∪{2} B.[0，）∪{2}
C.[－2，]∪{2} D.[，2]
答案 （1）B （2）A
解析 （1）因为函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f（x）＝sin（2x＋θ），将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到g（x）＝sin的图象.因为g（x）为偶函数，所以＋θ＝kπ＋（k∈Z），解得θ＝kπ＋（k∈Z）.
又因为－≤θ≤，所以θ＝，
所以f（x）＝sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），
解得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）.
当k＝0时，得到一个单调递减区间.
又⊆，故选B.
（2）由题意知2sin＝2，则＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝－，所以f（x）＝2sin.
方程f（x）＝m在上有且仅有一个实根，即函数y＝2sin的图象与直线y＝m有且仅有一个交点，作出y＝2sin的大致图象如图所示，由图易知－≤m＜或m＝2.
感悟提升 1.三角函数图象与性质综合问题的求解思路：
（1）将函数整理成y＝Asin（ωx＋φ）＋B（ω＞0）或y＝Acos（ωx＋φ）＋B（ω＞0）的形式；
（2）把ωx＋φ看成一个整体；
（3）借助函数y＝sin x或y＝cos x的图象与性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
训练2 （1）为使函数y＝sin ωx（ω>0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为（ ）
A.98π B.π C.π D.100π
（2）（2022·大同调研）设函数f（x）＝sin（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]上有且仅有5个零点，则ω的取值范围是 .
答案 （1）B （2）
解析 （1）由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
（2）f（x）＝sin（ω＞0），令ωx＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
由题意可得当k＝5时，x＝≤2π，
当k＝6时，x＝＞2π，
得≤ω＜，即ω∈.
考点四 三角函数模型的简单应用
例3 （2021·山东省八所重点中学联考）如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
（1）求t＝时，A，B两点间的距离；
（2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，
并求当t∈时，y的取值范围.
解 （1）连接AB，OA，OB（图略），当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，
所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，
所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
（2）依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin－2sin 2t
＝cos 2t－sin 2t
＝cos，
即函数关系式为y＝cos（t＞0），
当t∈时，2t＋∈，
所以cos∈，
故当t∈时，y∈.
感悟提升 三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键：
（1）已知函数解析式（模型），利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.
（2）函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量，如周期、振幅、初相等，然后建立模型.
训练3 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为P（x，y）.若初始位置为P0，则当秒针针尖从P0（此时t＝0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数关系可以是（ ）
A.y＝sin B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
答案 C
解析 因为函数的周期为T＝60，
所以ω＝＝，
设函数解析式为y＝sin（顺时针走动为负方向），
因为初始位置为P0，
所以t＝0时，y＝，
所以sin φ＝，所以φ可取，
所以函数解析式为y＝sin.
1.函数y＝sin在区间上的简图是（ ）
答案 A
解析 令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D项，当x∈时，－≤2x－≤－，在此区间上函数不会出现最高点，排除C项，故选A.
2.（2021·西安五校联考）将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是（ ）
A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝sin 4x D.y＝cos 4x
答案 A
解析 函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin，再向右平移个单位，得到y＝sin＝sin x.
3.为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 C
解析 因为y＝sin＝sin 2，所以要得到其图象，需把y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度.
4.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，－＜φ＜）的部分图象如图所示，则φ的值为（ ）
A.－ B. C.－ D.
答案 B
解析 由题意，得＝－＝，
所以T＝π.
由T＝，得ω＝2.
由图可知A＝1，所以f（x）＝sin（2x＋φ）.
又因为f＝sin＝0，－＜φ＜，所以φ＝.
5.（2022·东三省四市模拟）已知直线y＝－2与函数f（x）＝2sin（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 B
解析 ∵y＝－2与函数f（x）＝2sin（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，
∴函数的周期T＝π，即＝π，得ω＝2，
则f（x）＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
6.若将函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ）
A. B.
C. D.
答案 C
解析 f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝cos，将函数f（x）的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为g（x）＝cos，且该函数为偶函数，故2φ＋＝kπ（k∈Z），所以φ的最小正值为.
7.已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，则f
＝ .
答案
解析 由题图知＝2×＝，
所以ω＝2.
因为2×＋φ＝kπ＋（k∈Z），
所以φ＝kπ＋（k∈Z），
又|φ|<，所以φ＝，
这时f（x）＝Atan.
又函数图象过点（0，1），代入上式得A＝1，
所以f（x）＝tan，
所以f＝tan＝.
8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos（x＝1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为 ℃.
答案 20.5
解析 因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f（x）＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f（10）＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
9.（2022·郑州质检）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin的图象，则f（x）的解析式是 ；函数f（x）在区间上的值域是 .
答案 f（x）＝sin
解析 由题意，把y＝sin的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得y＝sin的图象，再把所得图象向右平移个单位，可得f（x）＝sin＝sin的图象.
当x∈时，2x－∈，
则sin∈.
10.已知函数f（x）＝－cos＋1－2sin2x.
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（2）先将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）图象的对称中心.
解 （1）f（x）＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下：
x
0
π
f（x）
1
2
0
－2
0
1
描点、连线，函数f（x）在区间[0，π]上的图象如图.
（2）将函数f（x）＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin[2＋]＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）＝2sin的图象.
由－＝kπ（k∈Z）得x＝2kπ＋（k∈Z），
故g（x）图象的对称中心为（k∈Z）.
11.已知函数f（x）＝Asin（A＞0，ω＞0）同时满足下列两个条件：①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和.
解 （1）由①可知A＝2，由②可知T＝π，ω＝2，所以f（x）＝2sin.
（2）因为f（x）＋1＝0，
所以sin＝－，
所以2x＋＝－＋2kπ（k∈Z）或2x＋＝＋2kπ（k∈Z），
即x＝－＋kπ（k∈Z）或x＝＋kπ（k∈Z）.
又因为x∈[－π，π]，
所以x的取值为－，，－，，
所以方程f（x）＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和为.
12.（2022·成都检测）已知锐角φ满足sin φ－cos φ＝1.若要得到函数f（x）＝－sin2（x＋φ）的图象，则可以将函数y＝sin 2x的图象（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 A
解析 因为sin φ－cos φ＝2sin＝1，
所以sin＝.
因为φ为锐角，所以φ－＝，
所以φ＝.
所以f（x）＝－sin2＝－
＝cos＝sin
＝sin＝sin，
所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数f（x）的图象.
13.（2021·厦门质检）已知函数f（x）＝sin＋cos ωx（ω＞0）在[0，π]上的值域为，则实数ω的取值范围是 .
答案
解析 f（x）＝sin＋cos ωx
＝sin ωx＋cos ωx＝sin.
因为x∈[0，π]，
所以ωx＋∈.
因为f（x）在[0，π]上的值域为，
所以≤ωπ＋≤，所以≤ω≤.
14.（2022·大庆模拟）已知函数f（x）＝sin＋＋b.
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围.
解 （1）∵函数f（x）＝sin＋＋b，
且函数f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），且ω∈[0，3]，
∴ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.
（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b.
∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；当2x＋∈，
即x∈时，函数f（x）单调递减.
又f（0）＝f，∴当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，
即sin≤－b－
故实数b的取值范围为∪.
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