2023年江苏省扬州市邗江区重点学校中考数学四模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省扬州市邗江区重点学校中考数学四模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省扬州市邗江区重点学校中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是(    )
A. 12− 3= 3 B. (−3)2=6
C. 3a4−2a2=a2 D. (−a3)2=a5
2. 如图，图中的几何体中，它的左视图是(    )
A.
B.
C.
D.
3. 下列二次根式中与 2是同类二次根式的是(    )
A. 12 B. 32 C. 23 D. 18
4. (−4)2的值为(    )
A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2
5. 下列调查中，适宜采用普查方式的是(    )
A. 了解一批圆珠笔的寿命 B. 了解全国九年级学生身高的现状
C. 检查神舟号载人飞船的各零部件 D. 考察人们保护海洋的意识
6. 若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是(    )
A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或4
7. 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是(    )


A. −12a B. −12(a+1) C. −12(a−1) D. −12(a+3)
8. 若一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象在第二象限内有两个交点，且其中一个交点的横坐标为−1，则二次函数y=ax2+bx−c的图象可能是(    )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 代数式x x+2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
10. 4月20日晚在中央电视台“情系玉树，大爱无疆--抗震救灾大型募捐活动特别节目”.据统计，这台募捐晚会共募得善款21.75亿元人民币.用科学记数法表示为______ 元人民币．
11. 在对某样本进行方差计算时，计算的公式是：s2=110[(x1−3)2+(x2−3)2+⋅⋅⋅+(x10−3)2]，该样本的样本容量是______ ．
12. 若2a=5，8b=11，则2a+3b的值为______ ．
13. 若关于x的一元二次方程(k−1)x2+x−k2=0的一个根为1，则k的值为_____．
14. 已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(4,1)，当y<1时，x的取值范围是______ ．
15. △ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，则tanA= ______ ．
16. 一个圆锥的高为3 3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是______．
17. 如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计)．

18. 如图，点A(−3,0)、点B(0,−3 3)，直线y=− 3x+4 3与x轴、y轴分别交于点D、C，M是平面内一动点，且∠AMB=60°，则△MCD面积的最小值是______．

三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）
19. 先化简再求值：(1x−1−1)÷x−2x2−2x+1，其中x是不等式组x−3(x−2)≥24x−2<5x−1的一个整数解．
20. 北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68 000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
(1)该商场两次共购进这种运动服多少套？
(2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？(利润率=利润成本×100%)
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
计算或化简：
(1)−22+(π−2017)0−2sin60°+|1− 3|；         
(2)a(3−2a)+2(a+1)(a−1)．
22. (本小题8.0分)
已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN/​/AB，DN交AC于点M，MA=MC．
①求证：CD=AN；
②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

23. (本小题8.0分)
为了解决杨树花絮污染环境的难题，某公司引进优秀专利品种，建立新树种实验基地，研究组在甲、乙两个实验基地同时播下新树种，同时随机各抽取20株树苗，记录下每株树苗的长度(单位：cm)，进行整理、描述和分析(用x表示树苗长度，数据分成5组：A.20≤x<30；B.30≤x<40；C.40≤x<50；D.50≤x<60；E.x≥60，50cm及以上为优等)，下面给出了部分信息：
【数据收集】甲实验基地抽取的20株树苗的长度：28，29，32，34，38，40，42，45，46，51，51，52，54，55，55，55，55，57，60，61．
乙实验基地抽取的20株树苗中，A、B、E三个等级的数据个数相同，C组的所有数据是：42，43，46，49，49．
【数据整理】
甲实验基地抽取的树苗长度统计表
x
频数
频率
A
2
0.1
B
a
0.15
C
4
0.2
D
9
0.45
E
2
0.1
【数据分析】
基地
平均数
众数
中位数
E组所占百分比
甲
47
b
51
10%
乙
47
56
c
m%

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，m= ______ ；
(2)根据上述数据分析，你认为甲、乙两基地哪个基地的树苗好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)请估计2000棵乙基地的树苗为优等的树苗有多少棵？
24. (本小题10.0分)
“六一”儿童节期间，某儿童用品商店设置了如下促销活动：如果购买该店100元以上的商品，就能参加一次游戏，即在现场抛掷一个正方体两次(这个正方体相对的两个面上分别画有相同图案)，如果两次都出现相同的图案，即可获得价值20元的礼品一份，否则没有奖励．求游戏中获得礼品的概率是多少？
25. (本小题10.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若sinC=45，AC=6，求⊙O的直径．

26. (本小题10.0分)
【尺规作图】在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．

(1)如图1，连接AD，若AD是△ABC的中线，请作出点F，使AD平分线段EF；
(2)如图2，当EF⊥AC时，请作出点D，使∠EDF=90°；
【方案设计】如图3，在问题(2)中，如果符合条件的点D有且仅有一个，请设计画图方案，画出图形.(无需尺规作图)
27. (本小题12.0分)
我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”.例如：如图1，已知钝角△ABC中，∠ACB是钝角，点D是AB上的一点，连接CD，若CD2=AD⋅BD，则称点D是△ABC的“比例中点”．

(1)如图2，已知点A的坐标为(4,0)，点B在y轴上，∠BAO=30°，若点M是△AOB的“比例中点”，则点M的坐标为______ ；
(2)如图3，已知△ABC中，AB=28，∠A=45°，tanB=34，若点N是△ABC的“比例中点”，求AN；
(3)如图4，已知△ABC是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由．
28. (本小题12.0分)
如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于点O(0,0)，A(4,0)两点，顶点为C，连接OC，AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与点O，A不重合．
(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：△OCD∽△A′BD；
②求DBBA的最小值；
(3)当S△OCD=8S△A′BD时，求直线A′B与二次函数交点的横坐标．



答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的加减法的法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的加减法的法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方即可作出判断．
【解答】
解：A． 12− 3=2 3− 3= 3，故此选项正确；
B.(−3)2=9，故此选项错误；
C.3a4−2a2不是同类项不能合并，故此选项错误；
D.(−a3)2=a6，故此选项错误．
故选A．  
2.【答案】B 
【解析】解：从左面看可得到1列正方形的个数为2．
故选：B．
找到从左面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

3.【答案】D 
【解析】解：A、∵ 12=2 3，
∴ 12与 2不是同类二次根式，
故A不符合题意；
B、∵ 32= 62，
∴ 32与 2不是同类二次根式，
故B不符合题意；
C、∵ 23= 63，
∴ 23与 2不是同类二次根式，
故C不符合题意；
D、∵ 18=3 2，
∴ 18与 2是同类二次根式，
故D符合题意；
故选：D．
根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解： (−4)2= 16=4，
故选：A．
先进行平方然后再开方计算．
此题主要考查二次根式的性质与化简，是一道基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：A、了解一批圆珠笔的寿命，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项错误；
B、了解全国九年级学生身高的现状，因为普查工作量大，适合抽样调查，故本选项错误；
C、检查神舟号载人飞船的各零部件，精确度要求高的调查，适于全面调查，故本选项正确；
D、考察人们保护海洋的意识，因为普查工作量大，适合抽样调查，故本选项错误．
故选：C．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

6.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解．
解分式方程，得x=mm−2，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值．
【解答】
解：解分式方程，得x=mm−2，
经检验，x=mm−2是分式方程的解，
因为分式方程有正整数解，
则整数m的值是3或4．
故选：D．  
7.【答案】D 
【解析】解：过B点和B′点作x轴的垂线，垂足分别是D和E
∵点B′的横坐标是a，点C的坐标是(−1,0)．
∴EC=a+1
又∵△A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍
∴DC=12(a+1)
∴DO=12(a+3)
∴B点的横坐标是−12(a+3)
故选D．
△A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍，过B点和B′点作x轴的垂线，垂足分别是D和E，因为点B′的横坐标是a，则EC=a+1.可求DC=12(a+1)，则B点的横坐标是−12(a+1)−1=−12(a+3)．
本题主要考查了相似的性质，相似于点的坐标相联系，把点的坐标的问题转化为线段的长的问题．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点．
依据直线y=ax+b与反比例函数y=cx的图象在第二象限内有一个交点的横坐标为−1，即可得a−b−c=0，a>0，进而得出结论．
【解答】
解：∵直线y=ax+b与反比例函数y=cx的图象在第二象限内有一个交点的横坐标为−1，
∴−c=−a+b，
∴a−b−c=0，
∵一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象在第二象限内有两个交点，
∴a>0，c<0，
∴二次函数y=ax2+bx−c的图象开口向上，
当x=−1时，y=a−b−c=0，
∴抛物线y=ax2+bx−c过(−1,0)点，
故选：A．  
9.【答案】x>−2 
【解析】解：∵代数式x x+2在实数范围内有意义，
∴x+2>0，
解得：x>−2，
故答案为：x>−2．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x+2>0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x+2>0是解此题的关键．

10.【答案】2.175×109 
【解析】解：21.75亿元人民币即：2 175 000 000元．
故用科学记数法表示为2.175×109元人民币．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

11.【答案】10 
【解析】解：∵公式s2=110[(x1−3)2+(x2−3)2+⋅⋅⋅+(x10−3)2]，
∴它的样本容量是10，
故答案为：10．
根据方差的计算公式求出样本容量．
本题考查了方差公式中各字母的意义，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n [(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]．

12.【答案】55 
【解析】解：∵8b=11，
∴(23)b=11，
∴23b=11，
∴2a+3b=2a⋅23b=5×11=55，
故答案为：55．
先由8b=11得到23b=11，再根据2a+3b=2a⋅23b进行求解即可．
本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，正确得到2a+3b=2a⋅23b是解题的关键．

13.【答案】0 
【解析】解：∵x=1是(k−1)x2+x−k2=0的根，
∴k−1+1−k2=0，解得k=0或1，
∵k−1≠0，
∴k≠1，
∴k=0．
故答案为：0．
把x=1代入原方程，解一个关于k的一元二次方程就可以求出k的值．
本题是一道关于一元二次方程的试题，考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．

14.【答案】x<0或x>4 
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点A(4,1)，
∴k=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，图象如图所示．
由图可知，当y<1时，x<0或x>4．
故答案为：x<0或x>4．
利用待定系数法求出反比例函数的解析式，画出函数的图象，再根据图象得出结论．
本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键．

15.【答案】12 
【解析】解：△ABC中，∠C=90°，
∵BC=2，AC=4，
∴tanA=BCAC=12．
根据三角函数的定义解答即可．
本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

16.【答案】18π 
【解析】解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr，即展开后的弧长为2πr，
∵展开后的侧面积为半圆，
∴侧面积为：12πR2，
∴侧面积=12×2πrR=12πR2，
∴R=2r，
由勾股定理得，R2=(R2)2+(3 3)2，
∴R=6，r=3，
∴圆锥的侧面积=18π．
设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．

17.【答案】20 
【解析】
【分析】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】
解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B2=A′D2+BD2=162+122=400．
∴A′B=20(cm)
故答案为20．  
18.【答案】2 3 
【解析】解：∵点A(−3,0)、点B(0,−3 3)，
∴OA=3，OB=3 3，
∵tan∠OAB=OBOA= 3，
∴∠OAB=60°，
∵直线y=− 3x+4 3与x轴、y轴分别交于点D、C，
∴D(4,0)，C(0,4 3)，
∴OD=4，OC=4 3，
∴tan∠ODC=OCOD= 3，
∴∠ODC=60°，
∴CD=2OD=8，
∴AB/​/CD，
∴AB和CD间的距离定值，
在OD上取点F，使OF=OA=3，
∴AB=BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠AFB=60°，
作△ABF的外接圆P，过P点作PG⊥AB于G，交CD于E，则PG经过点F，
∵GF经过圆心P，
∴F是圆P上到AB的距离最大的点，
∴F是圆P上到CD的距离最小的点，
∴当M处于F点时，△CDM的面积最小，
∵OD=4，OF=3，
∴FD=4−3=1，
∵∠FED=∠COD=90°，∠FDE=∠CDO，
∴△EFD∽△OCD，
∴EFOC=FDCD，即EF4 3=18，
∴EF= 32，
∴S△DCF=12CD⋅EF=12×8× 32=2 3，
∴△MCD面积的最小值是2 3，
故答案为2 3．
首先解直角三角形求得∠OAB=60°=∠ODC，得到AB/​/CD，然后确定M处于F点时，M到CD的距离最小，通过证得△EFD∽△OCD，求得△MCD边CD上的高，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，求得F是圆P上到CD的距离最小的点是解题的关键．

19.【答案】解：原式=−x−2x−1⋅(x−1)2x−2=−x+1，
解不等式组得−1 符合不等式解集的整数是0，1，2，
当x=0时，原式=1． 
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解得到x的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

20.【答案】解：(1)设商场第一次购进x套运动服，由题意得：
680002x−32000x=10，
解这个方程，得x=200，
经检验，x=200是所列方程的根，
2x+x=2×200+200=600，
所以商场两次共购进这种运动服600套；

(2)设每套运动服的售价为y元，由题意得：
600y−32000−6800032000+68000≥20%，
解这个不等式，得y≥200，
所以每套运动服的售价至少是200元． 
【解析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意利润率=利润成本×100%的应用．
(1)本题的关键描述语是：每套进价多了10元．等量关系为：第二批的每件进价−第一批的每件进价=10；
(2)根据(总售价−总进价)÷总进价≥20%列不等式解答．

21.【答案】解：(1)−22+(π−2017)0−2sin60°+|1− 3|；         
=−4+1−2× 32+ 3−1
=−3− 3+ 3−1
=−4；

(2)a(3−2a)+2(a+1)(a−1)
=3a−2a2+2(a2−1)
=3a−2． 
【解析】(1)直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值进而计算得出答案；
(2)利用平方差公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了实数运算以及平方差公式等知识，正确应用公式是解题关键．

22.【答案】证明：①∵CN//AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵∠DAC=∠NCAMA=MC∠AMD=∠CMN，
∴△AMD≌△CMN(ASA)，
∴AD=CN，
又∵AD//CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD=AN；

②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MD=MC，
由①知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD=MN=MA=MC，
∴AC=DN，
∴四边形ADCN是矩形． 
【解析】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC，再根据等角对等边可得MD=MC，然后证明AC=DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系，并由第一问求出四边形ADCN是平行四边形是解题的关键．

23.【答案】3  55  49  15 
【解析】解：(1)由题意得，a=20×0.15=3；
甲实验基地抽取的20株树苗的长度中，55出现的次数最多，故众数b=55；
把乙实验基地抽取的20株树苗的长度从小到大排列，排在中间的两个数分别是49、49，故中位数c=49+492=49；
m%=13×(1−30%−520×100%)=15%，故m=15．
故答案为：3，55，49，15；
(2)甲基地的树苗好，理由如下：
因为两个基地的树苗长度的平均数相同，但甲基地的中位数大于乙基地，所以甲基地的树苗好(答案不唯一)．
(3)2000×(30%+15%)=900(棵)，
答：估计2000棵乙基地的树苗为优等的树苗约有900棵．
(1)用总数20乘B组的频率可得a的值；根据众数、中位数的意义求解即可得b，c的值；用1分别减去C、D两组所占百分百，然后除以3可得m的值；
(2)根据平均数中位数、众数、中位数以及方差的意义解答即可；
(3)用2000棵乘样本中乙基地的树苗为优等所占比例即可．
本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、样本估计总体的方法是正确求解的前提．

24.【答案】解：解法一：设这三种图案分别用A、B、C表示，则列表得

    第一次

   第二次
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
∴P(获得礼品)=39=13．
解法二：由树状图可知共有3×3=9种可能，游戏中获得礼品的有3种，所以概率P(获得礼品)=39=13． 
【解析】依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
列表法以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

25.【答案】(1)证明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF=12AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC=DFDC=45，
设DF=4x，DC=5x，
∴CF= CD2−DF2=3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴AEDC=ADDF，即AE5=54，解得AE=254，
即⊙O的直径为254． 
【解析】(1)根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=12AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC=DFDC=45，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．

26.【答案】解：(1)如图1中，线段EF即为所求；
(2)如图2中，点D即为所求；
(3)如图3中，点D即为所求．
 
【解析】(1)作∠AEF=∠B，EF交AC于点F，线段EF即为所求；
(2)作线段EF的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，OE为半径作弧交BC于点D，连接DE，DF，点D即为所求；
(3)作∠ACB的角平分线CT，过点B作BK⊥AC于点K，取BK的中点J，连接AJ交CT于度数O，故点O作EF⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，线段EF，点D即为所求．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

27.【答案】(1, 3)或(2,2 33) 
【解析】解：(1)如图所示，

过点M作MN⊥OB于点N，连接OM，
∵已知点A的坐标为(4,0)，点B在y轴上，∠BAO=30°，
∴OA=4,OB=OA×tan∠BAO=4 33，
设BM=x，则AM=AB−x=8 33−x，
∴BN=12x，NM= 32x，
在Rt△OMN中，OM2=MN2+ON2=( 32x)2+(4 33−12x)2，
∵点M是△AOB的“比例中点”，
∴OM2=BM⋅AM，
∴( 32x)2+(4 33−12x)2=x(8 33−x)，
解得：x=2 33或x=4 33，
∴BM=2 33或BM=4 33，
当BM=2 33时，MN= 32BM= 32×2 33=1，ON=OB−BN=4 33− 33= 3，即M(1, 3)；
当BM=4 33时，MN= 32BM= 32×4 33=2，ON=OB−BN=4 33−2 33=2 33，即M(2,2 33)；
故答案为：(1, 3)或(2,2 33)；

(2)∵点N是△ABC的“比例中点”，
∴CN2=AN⋅BN，
设AN=x，则BN=AB−AN=28−x，
如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，

∵△ABC中，AB=28，∠A=45°，tanB=34，
∴AD=CD，BD=43CD，
设AD=DC=3k，则BD=4k，
∴AB=7k，
∴7k=28，
解得：k=4，
∴AD=CD=12，DB=16，
∴CN2=CD2+ND2=122+(12−x)2，
∴122+(12−x)2=x(28−x)，
解得：x=8或x=18，
∴AN=8或18；

(3)设点N是△ABC的“比例中点”设等边三角形的边长为a，
∴CN2=AN⋅BN，
设AN=x，则BN=AB−AN=a−x，
如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，

∵△ABC中，AB=a，
∴AD=12a，BD=12a，CD= 32a，
∴CN2=CD2+ND2=34a2−(12a−x)2，
∴34a2+(12a−x)2=x(a−x)，
∵a≠0，
∴此方程无解，
∴等边三角形有没有“比例中点”．
(1)过点M作MN⊥OB于点N，连接OM，设BM=x，则AM=AB−x=8 33−x，BN=12x，NM= 32x，勾股定理得出OM2，根据OM2=BM⋅AM建立方程，解方程即可求解；
(2)设AN=x，则BN=AB−AN=28−x，过点C作CD⊥AB于点D，勾股定理得出CN2=CD2+ND2=122+(12−x)2，根据新定义建立方程，解方程即可求解；
(3)同(2)的方法进行计算，得出方程无解即可求解．
本题考查了几何新定义，坐标与图形，已知正切求边长，勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意，建立方程解方程是解题的关键．

28.【答案】解：(1)∵二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于点O(0,0)，A(4,0)两点，
∴c=0，8+4b+c=0
∴b=−2，c=0
∴二次函数的表达式为：y=12x2−2x；
(2)①证明：由翻折得：∠OAC=∠A′，
由对称得：OC=AC，
∴∠COD=∠OAC，
∴∠COD=∠A′，
∵∠ODC=∠A′DB，
∴△OCD∽△A′BD；
②∵△OCD∽△A′BD，
∴OCA ′B=CDBD，
∵AB=A′B，
∴BDAB=CDOC，
∴BDAB的最小值就是CDOC的最小值，
∵y=12x2−2x=12(x−2)2−2，
∴C(2,−2)，
∴OC=2 2，
∴当CD⊥OA时，CD最小，BDAB的值最小，
∴当CD=2时，DBBA的最小值为22 2= 22；
(3)解法一：∵S△OCD=8S△A′BD，
∴S△OCD:S△A′BD=8，
∵△OCD∽△A′BD，
∴S△OCDS△A′BD=(OCA′B)2=8，
∴OCA′B=2 2，
∵OC=2 2，
∴A′B=AB=1，
∴BF=2−1=1，
如图2，连接AA′，过点A′作A′G⊥OA于G，延长CB交AA′于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，

由翻折得：AA′⊥CH，
∵∠AHB=∠BFC=90∘，∠ABH=∠CBD，
∴∠BCF=∠BAH，
tan∠BCF=tan∠GAA′，
∴BFCF=A′GAG=12，
设A′G=a，则AG=2a，BG=2a−1，
在Rt△A′GB中，由勾股定理得：BG2+A′G2=A′B2，
∴a2+(2a−1)2=12，
∴a1=0(舍)，a2=45，
∴BG=2a−1=85−1=35，
∵A′G//OQ，
∴△A′GB∽△QOB，
∴A′GOQ=BGOB，
∴OQ=4，
∴Q(0,4)，
设直线A′B的解析式为：y=kx+m，
∴m=43k+m=0.解得：k=−43m=4
∴直线A′B的解析式为：y=−43x+4，
∴−43x+4=12x2−2x，
3x2−4x−24=0，
解得：x=2±2 193，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是2±2 193．
解法二：如图3，过点M作MH⊥OA于H，

∵△OCD∽△A′BD，
∴OCA′B=CDBD=ODA′D=2 2，
∵OC=2 2，
∴A′B=AB=1，
设BD=t，则CD=2 2t，
∴A′D=2 2−2 2t，OD=2 2A′D=8−8t，
∵OB=OD+BD=4−1=3，
∴8−8t+t=3，
∴t=57，
∴A′D=2 2−10 27=4 27，
∵A′B=AB，∠A′=∠OAC，∠A′BD=∠ABN，
∴△A′BD≌△ABM(ASA)，
∴AM=A′D=4 27，
∵△AHM是等腰直角三角形，
∴AH=MH=47，
∴M(247,−47)，
易得BM的解析式为：y=−43x+4，
∴−43x+4=12x2−2x，
解得：3x2−4x−24=0，
解得：x=2±2 193，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是2±2 193． 
【解析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结合思想是解本题的关键．
(1)将点O(0,0)，A(4,0)两点代入二次函数y=12x2+bx+c，求出b=−2，c=0，即可求出二次函数的表达式．
(2)①根据两组对应角相等可证明两三角形相似；
②根据△OCD∽△A′BD，得OCA ′B=CDBD，则BDAB=CDOC，即BDAB的最小值就是CDOC的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，DBBA有最小值是 22；
(3)解法一：根据面积的关系可得：△OCD∽△A′BD时，相似比为2 2:1，可得A′B=AB=1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得A′G和BG的长，最后再证明△A′GB∽△QOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得A′B的解析式，最后联立方程可得结论．
解法二：设BD=t，根据OB=3列方程可得t的值，计算A′D，AM的长，表示点M的坐标，计算BM的解析式，列方程可得结论．