2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第九章 平面解析几何 第2节 两直线的位置关系

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第2节　两直线的位置关系
考试要求　1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.


1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为
|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有
可求出x′，y′.

1.两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
2.两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3.若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)表示过l1和l2的交点的直线系方程(不表示直线l2的方程).

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.(　　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)两直线l1，l2有可能重合.
(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.
2.(易错题)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与l2：mx＋3y－6＝0平行，则实数m的值为(　　)
A.2 B.－3
C.±2 D.－3或2
答案　A
解析　由m(m＋1)－6＝0，解得m＝－3或2，经验证，m＝－3时两直线重合，舍去.
3.(易错题)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)
A. B.
C.7 D.
答案　D
解析　由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝.
4.(2022·大同期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　)
A.6x－4y－3＝0
B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
D.2x＋3y－1＝0
答案　A
解析　因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
5.(2021·全国乙卷)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________.
答案　
解析　由－＝1得右焦点的坐标为(3，0)，则由点到直线的距离公式得所求距离d＝＝.
6.已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案　1
解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.

考点一　两直线的平行与垂直
1.已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)
A.－1 B.2
C.0或－2 D.－1或2
答案　D
解析　法一　∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在.
又l1∥l2，∴＝－，
∴a＝－1或a＝2，
又两条直线在y轴上的截距不相等.
∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行.
法二　由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.
由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
所以a＝－1或a＝2.
2.若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)
A.－2 B.－4
C.－6 D.－8
答案　B
解析　由已知得×＝－1，
a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，
解得a＝10，c＝－2，b＝－12，
∴a＋b＋c＝－4.
3.已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.
当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝或－；
当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.
所以实数m的取值集合为.
感悟提升　1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
考点二　两直线的交点与距离问题
例1 (1)直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　)
A.2x＋y＝0 B.2x－y＝0
C.x＋2y＝0 D.x－2y＝0
(2)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A.1 B.
C. D.2
(3)(2021·湛江一模)一条与直线x－2y＋3＝0平行且距离大于的直线方程为________.
答案　(1)B　(2)B　(3)x－2y＋9＝0(答案不唯一)
解析　(1)法一　联立方程
解得
所以两直线的交点为(－1，－2)，
所以直线l的斜率为＝2，
则直线l的方程为2x－y＝0.
法二　设所求直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，
因为直线l经过原点，所以2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，
解得λ＝8.
所以直线l的方程为2x－y＝0.
(2)设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为.
(3)设该直线方程为x－2y＋b＝0(b≠3)，由距离公式可知>，解得b8，即该直线方程可为x－2y＋9＝0.(答案不唯一)
感悟提升　1.求过两直线交点的直线方程的方法：
(1)列方程组解出交点，根据条件写出直线方程；
(2)采用过交点的直线系方程求解.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为对应相等.
训练1 (1)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围为(　　)
A.
B.∪(－1，＋∞)
C.∪
D.
(2)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________.
答案　(1)D　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1
解析　(1)联立
解得
∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，
∴>0，且>0.
解得－