备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第5节 椭圆 第二课时 直线与椭圆

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第5节 椭圆 第二课时 直线与椭圆，共17页。试卷主要包含了已知直线l，记半焦距为c，，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
第二课时　直线与椭圆

考点一　直线与椭圆的位置关系
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A.m>1 B.m>0
C.0b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，则直线l的方程为________________.
答案　(1)A　(2)x－y＋1＝0或x＋y－1＝0
解析　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB的中点为M，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.
∵PF∥l，∴kPF＝kl＝－＝.
∵＋＝1，＋＝1.
∴＋＝0，
∴＋＝0，可得2bc＝a2，
∴4c2(a2－c2)＝a4，化为4e4－4e2＋1＝0，
解得e2＝.
又∵01且m≠3.故选B.
2.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.
因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，
所以＝，b2＝a2－c2，
所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.
3.直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是(　　)
A.2 B.
C.4 D.不能确定
答案　B
解析　直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为
＝
＝，
当y＝－时，弦长最大为.
4.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　kAB＝＝，kOM＝－1.
由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.
∴c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.
5.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　　)
A.3 B. C.2 D.
答案　D
解析　设椭圆＋＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，
则点P到直线x＋2y－＝0的距离为d＝＝，
所以dmax＝＝.
6.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆相切，记F1，F2到直线l的距离分别为d1，d2，则d1·d2的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　由得
(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，
由Δ＝0得m2＝2＋6k2，
所以d1·d2＝·
＝＝＝2.
7.已知P为椭圆＋y2＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________.
答案　2x＋4y－3＝0
解析　易知此弦所在直线斜率存在，设斜率为k，
弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有＋y＝1，＋y＝1，
两式作差，得
＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，
∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
∴＋(y2－y1)＝0，
∴k＝＝－，
经检验，k＝－满足题意，
∴此弦所在的直线方程为
y－＝－，
即2x＋4y－3＝0.
8.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________.
答案　＋x2＝1
解析　因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，
因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，
所以＝1，a＝2，
所以椭圆方程为＋x2＝1.
9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________.
答案　
解析　以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，
直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，
整理为a2＝3b2，
即a2＝3(a2－c2)⇒2a2＝3c2，
即＝，e＝＝.
10.(2021·西安调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值.
解　(1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由消y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，显然Δ>0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝.
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
11.(2022·郑州适应性考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，直线l：y＝kx＋a，直线l与椭圆C交于M，N两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.
(1)若k＝1，且N为线段MP的中点，求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2，0)，直线QM，QN与y轴分别交于A，B两点，当·＝1时，求椭圆C的方程.
解　(1)由题意知直线l：y＝x＋a与x轴交于点(－a，0)，
∴点M为椭圆C的左顶点，即M(－a，0)，P(0，a)，
∴N，代入＋＝1，
得＋＝1，即＝.
∴e2＝＝1－＝，
∴e＝，即椭圆C的离心率e＝.
(2)由题意得a＝2，
∴椭圆C的方程为b2x2＋4y2＝4b2(b>0).
由消去y，得
(4k2＋b2)x2＋16kx＋16－4b2＝0.
∴
∵直线QM：y＝(x－2)，
∴A，＝.
∴yM＝kxM＋2，∴yM－2＝kxM，
即＝.
同理＝，
∴·＝
＝4－b2＝1，
∴b2＝3.
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

12.(2022·合肥模考)已知双曲线x2－＝1的左、右顶点分别为A，B，焦点在y轴上的椭圆以A，B为顶点，且离心率为，过A作斜率为k的直线l交双曲线于另一点M，交椭圆于另一点N，若＝，则k的值为(　　)
A.± B.±1 C.± D.±
答案　A
解析　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c(c＝).
因为双曲线x2－＝1的左顶点为A(－1，0)，右顶点为B(1，0)，椭圆＋＝1以A，B为顶点，所以b＝1，
又椭圆的离心率为e＝＝，
所以a＝2，c＝，
所以椭圆的方程为＋x2＝1.
设点N(x0，y0)且x0≠－1，
由＝，得N为AM的中点，
又A(－1，0)，则点M(2x0＋1，2y0).
由于点N在椭圆上，点M在双曲线上，
所以解得
所以k＝＝±，故选A.
13.已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________.
答案　
解析　设第一象限的交点为A(x，y)，直线y＝x的倾斜角为α，
由tan α＝，得sin α＝，cos α＝，
即A，
把点A的坐标代入椭圆方程，整理得
8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)·(2e2－3)＝0，
又00)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点在C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|·|BF1|＝，求|AB|.
解　(1)因为椭圆C过点，
所以＋＝1，①
又椭圆C的离心率为，所以＝，
故＝＝1－＝，②
联立①②得解得
故椭圆C的标准方程＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，易得|AF2|＝|BF2|＝＝，
所以|AF1|＝|BF1|＝＝，
则|AF1|·|BF1|＝≠，故直线l的斜率存在.
已知F2(1，0)，设直线l：y＝k(x－1)，交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x2∈[－，]，
联立消去y，整理得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
因为Δ＝(－4k2)2－4×(2k2＋1)(2k2－2)＝8(k2＋1)>0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又|AF1|＝＝
＝＝，
同理，|BF1|＝，
则|AF1|·|BF1|＝＝＝，解得k2＝1.
所以|AF1|＋|BF1|＝＝，
又因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4，
所以|AB|＝.