2025高考数学一轮课时作业第八章平面解析几何8.5椭圆第1课时椭圆的标准方程与简单几何性质（附解析）

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1. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ B ）
A. 2B. 7C. 5D. 3
解：由椭圆 知，所以.故点 到另一个焦点的距离为.故选.
2. 已知椭圆的左焦点为，则的值为（ C ）
A. 9B. 4C. 3D. 2
解：由题意,知，解得（舍去负值）.故选.
3. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ C ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：把方程化成，若，则.所以椭圆的焦点在 轴上.反之，若椭圆的焦点在 轴上，则，即有.故“”是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的充要条件.故选.
4. 已知椭圆的离心率为，则（ B ）
A. B. C. D.
解：椭圆的离心率，,化简得.故选.
5. 已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ C ）
A. B. C. D.
解：设,.因为,，所以,,则,故,所以.
因为,所以.
所以椭圆的方程是.故选.
6. 【多选题】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ACD ）
A. 椭圆的方程为B. 椭圆的方程为
C. D. 的周长为
解:由已知，得,则.又,所以.
所以椭圆 的方程为,图形如图所示.
易知,的周长为.故选.
7. 设椭圆的两焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与交于，两点.若为直角三角形，则的离心率为 .
解：因为 为直角三角形，,所以，则.
所以,
所以椭圆 的离心率.故填.
8. 设，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为.
（1） 若直线的斜率为，求的离心率；
解：根据 及题设知,，则由 有.将 代入，解得 或（舍去）.故 的离心率为.
（2） 若直线在轴上的截距为2，点的纵坐标为，求椭圆的方程.
[答案]
由题意，知原点 为 的中点，轴.所以直线 与 轴的交点 是线段 的中点，故，即.
易知 在第一象限，由三角形的相似得，得，故,，
代入 的方程，得.
将①及 代入②,得.
解得.又，故.
所以椭圆方程为.
【综合运用】
9. 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（ A ）
A. B. C. 5D.
解：在椭圆 中，，，则.易知，为椭圆的焦点，因此.故选.
10. [2021年全国乙卷]设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
解：设，已知，因为，，所以.
因为，当，即 时，，即，符合题意.
由 可得.设 的离心率为,则.
当，即 时，，即，
化简得，当 时，显然该不等式不成立.
综上，.
另解：设.
由,得.
当 时，或,满足.
当 时,.
由 的任意性，知,则,
则.故选.
11. 【多选题】设椭圆的焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ AD ）
A. 离心率B. 的最大值为3
C. 面积的最大值为D. 的最小值为2
解：由题意，得,,,,故 正确.
不妨令,.设,则.因为,所以当 时，，即，故 错误.
因为,,所以当,即点 在短轴的端点时，的面积取得最大值，且，故 错误.
,故 正确.
故选.
12. 已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1） 求椭圆的标准方程；
解：依题意,得,.离心率，解得.所以.所以椭圆 的标准方程为.
（2） 若点，点在椭圆上，求的最大值.
[答案]设，则，其中.当 时，,故 的最大值为.
【拓广探索】
13. 【多选题】某校航天兴趣小组利用计算机模拟飞行器探月飞行.如图，飞行器在环月椭圆轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点）近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（ BC ）
A. 圆形轨道的周长为
B. 月球半径为
C. 近月点与远月点的距离为
D. 椭圆轨道的离心率为
解：以 的速度进入距离月球表面 的环月圆形轨道,环绕周期为,则可得环绕的圆形轨道周长为,半径为,故 错误.
则月球半径为,故 正确.
则近月点与远月点的距离为,故 正确.
设椭圆方程为,则,（为月球的半径）,所以,,故离心率为,故 错误.
故选.