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2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第九章 平面解析几何 第5节 椭圆 第一课时 椭圆及其性质
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这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第九章 平面解析几何 第5节 椭圆 第一课时 椭圆及其性质，共27页。试卷主要包含了椭圆的标准方程和几何性质，焦点三角形，焦点弦，已知F1，F2为椭圆C等内容，欢迎下载使用。
第5节 椭 圆
考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
5.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
2.(易错题)(2022·济南联考)“2
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若方程＋＝1表示的曲线为椭圆，
则解得2
A.13 B.12 C.9 D.6
答案 C
解析 由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.
4.(2021·洛阳模拟)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
答案 D
解析 把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝.
5.(易错题)已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________.
答案 3或
解析 若a2＝5，b2＝m，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.
综上，m＝3或.
6.(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.
答案 8
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.
设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.
第一课时 椭圆及其性质
考点一 椭圆的定义及其应用
1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
答案 A
解析 连接QA(图略).
由已知得|QA|＝|QP|，
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
2.(2022·合肥模拟)已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，椭圆E上一点P(2，1)关于原点的对称点为Q，若△PQF的周长为4＋2，则a－b＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可知，△PQF的周长为2a＋2×＝2a＋2.
又△PQF的周长为4＋2，
所以2a＝4，解得a＝2.
又点P(2，1)在椭圆上，
所以＋＝1，解得b＝，
所以a－b＝.
3.设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.
答案
解析 由题意知，c＝.
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°
＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，
∴S△PF1F2＝|F1P|·|PF2|sin 60°
＝××＝.
4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
答案 6＋ 6－
解析 椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，
∴|AF1|＝，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
感悟提升 1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.
考点二 椭圆的标准方程
例1 (1)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________.
(3)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
答案 (1)B (2)＋＝1 (3)＋＝1
解析 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).连接F1A，
令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图，不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，
得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(3)法一(待定系数法) 设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，
将点(，－)的坐标代入可得
＋＝1，
解得k＝5(k＝21舍去)，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二(定义法) 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝＋
，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
感悟提升 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
(3)椭圆系方程
①与＋＝1共焦点的椭圆系为＋＝1(k
训练1 (1)与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(，)的椭圆标准方程为______________.
(2)(2021·赣中南五校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点(0，)，过其中一焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若|AB|＝1，则椭圆C的标准方程为( )
A.x2＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 (1)＋＝1或＋＝1 (2)C
解析 (1)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝a(a>0)，
将点(，)代入，得a＝2.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，
设所求椭圆方程为＋＝λ(λ>0)，
将点(，)代入，得λ＝.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由题意知，椭圆C的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由椭圆C经过点(0，)，得b＝.
不妨设A(c，y1)，
代入椭圆方程得＋＝1，解得y＝，
所以|AB|＝＝1，由此解得a＝6，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
考点三 椭圆的几何性质
角度1 椭圆的离心率
例2 (1)(2022·昆明诊断)已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若＝3，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2021·兰州调研)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C上一点，且PF1与x轴垂直，直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q.若直线PQ的斜率为－，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 (1)C (2)B
解析 (1)设M(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，N(x，y)，
因为＝3，
所以(－c，－b)＝3(c－x，－y)，
所以代入椭圆方程并化简，
得e2＋＝1，解得e＝.
(2)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，
由PF1与x轴垂直，PQ的斜率为－，
可得P，
由kPQ＝kPF2＝＝－，
整理得＝，即2c2＋3ac－2a2＝0，
得2e2＋3e－2＝0，解得e＝或e＝－2(舍去).
感悟提升 求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程求解.
(3)利用公式e＝求解.
角度2 与椭圆几何性质有关的最值范围问题
例3 (1)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)已知点A(0，2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)设左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则＝≥，
∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝∈，故选A.
(2)设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，
∴|PA|2＝x＋(y0－2)2.
∵＋y＝1，
∴|PA|2＝4(1－y)＋(y0－2)2＝－3y－4y0＋8＝－3＋.
∵－1≤y0≤1，
∴当y0＝－时，|PA|＝，
即|PA|max＝.
感悟提升 利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.
训练2 (1)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞)
B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞)
D.(0，]∪[4，＋∞)
(2)(2022·成都质量检测)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF＝AB，则椭圆的离心率为________.
答案 (1)A (2)－
解析 (1)①当焦点在x轴上，依题意得
0
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
(2)设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由题意和对称性，得四边形FAF′C为矩形，
三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′＝AB＝x(x>0)，则x＋x＋x＝4a，解得x＝(4－2)a，则AF＝(2－2)a，在直角三角形AFF′中，由勾股定理得AF′2＋AF2＝(2c)2，所以e2＝9－6，e＝－.
1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3
C.5或3 D.8
答案 C
解析 由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，又满足关系式a2－b2＝c2＝1，故当a2＝4时，m＝b2＝3；当b2＝4时，m＝a2＝5.
2.(2022·西安模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意可得＝，4a＝12，解得a＝3，c＝2，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图，由题意可得，b＝c，则2b2＝c2，
即2(a2－c2)＝c2，
则2a2＝3c2，
∴＝，即e＝＝.
5.(2021·盐城调研)已知F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，若S△F1PF2＝4，则∠F1PF2等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案 D
解析 由＋＝1，可得a＝2，b＝2，c＝＝2.
设P(x1，y1)且y1>0，
所以S△F1PF2＝|F1F2|·y1＝×4×y1＝4，解得y1＝2，
此时点P的坐标为(0，2)，
所以|PF1|＝|PF2|＝2.
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
所以∠F1PF2＝90°.
6.设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设P，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由线段PF1的中垂线过点F2
得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥.
又0
答案 ＋＝1或＋＝1
解析 若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为
＋＝t(t>0)，将点(2，－)代入，得
t＝＋＝2，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)，得λ＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
8.(2021·皖北协作体联考)“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，“天问一号”探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，“天问一号”探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里，火星半径约为3 400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为________(精确到0.1).
答案 0.6
解析 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，
根据题意可得近火点满足a－c＝3 400＋265＝3 665，远火点满足a＋c＝3 400＋11 945＝15 345，
解得a＝9 505，c＝5 840，
所以椭圆的离心率为e＝＝≈0.6.
9.已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
答案 5
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝2，
得
即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.
因为点A，B在椭圆上，
所以
得y2＝m＋，
所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，
点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
10.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
解 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，
∵F1A⊥F2A，∴·＝0.
而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5，
∴F1(－5，0)，F2(5，0)，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋
＝＋＝4，
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
11.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
(1)解 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－
3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴≥，即e≥.又0
12.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 A
解析 ∵椭圆的方程为＋＝1，
∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，
∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，
设另一个焦点为C(0，1)，如图所示.
根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，
∴|PB|＝4－|PC|，
∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.
13.(2022·绵阳诊断)已知F(0，1)为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过E的下顶点B和F的直线与E的另一个交点为A，若4＝5，则a＝________.
答案 3
解析 如图，设椭圆的左焦点为F′，则F′(－1，0).
连接AF′，BF′，则|BF|＝|BF′|＝a.
由4＝5，得|AF|＝.
由椭圆的定义可知，|AF′|＝2a－|AF|＝a，
设∠AFF′＝θ，则∠BFF′＝π－θ，
则cos θ＝
＝＝
＝①，
而cos(π－θ)＝
＝＝②，
由①＋②得＋＝0，解得a＝3.
14.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解 (1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，
于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，
故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，
·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝ (c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P，
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).
第5节 椭 圆
考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
5.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
2.(易错题)(2022·济南联考)“2
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若方程＋＝1表示的曲线为椭圆，
则解得2
A.13 B.12 C.9 D.6
答案 C
解析 由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.
4.(2021·洛阳模拟)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
答案 D
解析 把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝.
5.(易错题)已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________.
答案 3或
解析 若a2＝5，b2＝m，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.
综上，m＝3或.
6.(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.
答案 8
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.
设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.
第一课时 椭圆及其性质
考点一 椭圆的定义及其应用
1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
答案 A
解析 连接QA(图略).
由已知得|QA|＝|QP|，
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
2.(2022·合肥模拟)已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，椭圆E上一点P(2，1)关于原点的对称点为Q，若△PQF的周长为4＋2，则a－b＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可知，△PQF的周长为2a＋2×＝2a＋2.
又△PQF的周长为4＋2，
所以2a＝4，解得a＝2.
又点P(2，1)在椭圆上，
所以＋＝1，解得b＝，
所以a－b＝.
3.设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.
答案
解析 由题意知，c＝.
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°
＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，
∴S△PF1F2＝|F1P|·|PF2|sin 60°
＝××＝.
4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
答案 6＋ 6－
解析 椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，
∴|AF1|＝，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
感悟提升 1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.
考点二 椭圆的标准方程
例1 (1)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________.
(3)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
答案 (1)B (2)＋＝1 (3)＋＝1
解析 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).连接F1A，
令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图，不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，
得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(3)法一(待定系数法) 设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，
将点(，－)的坐标代入可得
＋＝1，
解得k＝5(k＝21舍去)，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二(定义法) 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝＋
，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
感悟提升 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
(3)椭圆系方程
①与＋＝1共焦点的椭圆系为＋＝1(k
训练1 (1)与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(，)的椭圆标准方程为______________.
(2)(2021·赣中南五校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点(0，)，过其中一焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若|AB|＝1，则椭圆C的标准方程为( )
A.x2＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 (1)＋＝1或＋＝1 (2)C
解析 (1)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝a(a>0)，
将点(，)代入，得a＝2.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，
设所求椭圆方程为＋＝λ(λ>0)，
将点(，)代入，得λ＝.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由题意知，椭圆C的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由椭圆C经过点(0，)，得b＝.
不妨设A(c，y1)，
代入椭圆方程得＋＝1，解得y＝，
所以|AB|＝＝1，由此解得a＝6，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
考点三 椭圆的几何性质
角度1 椭圆的离心率
例2 (1)(2022·昆明诊断)已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若＝3，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2021·兰州调研)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C上一点，且PF1与x轴垂直，直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q.若直线PQ的斜率为－，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 (1)C (2)B
解析 (1)设M(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，N(x，y)，
因为＝3，
所以(－c，－b)＝3(c－x，－y)，
所以代入椭圆方程并化简，
得e2＋＝1，解得e＝.
(2)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，
由PF1与x轴垂直，PQ的斜率为－，
可得P，
由kPQ＝kPF2＝＝－，
整理得＝，即2c2＋3ac－2a2＝0，
得2e2＋3e－2＝0，解得e＝或e＝－2(舍去).
感悟提升 求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程求解.
(3)利用公式e＝求解.
角度2 与椭圆几何性质有关的最值范围问题
例3 (1)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)已知点A(0，2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)设左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则＝≥，
∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝∈，故选A.
(2)设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，
∴|PA|2＝x＋(y0－2)2.
∵＋y＝1，
∴|PA|2＝4(1－y)＋(y0－2)2＝－3y－4y0＋8＝－3＋.
∵－1≤y0≤1，
∴当y0＝－时，|PA|＝，
即|PA|max＝.
感悟提升 利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.
训练2 (1)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞)
B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞)
D.(0，]∪[4，＋∞)
(2)(2022·成都质量检测)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF＝AB，则椭圆的离心率为________.
答案 (1)A (2)－
解析 (1)①当焦点在x轴上，依题意得
0
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
(2)设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由题意和对称性，得四边形FAF′C为矩形，
三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′＝AB＝x(x>0)，则x＋x＋x＝4a，解得x＝(4－2)a，则AF＝(2－2)a，在直角三角形AFF′中，由勾股定理得AF′2＋AF2＝(2c)2，所以e2＝9－6，e＝－.
1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3
C.5或3 D.8
答案 C
解析 由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，又满足关系式a2－b2＝c2＝1，故当a2＝4时，m＝b2＝3；当b2＝4时，m＝a2＝5.
2.(2022·西安模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意可得＝，4a＝12，解得a＝3，c＝2，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图，由题意可得，b＝c，则2b2＝c2，
即2(a2－c2)＝c2，
则2a2＝3c2，
∴＝，即e＝＝.
5.(2021·盐城调研)已知F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，若S△F1PF2＝4，则∠F1PF2等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案 D
解析 由＋＝1，可得a＝2，b＝2，c＝＝2.
设P(x1，y1)且y1>0，
所以S△F1PF2＝|F1F2|·y1＝×4×y1＝4，解得y1＝2，
此时点P的坐标为(0，2)，
所以|PF1|＝|PF2|＝2.
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
所以∠F1PF2＝90°.
6.设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设P，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由线段PF1的中垂线过点F2
得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥.
又0
答案 ＋＝1或＋＝1
解析 若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为
＋＝t(t>0)，将点(2，－)代入，得
t＝＋＝2，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)，得λ＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
8.(2021·皖北协作体联考)“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，“天问一号”探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，“天问一号”探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里，火星半径约为3 400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为________(精确到0.1).
答案 0.6
解析 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，
根据题意可得近火点满足a－c＝3 400＋265＝3 665，远火点满足a＋c＝3 400＋11 945＝15 345，
解得a＝9 505，c＝5 840，
所以椭圆的离心率为e＝＝≈0.6.
9.已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
答案 5
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝2，
得
即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.
因为点A，B在椭圆上，
所以
得y2＝m＋，
所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，
点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
10.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
解 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，
∵F1A⊥F2A，∴·＝0.
而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5，
∴F1(－5，0)，F2(5，0)，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋
＝＋＝4，
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
11.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
(1)解 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－
3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴≥，即e≥.又0
12.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 A
解析 ∵椭圆的方程为＋＝1，
∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，
∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，
设另一个焦点为C(0，1)，如图所示.
根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，
∴|PB|＝4－|PC|，
∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.
13.(2022·绵阳诊断)已知F(0，1)为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过E的下顶点B和F的直线与E的另一个交点为A，若4＝5，则a＝________.
答案 3
解析 如图，设椭圆的左焦点为F′，则F′(－1，0).
连接AF′，BF′，则|BF|＝|BF′|＝a.
由4＝5，得|AF|＝.
由椭圆的定义可知，|AF′|＝2a－|AF|＝a，
设∠AFF′＝θ，则∠BFF′＝π－θ，
则cos θ＝
＝＝
＝①，
而cos(π－θ)＝
＝＝②，
由①＋②得＋＝0，解得a＝3.
14.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解 (1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，
于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，
故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，
·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝ (c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P，
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).
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