高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式综合训练题

第二章　2.3.2　两点间的距离公式

2.3.3　点到直线的距离公式

2.3.4　两条平行直线间的距离

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是(　　)

A.2 B.4 

C.5 D.

2.[探究点三]已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为(　　)

A.1 B.-1 

C. D.±

3.[探究点三]点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3,则实数a的取值范围为(　　)

A.(7,+∞) B.(-∞,-3)

C.(-∞,-3)∪(7,+∞) D.(-3,7)

4.[探究点三]点P(2,3)到直线ax+(a-1)y+3=0的距离d最大时,d与a的值依次为(　　)

A.3,-3 B.5,2 

C.5,1 D.7,1

5.[探究点四](多选题)与直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程可以为(　　)

A.2x+y=0 B.2x-y=0

C.2x+y-2=0 D.2x+y+2=0

6.[探究点二]已知△ABC的三顶点A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),则BC边上的高AD的长度为　　　　　. 

7.[探究点一][2023安徽滁州月考]已知点M(-1,1),N(3,-3),且过点P(3,0)的直线l分别到点M,N的距离相等,则直线l的斜率为　　　　　. 

8.[探究点三]如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形面积为4,则l2的方程为　　　　　　　　. 

9.[探究点一]求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.

10.[探究点四]直线l经过两直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且与直线l1:x+y-6=0平行.

(1)求直线l的方程;

(2)若点P(a,1)到直线l的距离与直线l1和直线l的距离相等,求实数a的值.

B级  关键能力提升练

11.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是(　　)

A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0

C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0

12.已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(　　)

A. B. 

C. D.3

13.著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为点(x,y)到点(a,b)的距离,则的最小值为(　　)

A.3 B.2+1 

C.2 D.

14.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为(　　)

A. B. 

C. D.3

15.(多选题)若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值可以是(　　)

A.6 B.8.5 

C.10 D.12

16.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线是点M的“相关直线”的是(　　)

A.y=x+1 B.y=2

C.4x-3y=0 D.2x-y+1=0

17.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,则m=　　　　　,此时直线l1与l2之间的距离为　　　　　. 

18.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a=　　　　　. 

19.已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.

(1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程;

(2)求△OAB面积的最小值.

20.在△ABC中,A(1,1),B(m,),C(4,2)(1<m<4),求当m为何值时,△ABC的面积S最大.

C级  学科素养创新练

21.已知x+y-3=0,则的最小值为　　　　　. 

答案：

1.D　根据中点坐标公式得=1,=y,

解得x=4,y=1,所以点P的坐标为(4,1),

则点P到原点的距离d=.

2.D　由题意知=1,即|a|=,∴a=±.

3.C　由题意得>3,即|3a-6|>15.

故3a-6>15或3a-6<-15,即a>7或a<-3.

4.C　直线ax+(a-1)y+3=0恒过点A(-3,3),根据已知条件可知当直线ax+(a-1)y+3=0与AP垂直时,距离最大,最大值为d=AP=5,此时kAP=0,故直线ax+(a-1)y+3=0的斜率不存在,所以a=1.故选C.

5.AD　根据题意可设所求直线方程为2x+y+C=0(C≠1),

因为两直线间的距离等于,所以d=,

解得C=0或C=2,

故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.

6.　由两点间距离公式得AB=,BC=,AC=.

∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴D为BC的中点.

由中点坐标公式易得D.

∴AD=.

7.或-1　根据题意,分2种情况讨论:

①直线l与直线MN平行时,直线l与点M,N的距离相等,所以kl=kMN==-1;

②直线l经过M,N的中点时,直线l与点M,N的距离相等,

所以M,N的中点坐标为(1,-1),

所以kl=,故直线l的斜率为或-1.

8.x+y-3=0　设l2的方程为y=-x+b(b>1),则题图中A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).

∴AD=,BC=b.

梯形的高h就是A点到直线l2的距离,

故h=(b>1),

由梯形面积公式得=4,∴b2=9,∴b=±3.

又b>1,∴b=3.

从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.

9.解(方法1)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.

又直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.

由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,

得,解得k=0或k=1.

∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.

(方法2)①当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.

∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),

∴直线l的方程是x-y+2=0.

②当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.

∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,

∴直线l的方程为y=2.

综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.

10.解(1)由解得

即两直线交点坐标为(1,6).

∵直线l1:x+y-6=0的斜率k1=-1,

∴直线l的斜率k=-1.

∴直线l的方程为y-6=-(x-1),即x+y-7=0.

(2)由题意得,

整理得|a-6|=1,解得a=7或a=5.

11.A　根据题意得,所求直线与直线OA垂直,

因为直线OA的斜率为2,所以所求直线的斜率为-.

所以由点斜式方程得y-2=-(x-1),

即x+2y-5=0.

12.B　由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2).

∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,

∴y=1-2x,∴|MP|=,

故当x=-时,|MP|取得最小值.故选B.

13.D　,

令A(0,1),B(2,2),P(x,0),

则的最小值转化为在x轴上,

求一点P(x,0),使得|AP|+|PB|取得最小值.

∵A(0,1)关于x轴的对称点为A'(0,-1),

∴(|AP|+|PB|)min=|A'B|=.故选D.

14.B　(方法1)如图1,由平行线间的距离公式得|PQ|=.

图1

设点P(a,-a-2),点Q.

则|AP|+|PQ|+|QB|=

.

设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如图2,

图2

则=|MC|+|MD|≥|CD|=.

故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.

(方法2)如图3,由平行线间的距离公式得|PQ|=.

图3

过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.则有PQ AA'.

设点A'(x0,y0),则

因此,点A',则|A'B|=.

连接A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,

故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.

因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥.

故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.

15.ABC　∵点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,∴-6≤x≤3.

∵线段4x+3y=0(-6≤x≤3)过原点,

∴点P到坐标原点的最近距离为0.

又点(-6,8)在线段上,

∴点P到坐标原点的最远距离为=10.

∴点P到坐标原点距离的取值范围是[0,10].

对照选择项知ABC均可.

16.BC　点M到直线y=x+1的距离d==3>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A中的直线不是点M的“相关直线”;点M到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故B中的直线是点M的“相关直线”;点M到直线4x-3y=0的距离d==4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故C中的直线是点M的“相关直线”;点M到直线2x-y+1=0的距离d=>4,故D中的直线不是点M的“相关直线”.故选BC.

17.-　∵直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,∴-=3,∴m=-,

故直线l1:6x-2y+3=0,直线l2:6x-2y-2=0.

则直线l1与l2之间的距离为.

18.3　由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为,整理得,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3.

19.解(1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,则点O到直线l的距离d==4,解得k=-.

故直线l的方程为-x-y-4×+3=0,即7x+24y-100=0.

(2)因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,

所以A,B(0,-4k+3).

则△OAB的面积S=|OA|·|OB|=××(-4k+3)=.

由题意可知k<0,则--16k≥2=24,当且仅当k=-时,等号成立.

故△OAB面积的最小值为×(24+24)=24.

20.解∵A(1,1),C(4,2),∴|AC|=,直线AC的方程为x-3y+2=0.

根据点到直线的距离公式,可得点B(m,)到直线AC的距离d=,

∴S=|AC|·d=|m-3+2|=.

∵1<m<4,∴1<<2⇒-,

∴0≤2<,

∴当m=时,△ABC的面积S最大.

21.　设P(x,y),A(2,-1),则点P在直线x+y-3=0上,且=|PA|.

|PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d=.