2023年湖南省张家界市中考数学三模试卷（含解析）

2023年湖南省张家界市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日下午，“天宫课堂”第课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组三位航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课，某平台进行全程直播．某一时刻观看人数达到人．用科学记数法表示，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  阅读理解：，，，是实数，我们把符号“”称为阶行列式，并且规定：例如二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为；其中，，．
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是(    )

A.  B.
C.  D. 方程组的解为

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：______．

10.  二次根式中，的取值范围是______．

11.  若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是______．

12.  如图，在矩形中，，，是边上的一个动点，则当与相似时，______．

13.  已知圆锥的母线长是，侧面积是，则这个圆锥底面圆的半径是          ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图象经过点和的中点，则的值是          ．
 

三、解答题（本大题共9小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
先化简再求值：，其中．

17.  本小题分
某水果店月份购进甲、乙两种水果共花费元，其中甲种水果元千克，乙种水果元千克．月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果元千克，乙种水果元千克．
若该店月份购进这两种水果的数量与月份都相同，将多支付货款元，求该店月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
若月份将这两种水果进货总量减少到千克，且甲种水果不超过乙种水果的倍，则月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？

18.  本小题分
如图，在中，点，点分别是边，的中点，点在线段上，，交于点．
证明：四边形是菱形；
若，，，求的长度．

19.  本小题分
如图，一轮船以的速度由西向东航行，在途中点处接到台风警报，台风中心点正以的速度由南向北移动．已知距台风中心的区域包括边界都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得，假定轮船不改变航向．
如果这艘轮船不改变航向，经过小时，轮船与台风中心相距多远？此时，轮船是否受到台风影响？
如果这艘轮船受到台风影响，请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时？

20.  本小题分
年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
这次被调查的同学共有______人；
扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______；
现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

21.  本小题分
如图，已知是的直径，是所对的圆周角，．
求的度数；
过点作，垂足为，的延长线交于点若，求的长．

22.  本小题分
材料题：请仔细阅读以下信息，试着给出你的答案和解答过程这里有三组数：
，，，；
，，，，；
，，，
两组是由有限个数组成的，是由无限个数组成的，它们的共同点：都是按一定次序排成的一列数，称之为数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项或首项，第项，第项，，第项，一般记成，，这三组数列都是从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数就叫公差，公差通常用字母表示．
问如数列中数列中那么数列中 ______ ．
又如，
，
问 ______ ；

由此可得到 ______
由的结论你能否求得此等差数列，，，第项与第项．

23.  本小题分
如图，抛物线、是常数的顶点为，与轴交于、两点，，，点为线段上的动点，过作交于点．
求该抛物线的解析式；
点是直线上一动点，点是抛物线上一动点，当点坐标为且四边形是平行四边形时，求点的坐标；
求面积的最大值，并求此时点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数为．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：和不是同类项，
不能进行合并计算，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
选项C符合题意；
选项D不符合题意；
故选：．
运用合并同类项、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除的计算方法进行逐一计算辨别．
此题考查了整式加减、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除的计算能力，关键是能准确理解以上运算法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
个选择中只有符合．
故选：．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出的取值范围即可进行判断．
本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数是，，它们的平均数为，因此中位数是小时，
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出的度数．
根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求．
【解答】
解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：，
故选：．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，正确；
B、，正确；
C、，不正确；
D、方程组的解：，正确．
故选：．
根据题中的新定义判断即可．
此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
解：原式
．
故答案为：．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．
先求出每一外角的度数是，然后用多边形的外角和为进行计算即可得解．
【解答】
解：正多边形的每一个内角为，
每一个外角的度数是，
多边形的外角和为，
，
即这个多边形是八边形．
故答案为．  

12.【答案】或或 

【解析】解：当∽时，
，即，
解得：或；
当∽时，
，
即，
解得：．
综上所述，的长度是或或．
故答案是：或或．
需要分类讨论：∽和∽，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】：圆锥的母线长是，侧面积是，
圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，
锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
，
故答案为：．
根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．
 

14.【答案】 

【解析】

解：过点作轴，轴；过点作轴．

根据题意可知，，
设，
四边形的面积为，
，
为的中点，轴，轴，
为的中位线，
，，
四边形的面积为，
，
解得：，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
根据反比例函数的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．  

15.【答案】解：原式

． 

【解析】分别根据绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

17.【答案】解：设该店月份购进甲种水果千克，购进乙种水果千克，
根据题意得：，
解得：．
答：该店月份购进甲种水果千克，购进乙种水果千克．
设购进甲种水果千克，需要支付的货款为元，则购进乙种水果千克，
根据题意得：．
甲种水果不超过乙种水果的倍，
，
解得：．
当时，取最小值，最小值为元．
月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是元． 

【解析】设该店月份购进甲种水果千克，购进乙种水果千克，根据总价单价购进数量，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进甲种水果千克，需要支付的货款为元，则购进乙种水果千克，根据总价单价购进数量，即可得出关于的关系式，由甲种水果不超过乙种水果的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的关系式．
 

18.【答案】证明：点，点分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形；
解：点，点分别是边，的中点，
是的中位线，
，
在中，
，
，
． 

【解析】根据三角形中位线定理得到，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，勾股定理逆定理，灵活运用这三个定理是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：，，
，
，
，
此时，轮船受到台风影响；
设当轮船接到报警后经过小时受到台风影响，由题意得：
，
解得：，，
轮船受到台风影响时间：小时，
答：轮船受到台风影响一共小时． 

【解析】直接利用勾股定理得出的长，进而利用勾股定理求出轮船与台风中心距离；
利用勾股定理结合一元二次方程解法得出轮船受到台风影响时间．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出线段长是解题关键．
 

20.【答案】解：；
；
列表如下：

共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种，
选中甲、乙，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 

【解析】

【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
用乘以篮球的学生所占的百分比即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：根据题意得：
人，
答：这次被调查的学生共有人；
故答案为：；
根据题意得：
，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
见答案．  

21.【答案】解：如图，连接，

，
，
是的直径，
，
；
，，，
，
，，且是直径，
，
． 

【解析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
连接，根据是的直径，可得，进而可以求的度数；
根据直角三角形度角所对直角边等于斜边的一半可得的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得的值，进而可得的长．
 

22.【答案】     

【解析】解：，，
中的，
故答案为：；
，
，
，
故答案为：；
由得：，
故答案为：；
，，
，
第项为：，
第项为：．
利用等差数列的定义进行求解即可；
根据所给的式子进行求解即可；
结合进行总结即可；
利用的结论进行求解即可．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是对由所给的式子总结出存在的规律．
 

23.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，，，
，
将，代入，得，
，
抛物线的解析式为；
抛物线解析式为，
点的坐标为，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
四边形是平行四边形，
，，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
或舍去，
解得：，
点的坐标为或；
如图，过作轴于，过作轴于，

设，则，
，
，

，
∽，
，
，
∽
，
，
即，
，

，
，
当时有最大值，
面积的最大值为，此时点坐标为． 

【解析】先根据，，求出点坐标，再将，点坐标代入求解；
先求出点的坐标，进而求出，求出直线的解析式为，由平行四边形的性质得到，，设点的坐标为，则点的坐标为，即可得到，解方程即可得到答案；
如图，过作轴于，过作轴于，设，则，，求出，证明∽，∽推出，求得，再由，得到，利用二次函数的性质即可得到答案．
本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．